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1、第一章 1、熟悉誤差、精度、有效數(shù)字的基本概念和相關計算方法。 答案：略 2、用兩種方法分別測量 L 1 =50mm，L 2 =80mm。測得值各為 50.004mm， 80.006mm。試評定兩種方法測量精度的高低。 解：兩種測量方法進行的測量絕對誤差分別為： 1 50.004-500.004（mm）； 2 80.006-800.006（mm）； 兩種測量方法的相對誤差分別為： 1 L 1 0.004/50=0.008%； 和 2 L 2 0.006/80=0.0075 %； 顯然，測量L 2 尺寸的方法測量精度高些。 3、若某一量值Q用乘積ab表示，而a與b是各自具有相對誤差f a 和f

2、b 的被測量，試 求量值Q的相對誤差。 解：相對誤差=絕對誤差/真值=(測得值-真值)/真值 a = a 0 (1+f a )； b = b 0 (1+f b )； 式中a 0 、b 0 分別為a、b的真值。 則 Q =ab = a 0 (1+f a ) b 0 (1+f b )a 0 b 0 (1+f a + f b ) 因此，Q的相對誤差約為（f a + f b ) 第二章 1、在立式測長儀上測量某校對量具，重復測量5次，測得數(shù)據(jù)（單位為mm）為 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測量值服從正態(tài)分布，試以 99%的置信概率確定測量結果。 解：

3、求算術平均值 求殘余誤差：各次測量的殘余誤差依次為 0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。 求測量列單次測量的標準差 用貝塞爾公式計算： 用別捷爾斯公式計算： 求算術平均值的標準差 求單次測量的極限誤差和算術平均值的極限誤差 因假設測量值服從正態(tài)分布，并且置信概率P=2(t)=99%，則(t)=0.495，查 附錄表1 正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù)t=2.6。故： 單次測量的極限誤差： 算術平均值的極限誤差： 求得測量結果為： 2、甲、乙兩測試者用正弦尺對一錐體的錐角個各重復測量 5 次，測得值如 下： 甲：7220”，730”，7235”，7220”，7215”， 乙：7225”

4、，7225”，7220”，7250”，7245”； 試求其測量結果。 解：對于每一組的測量，是等精度測量，分別先求各組的算術平均值。 用貝塞爾公式計算各組的標準差： 兩測量列的算術平均值的標準差： 確定各組的權 求加權算術平均值 求加權算術平均值的標準差 或： 測量結果： 3、對一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另 一個標準線圈比較得到的，測得結果如下（單位為mH） ： 50.82，50.83，50.87，50.89； 50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統(tǒng)誤差。 解：用 t 檢驗法進行檢

5、驗 前4次測量的算術平均值： 后6次測量的算術平均值： 由=4+6-2=8及取=0.05，查t分布表，得t a =2.31。 因 可判斷兩組數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差。 還可以用其它方法。 4、對某量進行15次測量，測得數(shù)據(jù)為28.53， 28.52， 28.50， 29.52， 28.53， 28.53， 28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若這些測得 值已消除系統(tǒng)誤差，試用萊以特準則、格羅布斯準則和狄克松準則分別判別該 測量列中是否含有粗大誤差的測量值。 解：將有關計算數(shù)據(jù)：平均值、殘差 i 等列于表中： 直接求得15 個數(shù)

6、據(jù)的算術平均值及其標準差： 用萊以特準則判別粗大誤差 因 故第4個測量數(shù)據(jù)含測量誤差，應當剔除。 再對剩余的14個測得值重新計算，得： 由表知第14個測得值的殘余誤差： 故也含粗大誤差，應剔除。 再重復驗算，剩下的13個測得值已不包含粗大誤差。 用格羅布斯準則判別 已經(jīng)計算出15個測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征量： 將測得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有： 首先判別x (15) 是否含有粗大誤差： 查表得： 則： 故第4個測得數(shù)據(jù)包含粗大誤差，應當剔除。 再對剩下的14個測得值計算，判斷x (1) 是否含有粗大誤差。已知： 查表得： 則： 故第14 個測得數(shù)據(jù)也包含粗大誤差，應當剔除。 再重復檢驗，其它各測

