《第4節(jié)--隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)--相關(guān)變化率(共5頁).doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第4節(jié)--隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)--相關(guān)變化率(共5頁).doc（5頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率教學(xué)目的： 熟悉隱函數(shù)的概念;掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；掌握由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法.教學(xué)重點(diǎn)：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù);由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo);相關(guān)變化率;對數(shù)求導(dǎo)法 教學(xué)難點(diǎn)：隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，冪指函數(shù)的求導(dǎo)法教學(xué)內(nèi)容： 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 顯函數(shù): 形如y=f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù). 例如y=sin x , y=ln x+e x . 隱函數(shù): 由方程F(x, y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù). 例如, 方程x+y3 -1=0確定的隱函數(shù)為y . 如果在方程F(x, y)=0中, 當(dāng)x取某區(qū)間

2、內(nèi)的任一值時(shí), 相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y 值存在, 那么就說方程F(x, y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù). 把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù), 叫做隱函數(shù)的顯化. 隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的, 甚至是不可能的. 但在實(shí)際問題中, 有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 因此, 我們希望有一種方法, 不管隱函數(shù)能否顯化, 都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來. 例1求由方程e y+xy-e=0 所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù). 解: 把方程兩邊的每一項(xiàng)對x 求導(dǎo)數(shù)得 (e y)¢+(xy)¢-(e)¢=(0)¢, 即 e y× y¢+y+x

3、y¢=0, 從而 (x+e y¹0). 例2求由方程y5+2y-x-3x7=0 所確定的隱函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)y¢|x=0. 解: 把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)得 5y×y¢+2y¢-1-21x 6=0,由此得 . 因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí), 從原方程得y=0, 所以 . 例3. 求橢圓在處的切線方程. 解: 把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo), 得 . 從而 . 當(dāng)x=2時(shí), , 代入上式得所求切線的斜率 . 所求的切線方程為 , 即. 解: 把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo), 得 . 將x=2, , 代入上式得 ,于是 k=y

4、62;|x=2. 所求的切線方程為 , 即. 例4求由方程所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù). 解: 方程兩邊對x求導(dǎo), 得 , 于是 . 上式兩邊再對x求導(dǎo), 得 . 隱函數(shù)求導(dǎo)方法小結(jié)：（1）方程兩端同時(shí)對求導(dǎo)數(shù)，注意把當(dāng)作復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的中間變量來看待.（2）從求導(dǎo)后的方程中解出來.（3）隱函數(shù)求導(dǎo)允許其結(jié)果中含有.但求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)不但要把值代進(jìn)去，還要把對應(yīng)的值代進(jìn)去. 對數(shù)求導(dǎo)法: 這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對數(shù), 然后再求出y的導(dǎo)數(shù). 設(shè)y=f(x), 兩邊取對數(shù), 得 ln y = ln f(x), 兩邊對x 求導(dǎo), 得 , y¢= f(x)×ln f(x)&

5、#162;. 對數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù). 例5求y=x sin x (x>0)的導(dǎo)數(shù). 解法一: 兩邊取對數(shù), 得 ln y=sin x × ln x, 上式兩邊對x 求導(dǎo), 得 , 于是 . 解法二: 這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求: y=x sin x=e sin x·ln x , . 例6. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解: 先在兩邊取對數(shù)(假定x>4), 得 ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4), 上式兩邊對x求導(dǎo), 得 ,于是 .當(dāng)x<1時(shí), ; 當(dāng)2<x<

6、3時(shí), ; 用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果. 注: 嚴(yán)格來說, 本題應(yīng)分x>4, x<1, 2<x<3三種情況討論, 但結(jié)果都是一樣的. 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程確定的. 則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù). 在實(shí)際問題中, 需要計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 但從參數(shù)方程中消去參數(shù)t 有時(shí)會(huì)有困難. 因此, 我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 設(shè)x=j(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=j-1(x), 且此反函數(shù)能與函數(shù)y=y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=yj-1(x) , 若x=j(t)和y=y(

7、t)都可導(dǎo), 則 , 即 或. 若x=j(t)和y=y(t)都可導(dǎo), 則. 例7. 求橢圓在相應(yīng)于點(diǎn)處的切線方程. 解: . 所求切線的斜率為. 切點(diǎn)的坐標(biāo)為, . 切線方程為, 即 bx+ayab =0. 例8拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為, 求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向. y=v2t -g t 2 解: 先求速度的大小. 速度的水平分量與鉛直分量分別為 x ¢(t)=v1, y¢(t)=v2-gt, 所以拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小為 . 再求速度的方向, 設(shè)a是切線的傾角, 則軌道的切線方向?yàn)?. 已知x=j(t), y=y(t), 如何求二階導(dǎo)數(shù)y¢

8、;¢? 由x=j(t), , . 例9計(jì)算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù). 解: (t¹2np, n為整數(shù)). (t¹2np, n為整數(shù)). 三、相關(guān)變化率 設(shè)x=x(t)及y=y(t)都是可導(dǎo)函數(shù), 而變量x與y間存在某種關(guān)系, 從而變化率與間也存在一定關(guān)系. 這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率. 相關(guān)變化率問題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系, 以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率. 例10一氣球從離開觀察員500f處離地面鉛直上升, 其速度為140m/min(分). 當(dāng)氣球高度為500m時(shí), 觀察員視線的仰角增加率是多少？ 解 設(shè)氣球上升t(秒)后, 其高度為h, 觀察員視線的仰角為a, 則. 其中a及h都是時(shí)間t的函數(shù). 上式兩邊對t求導(dǎo), 得. 已知(米/秒). 又當(dāng)h=500(米)時(shí), tan a=1, sec2 a=2. 代入上式得,所以 (弧度/秒). 即觀察員視線的仰角增加率是每秒0. 14弧度. 小結(jié)：本節(jié)講述了隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，利用取對數(shù)的方法解決了冪指函數(shù)的求導(dǎo)問題.思考：對冪指數(shù)函數(shù) 你有幾種求導(dǎo)方法？作業(yè)：見習(xí)題冊 專心-專注-專業(yè)