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1、5.55.5 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系第第5 5章章 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力5.15.1 彎曲的概念和實(shí)例彎曲的概念和實(shí)例5.25.2 梁的支座和載荷的簡化梁的支座和載荷的簡化5.35.3 剪力和彎矩剪力和彎矩5.45.4 剪力剪力方程和彎矩方程方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海。不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海。荀子荀子 勸學(xué)勸學(xué)1一、彎曲實(shí)例一、彎曲實(shí)例5.15.1 彎曲的概念彎曲的概念和和實(shí)例實(shí)例工廠廠房的天車大梁工廠廠房的天車大梁火車的輪軸：火車的輪軸：FFFF樓房的橫梁：樓房的橫梁：陽臺的挑梁：

2、陽臺的挑梁：二、彎曲的概念：二、彎曲的概念：受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)作用于桿件上的作用于桿件上的外力外力都都垂直垂直于桿的于桿的軸線軸線。變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)桿軸線由桿軸線由直線直線變?yōu)橐粭l變?yōu)橐粭l曲線曲線。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁彎曲變形彎曲變形工程中常見的梁，其橫截面一般至少有一根對稱軸，該軸與桿工程中常見的梁，其橫截面一般至少有一根對稱軸，該軸與桿件的軸線形成整個(gè)桿件的縱向?qū)ΨQ面。當(dāng)作用于梁上的所有外件的軸線形成整個(gè)桿件的縱向?qū)ΨQ面。當(dāng)作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，彎曲變形后的軸線也位于這個(gè)對稱面力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，彎曲變形后的軸線也位于這個(gè)對稱面內(nèi)變

3、成一條曲線。內(nèi)變成一條曲線?？v向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面MF1F2q彎曲變形彎曲變形受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在 梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平 面曲線。面曲線。彎曲變形彎曲變形平面彎曲平面彎曲:彎曲變形后的軸線為平面曲線彎曲變形后的軸線為平面曲線,且該且該 平面曲線仍與外力共面平面曲線仍與外力共面。5.25.2 梁的梁的支座和載荷的簡化支座和載荷的簡化一、支座的幾種基本形式一、支座的幾種基本形式1.活活動(dòng)鉸支座動(dòng)鉸支座例如

4、：對于車床的主軸，主軸安裝在兩個(gè)滾動(dòng)軸承內(nèi)。在軸發(fā)生彎曲變形時(shí)，中部的滾柱軸承不約束軸線方向的位移，可簡化為可動(dòng)鉸支座。2.固定鉸固定鉸支座支座例如：對于車床的主軸，主軸安裝在兩個(gè)滾動(dòng)軸承內(nèi)。在軸發(fā)生彎曲變形時(shí)，左端向心推力軸承可以約束軸線方向上的位移，可簡化為固定鉸支座。火車火車輪軸：輪軸：是通過車輪置于鋼軌上，鋼軌不限制車輪平面的輕微偏轉(zhuǎn)，但車輪凸緣與鋼軌的接觸卻可約束沿輪軸軸線方向的位移。所以，就可以把一條鋼軌對車輪的約束看作是固定鉸支座，另一個(gè)看作是可動(dòng)鉸支座。3.固固定端定端車床上的車刀及刀架：車床上的車刀及刀架：車刀一端用螺釘壓緊、固定于刀架上，使車刀一端用螺釘壓緊、固定于刀架上，

5、使車刀被壓緊部分既不能有相對位移，也不能相對轉(zhuǎn)動(dòng)，這種形式可簡化為車刀被壓緊部分既不能有相對位移，也不能相對轉(zhuǎn)動(dòng)，這種形式可簡化為固定端。固定端。二、載荷的簡化二、載荷的簡化作用在梁上的力，是各種各樣的，經(jīng)簡化和抽象歸納起來可分為：1.1.集中力：集中力：當(dāng)外力作用的范圍遠(yuǎn)小于梁軸線的長度時(shí)，可將外力看作是作用于一點(diǎn)處的集中力。像傳動(dòng)軸上的傳動(dòng)力，車床主軸和車刀上的切削力等。吊車梁上的吊重也可簡化為集中力吊車梁上的吊重也可簡化為集中力。2.2.均布載荷：均布載荷：連續(xù)作用在梁的一段或整個(gè)梁上的橫向載荷，可以簡化為沿梁軸線作用的分布載荷。若載荷沿梁軸線均勻分布，就簡稱均布載荷。分布載荷的大小常用

