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1、正、余弦定理在實際生活中的應用正、余弦定理在測量、航海、物理、幾何、天體運行等方面的應用十分廣泛，解這類應用題需要我們吃透題意，對專業(yè)名詞、術語要能正確理解，能將實際問題歸結為數學問題.求解此類問題的大概步驟為：（1）準確理解題意，分清已知與所求，準確理解應用題中的有關名稱、術語，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等；（2）根據題意畫出圖形；（3）將要求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識建立數學模型，然后正確求解，演算過程要簡練，計算要準確，最后作答.1.測量中正、余弦定理的應用例1某觀測站在目標南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測得公路上與

2、相距31千米的處有一人正沿此公路向走去，走20千米到達，此時測得距離為千米，求此人所在處距還有多少千米？分析：根據已知作出示意圖，分析已知及所求，解，求角.再解，求出，再求出，從而求出（即為所求）.東北解：由圖知，.，.在中，.由余弦定理，得.即.整理，得，解得或（舍）.故（千米）.答：此人所在處距還有15千米.評注：正、余弦定理的應用中，示意圖起著關鍵的作用，“形”可為“數”指引方向，因此，只有正確作出示意圖，方能合理應用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的應用例2在海岸處，發(fā)現北偏東方向，距為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距為2海里的處的緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船.

3、此時走私船正以海里/小時的速度從處向北偏東方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時間？分析：注意到最快追上走私船，且兩船所用時間相等，可畫出示意圖，需求的方位角及由到所需的航行時間.解：設緝私船追上走私船所需時間為小時，則有，.在中，根據余弦定理可得.根據正弦定理可得.，易知方向與正北方向垂直，從而.在中，根據正弦定理可得：，則有，小時分鐘.所以緝私船沿北偏東方向，需分鐘才能追上走私船.評注：認真分析問題的構成，三角形中邊角關系的分析，可為解題的方向提供依據.明確方位角是應用的前提，此題邊角關系較復雜要注意正余弦定理的聯(lián)用.3.航測中正、余弦定理的應用例3飛機的航線和山頂

4、在同一個鉛直平面內，已知飛機的高度為海拔m，速度為km/h，飛行員先看到山頂的俯角為，經過秒后又看到山頂的俯角為，求山頂的海拔高度（精確到m）.分析：首先根據題意畫出圖形，如圖，這樣可在和中解出山頂到航線的距離，然后再根據航線的海拔高度求得山頂的海拔高度.解：設飛行員的兩次觀測點依次為和，山頂為，山頂到直線的距離為.如圖，在中，由已知，得，.又（km）,根據正弦定理，可得，進而求得，（m）,可得山頂的海拔高度為（m）.評注：解題中要認真分析與問題有關的三角形，正確運用正、余弦定理有序地解相關的三角形，從而得到問題的答案.4.炮兵觀測中正、余弦定理的應用例4我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于

5、地面點和處，已知米，目標出現于地面點處時，測得，（如圖），求炮兵陣地到目標的距離（結果保留根號）.分析：根據題意畫出圖形，如圖，題中的四點、可構成四個三角形.要求的長，由于，只需知道和的長，這樣可選擇在和中應用定理求解.解：在中，根據正弦定理有，同理，在中，根據正弦定理有.又在中，根據勾股定理有：.所以炮兵陣地到目標的距離為米.評注：應用正、余弦定理求解問題時，要將實際問題轉化為數學問題，而此類問題又可歸結為解斜三角形問題，因此，解題的關鍵是正確尋求邊、角關系，方能正確求解. 5.下料中正余弦定理的應用例5已知扇形鐵板的半徑為，圓心角為，要從中截取一個面積最大的矩形，應怎樣劃線？分析：要使截取

6、矩形面積最大，必須使矩形的四個頂點都在扇形的邊界上，即為扇形的內接矩形，如圖所示.（1）（2）解：在圖（1）中,在上取一點，過作于，過作交于，再過作于.設，.在中，由正弦定理，得.于是.當即時，取得最大值.在圖（2）中，取中點，連結，在上取一點，過作交于，過作交于，過作交于，連結得矩形，設，則.在中，由正弦定理得：，.（當時取“”）.當時，取得最大值.，作，按圖（1）劃線所截得的矩形面積最大.評注：此題屬于探索性問題，需要我們自己尋求參數，建立目標函數，這需要有扎實的基本功，在平時學習中要有意識訓練這方面的能力.綜上，通過對以上例題的分析，要能正確解答實際問題需：（1）準確理解有關問題的陳述材料和應用的背景；（2）能夠綜合地，靈活地應用所學知識去分析和解決帶有實際意義的與生產、生活、科學實驗相結合的數學問題.