7、得值已不再包含粗大誤差。 用狄克松準則判別 將測得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有： 判斷最小值x (1) 與最大值x (15) 是否包含粗大誤差。因n=15，以統(tǒng)計量r 22 和r 22 計算 查表得r 0 (15, 0.05) =0.525,因 故：x (1) 和x (15) （即所測的第4 和第14個測量值）包含粗大誤差，應予剔除。 再重復檢驗剩余的13個測得值，已不再包含粗大誤差。 5、測量圓盤的直徑 (72.003 0.052) D mm ，按公式計算圓盤面積 2 /4 SD ， 由于選取 的有效數(shù)字位數(shù)不同，將對面積S計算帶來系統(tǒng)誤差，為保證S的計 算精度與直徑測量精度相同，試確定

8、的有效數(shù)字位數(shù)？ 解：測得D的平均值為72.003mm 由 2 4 D S ，當 D有微小變化 D 、 有 變化時，S的變化量為： 2 2 2 24 3.1416 72.003 72.003 0.052 ( 0.052) 24 72.003 0.052 5.8813 4 0.0045 0.004 SSDD SD D D 取 4 位有效數(shù)字 第三章 1 相對測量時需用54.255mm的量塊組做標準件，量塊組由四塊量塊研合而成， 它們的基本尺寸為：l 1 =40mm，l 2 =12mm，l 3 =1.25mm，l 4 =1.005mm。經(jīng)測量， 它們的尺寸偏差及其測量極限誤差分別為：l 1 =0.

9、7m，l 2 =+0.5m， l 3 =0.3m，l 4 = +0.1m； lim l 1 =0.35m， lim l 2 =0.25m, lim l 3 = 0.20m， lim l 4 =0.20m。試求量塊組按基本尺寸使用時的修正值及給相對 測量帶來的測量誤差。 解：量塊組的關系為：L =l 1 +l 2 +l 3 +l 4 ，顯然本題是一個關于函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù) 隨機誤差的計算問題。已知個組成塊的尺寸偏差（屬系統(tǒng)誤差），則可計算量塊 組的系統(tǒng)誤差。 L =l 1 +l 2 +l 3 +l 4 =0.7+0.50.3+0.10.4(m) 所以，量塊組按基本尺寸使用時的修正值 E 為：E

10、= L = (0.4) = 0.4 (m) 量塊組按基本尺寸使用時的測量誤差（系統(tǒng)極限誤差）為： ) ( 515 . 0 2 . 0 20 . 0 25 . 0 35 . 0 2 2 2 2 4 2 lim 3 2 lim 2 2 lim 1 2 lim lim m l l l l L 2 已知x與y的相關系數(shù) xy = 1，試求u=x 2 +ay的方差 u 2 。 解：屬于函數(shù)隨機誤差合成問題 3 如圖， 用雙球法測量孔的直徑D， 其鋼球直徑分別為d 1 ， d 2 測出距離分別為H 1 ,H 2 ， 試求被測孔徑D與各直接測量量的函數(shù)關系D=f(d 1 ,d 2 ,H 1 ,H 2 )及其

11、誤差傳遞系數(shù)。 解：由幾何關系易求被測孔徑D 各直接測量量的誤差傳遞系數(shù)如下： 4 對某一質量進行4次重復測量，測得數(shù)據(jù)（單位g）為428.6，429.2，426.5， 430.8。已知測量的已定系統(tǒng)誤差= 2.6g，測量的各極限誤差分量及其相應的 傳遞系數(shù)如下表所列。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質量的最可信賴值及 其極限誤差。 解：4 次重復測量的平均值： 已知測量有已定系統(tǒng)誤差= 2.6g ，依此對測量結果進行修正，則測量結果 的最可信賴值為： 因測量的極限誤差服從正態(tài)分布，其合成的極限誤差為 a、隨機誤差有三項，其合成極限誤差為： b、未定系統(tǒng)誤差有五項，其合成極限誤差為： 故總的極限