6、載荷集度q表示。2.2.集中力偶：集中力偶：工程中的某些梁通過與梁連接的構(gòu)件，對梁的作用力向梁工程中的某些梁通過與梁連接的構(gòu)件，對梁的作用力向梁的軸線簡化，可以得到一個(gè)力偶的軸線簡化，可以得到一個(gè)力偶M M，該力偶只作用在承力構(gòu)件與梁連接處，該力偶只作用在承力構(gòu)件與梁連接處很小的區(qū)域內(nèi)，稱該力偶為集中力偶。很小的區(qū)域內(nèi)，稱該力偶為集中力偶。集中力偶集中力偶 TP集中集中力TTqq(x)線性（非均勻）線性（非均勻）分布載荷分布載荷均勻分布載荷均勻分布載荷分布載荷分布載荷載荷集度載荷集度 q(N/m)三、靜定梁三、靜定梁M 集中力偶集中力偶q(x)分布力分布力1 1、懸臂梁、懸臂梁：一端固一端固定

7、另一端為自由端定另一端為自由端2 2、簡支梁、簡支梁：兩端均為鉸支座兩端均為鉸支座3 3、外伸梁、外伸梁：梁的一梁的一端伸出支座之外端伸出支座之外 集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L稱為梁的跨長）稱為梁的跨長）一、彎曲內(nèi)力的確定（截面法）：一、彎曲內(nèi)力的確定（截面法）：例例已知：如圖，已知：如圖，F(xiàn)，a，l。求：距求：距A 端端 x 處截面上內(nèi)力。處截面上內(nèi)力。FAYFAXFBYFABFalAB解：解：求外力（支座反力）求外力（支座反力）5.35.3 剪力和彎矩剪力和彎矩ABFFAYFAXFBYmmx求內(nèi)力求內(nèi)力FsMMFs 彎曲構(gòu)件內(nèi)力：彎曲構(gòu)件內(nèi)力：剪力，剪力，彎矩。彎矩。FAYA

8、CFBYFC研究對象：研究對象：m-m 截面的左段：截面的左段：若研究對象取若研究對象取m-m 截面的右段：截面的右段：ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1.彎矩：彎矩：M 構(gòu)件受彎時(shí)構(gòu)件受彎時(shí)，與橫，與橫截截面面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶垂直的分布內(nèi)力系的合力偶之矩之矩（彎矩）。（彎矩）。AFAYCFBYFC2.剪力：剪力：Fs 構(gòu)件受彎時(shí)構(gòu)件受彎時(shí)，與橫，與橫截截面相切的面相切的分布內(nèi)力系的合力（分布內(nèi)力系的合力（剪力）。剪力）。剪力和彎矩同為梁橫截面上的內(nèi)力。剪力和彎矩同為梁橫截面上的內(nèi)力。二、彎曲內(nèi)力的符號規(guī)定二、彎曲內(nèi)力的符號規(guī)定:為使兩種算法得到的同一截面上的彎矩和剪力，非但

9、數(shù)值相等且正負(fù)號也一致，則與梁的變形聯(lián)系起來。剪力剪力Fs:Fs(+)Fs(+)Fs()Fs()+_ 左上右下為左上右下為正；正；反之為反之為負(fù)負(fù) 或者：或者：截截面上的面上的剪剪力繞保留部分順時(shí)力繞保留部分順時(shí)針方向?yàn)獒樂较驗(yàn)檎环粗疄榉粗疄樨?fù)負(fù)。規(guī)定：截面的左段相規(guī)定：截面的左段相對右段向上錯(cuò)動(dòng)時(shí)，對右段向上錯(cuò)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)s規(guī)定為規(guī)定為正；正；反之為反之為負(fù)。負(fù)。二、彎曲內(nèi)力的符號規(guī)定二、彎曲內(nèi)力的符號規(guī)定:彎矩彎矩M：M(+)M(+)M()M()+_ 截面上的彎曲變形向截面上的彎曲變形向下凸時(shí)，下凸時(shí)，M M規(guī)定為規(guī)定為正；正；或者說梁的上表面受或者說梁的上表面受壓時(shí)彎矩為壓時(shí)彎矩為正正，

10、反之，反之為為負(fù)負(fù)。左順右逆為左順右逆為正；正；反之為反之為負(fù)負(fù)二、彎曲內(nèi)力的符號規(guī)定二、彎曲內(nèi)力的符號規(guī)定:按照有關(guān)符號規(guī)定，任意截面上的剪力和彎矩，無論根據(jù)這個(gè)截面左側(cè)或右側(cè)的外力來計(jì)算，所得結(jié)果的數(shù)值和符號都是一樣的。并得到以下兩條規(guī)律：1.1.橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于作用在此截橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于作用在此截面任一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力在面任一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力在y y軸上軸上投影的代數(shù)和。投影的代數(shù)和。2.2.橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于作用在此截橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于作用在此截面任一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力對該截面任一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力

