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1、遞推數(shù)列通項求解方法舉隅類型一：思路1遞推法：。思路2構(gòu)造法：設(shè)，即得，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，那么，即。例1 數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項公式。解：方法1遞推法：。方法2構(gòu)造法：設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，那么，即。類型二： 思路1遞推法：。思路2疊加法：，依次類推有：、，將各式疊加并整理得，即。例2 ，求。解：方法1遞推法：。方法2疊加法：，依次類推有：、，將各式疊加并整理得，。類型三： 思路1遞推法：。思路2疊乘法：，依次類推有：、，將各式疊乘并整理得，即。例3 ，求。解：方法1遞推法：。方法2疊乘法：，依次類推有：、，將各式疊乘并整理得，即。類型四： 思路特征根法：

2、為了方便，我們先假定、。遞推式對應(yīng)的特征方程為，當(dāng)特征方程有兩個相等實根時， (、為待定系數(shù)，可利用、求得)；當(dāng)特征方程有兩個不等實根時、時，(、為待定系數(shù)，可利用、求得)；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列的通項與上同理，此處暫不作討論。例4 、,求。解：遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。設(shè)，而、，即，解得，即。類型五： 思路構(gòu)造法：，設(shè)，那么，從而解得。那么是以為首項，為公比的等比數(shù)列。例5 ，求。解：設(shè)，那么，解得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，。類型六： 且思路轉(zhuǎn)化法：，遞推式兩邊同時除以得，我們令，那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型二進行求解了。例6 ，求。解：，式子兩邊同時除以得，令，那么，依此

3、類推有、，各式疊加得，即。類型七： 思路轉(zhuǎn)化法：對遞推式兩邊取對數(shù)得，我們令，這樣一來，問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進行求解了。例7 ，求。解：對遞推式左右兩邊分別取對數(shù)得，令，那么，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。類型八：思路轉(zhuǎn)化法：對遞推式兩邊取倒數(shù)得，那么，令，這樣，問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進行求解了。例8 ，求。解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得即，令那么。設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，那么，即，。類型九： 、思路特征根法：遞推式對應(yīng)的特征方程為即。當(dāng)特征方程有兩個相等實根時，數(shù)列即為等差數(shù)列，我們可設(shè)為待定系數(shù)，可利用、求得；當(dāng)特征方程有兩個不等實根、時，數(shù)列是以為首項

4、的等比數(shù)列，我們可設(shè)為待定系數(shù)，可利用其值的項間接求得；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列通項的討論方法與上同理，此處暫不作討論。例9 ， ，求。解：當(dāng)時，遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，設(shè)，由得那么，即，從而，。寒假專題常見遞推數(shù)列通項公式的求法重、難點：1. 重點： 遞推關(guān)系的幾種形式。2. 難點：靈活應(yīng)用求通項公式的方法解題?！镜湫屠}】例1 型。1時，是等差數(shù)列，2時，設(shè) 比擬系數(shù)： 是等比數(shù)列，公比為，首項為 例2 型。1時，假設(shè)可求和，那么可用累加消項的方法。例：滿足，求的通項公式。解： 對這個式子求和得： 2時，當(dāng)那么可設(shè) 解得：， 是以為首項，為公比的等比數(shù)

5、列 將A、B代入即可30，1等式兩邊同時除以得令 那么 可歸為型例3 型。1假設(shè)是常數(shù)時，可歸為等比數(shù)列。2假設(shè)可求積，可用累積約項的方法化簡求通項。例：，求數(shù)列的通項。解： 例4 型?？紤]函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有 令 那么可歸為型。 練習(xí)：1. 滿足，求通項公式。解：設(shè) 是以4為首項，2為公比為等比數(shù)列 2. 的首項，求通項公式。解： 3. 中，且求數(shù)列通項公式。解： 4. 數(shù)列中，求的通項。解： 設(shè) 5. ：，時，求的通項公式。解：設(shè) 解得： 是以3為首項，為公比的等比數(shù)列 【模擬試題】1. 中，求。2. 中，求。3. 中，求。4. 中，求。5. 中，其前項和與滿足1求證：為等差數(shù)列 2求的通項公式6. 在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足 1求證：是等差數(shù)列 2假設(shè)求的前n項和的最小值1. 解：由，得 2. 解：由得： 即是等比數(shù)列 3. 解：由得 成等差數(shù)列， 4. 解： 設(shè)即 是等差數(shù)列 5. 解：1 是首項為1，公差為2的等差數(shù)列 2 又 6. 解：1 時，整理得： 是正整數(shù)數(shù)列 是首項為2，公差為4的等差數(shù)列 2 為等差數(shù)列 當(dāng)時，的最小值為14