12、誤差為： 測量最后結果表示為： 第四章 1、望遠鏡的放大率D=f 1 /f 2 ，已測得物鏡主焦距f 1 1 =(19.800.10)cm，目鏡 主焦距f 2 2 =(0.8000.005)cm，求放大率測量中由f 1 、f 2 引起的的不確定度 分量和放大率D的標準不確定度。 解：依題意，所給出物鏡f 1 的測量不確定度為標準差的1倍，則其標準不確定度 為 物鏡f 2 的測量不確定度也為標準差的1倍，其標準不確定度為 考慮到f 1 與f 2 測量不確定度的相關系數(shù)為0， 根據(jù)測量不確定度的合成可得放大率 D=f 1 /f 2 的標準不確定度 2、在光學計上用52.5mm的量塊組作為標準件測量

13、圓柱體直徑，量塊組由三塊量 塊研合而成，其尺寸分別是：1 l = 40mm，l 2 =10mm，l 3 =2.5mm，量塊按“級”使用， 經(jīng)查手冊得其研合誤差分別不超過0.45mm、0.30mm、0.25mm（取置信概率 P=99.73%的正態(tài)分布），求該量塊組引起的測量不確定度。 解：L= 52. 5mm，l 1= 40mm，l 2=10mm，l 3=2.5mm 3、用漏電測量儀直接測量正常使用中微波爐的泄漏電流，5次重復測量的平均 值為0.320mA，平均值的標準差為0.001mA；已知漏電測量儀的示值誤差范圍為 5%，按均勻分布，取相對標準差為10%；測量時環(huán)境溫度和濕度的影響范圍為 2

14、%，按三角分布，其相對標準差為25%；試給出泄漏電流測量的不確定度報告 （置信概率99%） 解：1.不確定度的評定 泄漏電流不確定度影響顯著的因素有：重復測量引起的不確定度u x1 ；示值誤差引 起的不確定度u x2 ；環(huán)境溫濕度引起的不確定度u x3 。分析這些不確定度可知，不確 定度u x1 采用A類評定，而不確定度u x2 、u x3 采用B類評定。 下面分別計算各不確定度分量。 重復測量引起的不確定度u x1 ，由5次測量平均值的標準差為0.001mA，知重復測量 的標準不確定度u x1 =0.001mA。 且不確定度分量u 1 =u x1 =0.001mA。 其自由度 1 =5-1=

15、4。 示值誤差引起的不確定度u x2 ，按均勻分布，a=0.3205%=0.016mA，知示值誤差引 起的不確定度u x2 =a/3 =0.00924mA，不確定度分量u 2 =u x2 =0.00924mA。對應自由 度 環(huán)境溫濕度引起的不確定度u x3 ，按三角分布，a=0.3202%=0.0064mA，知示值誤 差引起的不確定度u x3 =a/6 =0.00261mA，不確定度分量u 3 =u x3 =0.00261mA。對應 自由度 2.不確定度合成 因u 1 、u 2 、u 3 相互獨立，可得合成標準不確定度 計算自由度 4.展伸不確定度 取置信概率99%,自由度58，查t分布表得t

16、0.99（58）=2.66，于是展 伸不確定度為 U=ku c =2.660.00965mA=0.026mA 5.不確定度報告 （1）用合成標準不確定度評定電流測量不確定度，則測量結果為 I=0.320mA,u c =0.00965mA，=57.2。 （2）用展伸不確定度評定電流測量不確定度，則測量結果為 I=(0.3200.026)mA,P=0.99, =58。 其中符號后的數(shù)值是展伸不確定度U=ku c =0.0257mA，是由uc=0.00965mA及包含 因子k=2.66 確定的。 第五章 51 測力計示值與測量時的溫度t 的對應值獨立測得如下表所示。 設t無誤差，F(xiàn)值隨t的變化呈線性關系F = k 0 + kt ，試給出線性方程中系數(shù)k 0 和k的最小二乘估計及其相應精度。 52 材料的抗剪強度與材料承受的正應力有關。對某種材料試驗的數(shù)據(jù)如下： 假設正應力的數(shù)值是精確的，求抗剪強度與正應力之間的線性回歸方程。當 正應力為24.5 Pa 時，抗剪強度的估計值是多少？ 解：