11、對該截面形心力矩的代數(shù)和。面形心力矩的代數(shù)和。例例：求求1-1、2-2截面處的內(nèi)力。截面處的內(nèi)力。qLM1解解qqLab11221-1 1-1 截面截面2-2 2-2 截面截面qLM2x2例例：求圖所示梁求圖所示梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。截面處的內(nèi)力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：（解：（1 1）確定支座反力）確定支座反力（2 2）求內(nèi)力）求內(nèi)力1-1截面取左側(cè)考慮：2-2截面取右側(cè)考慮：1.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122例例：梁梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。截面處的內(nèi)力。解：（解：（1 1）確定支座反力）確定支座反力RARB(2)1-

12、1(2)1-1截面左段右側(cè)截面：截面左段右側(cè)截面：2 2-2 2截面右段左側(cè)截面：截面右段左側(cè)截面：RA5.45.4剪剪力方力方程和彎程和彎矩矩方程方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖剪力方程剪力方程彎矩方程彎矩方程 反映梁橫截面上的剪力和彎反映梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式矩隨截面位置變化的函數(shù)式 顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。(-)注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在 x 軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。lqAB畫剪力圖和彎矩圖的步驟畫剪力圖和彎矩圖的步驟：1 1、利用靜力方程確定支座反力。、利用靜力方程確定支座反力。2 2、根據(jù)載荷、根據(jù)

13、載荷p p分段列出剪力方程、彎矩方程。分段列出剪力方程、彎矩方程。3 3、根據(jù)剪力方程、彎矩方程判斷剪力圖、彎矩圖的形狀、根據(jù)剪力方程、彎矩方程判斷剪力圖、彎矩圖的形狀 描點(diǎn)繪出剪力圖、彎矩圖。描點(diǎn)繪出剪力圖、彎矩圖。4 4、確定最大的剪力值、彎矩值。、確定最大的剪力值、彎矩值。注意注意：不能用一個(gè)函數(shù)表達(dá)的要分段，分段點(diǎn)為：不能用一個(gè)函數(shù)表達(dá)的要分段，分段點(diǎn)為：集中力集中力作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布力的起點(diǎn)、終點(diǎn)。作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布力的起點(diǎn)、終點(diǎn)。F(x)xF解解：求支反力求支反力寫出內(nèi)力方程寫出內(nèi)力方程根據(jù)方程畫內(nèi)力圖根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 例例 列出梁內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。列出梁內(nèi)

14、力方程并畫出內(nèi)力圖。FABFAYMAxM(x)-FL 注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在 x 軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。例例 圖示簡支梁受集度為圖示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖 和彎矩圖。和彎矩圖。解：解：1 1、求支反力、求支反力2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程xFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql28l/2M 3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖BlAq*載荷對稱、結(jié)構(gòu)對稱則剪力圖反對稱，彎矩圖對稱*剪力為零的截面彎矩有極值。ql 2FS 例例 圖示簡支梁受集中荷載圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作

15、梁的剪力圖作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖和彎矩圖。解：解：1、求支反力求支反力2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 需分兩段列出需分兩段列出BFBFAxlAF abCAC段段CB段段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAF abC3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖FS FblxFblMxFablBFBFAxlAF abC*在 集中力F 作用處，剪力圖有突變，突變值為集中力的大??；彎矩圖有轉(zhuǎn)折例例 圖示簡支梁在圖示簡支梁在C點(diǎn)受矩為點(diǎn)受矩為Me 的集中力偶作用。試的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。作梁的剪力圖和彎矩圖。解解:1、求支反力、求支

16、反力Me FA FBBlACab2 2、列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：剪力方程無需分段：彎矩方程彎矩方程兩段：兩段：AC段：段：CB段：段：FA FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖ba時(shí)時(shí)發(fā)生在發(fā)生在C截面右側(cè)截面右側(cè)FslxMe lMxMealMeb*集中力偶作用點(diǎn)處剪力圖無影響，彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。BlACab解解：1、支反力2、寫出內(nèi)力方程1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY 例例 畫出梁的內(nèi)力圖。3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)5.55.5 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用一、一、剪力、彎矩與分布載荷間的關(guān)系剪力、彎矩與分布載荷間的關(guān)系1 1、支反力：、支反力：LqFAyFBy2 2、內(nèi)力方程、內(nèi)力方程3 3、討論如下、討論如下x對對dx 段進(jìn)行平衡分析，有：段進(jìn)行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+