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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上因數和倍數 質數和合數整理教師：劉新民一、基礎知識（一）因數和倍數1. 因數和倍數的意義。 已知a、b、c均為正整數，且a×b=c，那么c就是a和b的倍數，a和b就是c的因數，倍數和因數是相互依存的，不能獨立存在。2. 因數和倍數的特征。 一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身；一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數；一個數既是它本身的因數，又是它本身的倍數。（二）能被2、3、5整除的數的特征1. 能被2整除的數的特征：個位上的數字是0，2,4,6,8。2. 能被3整除的數的特征：各個數位上的數字的和是

2、3的倍數。3. 能被5整除的數的特征：個位上的數字是0或5。4. 能同時被2、5整除的數的特征：個位上的數字是0。（三）奇數和偶數1. 奇數：在自然數中，不能被2整除的數叫做奇數。2. 偶數：在自然數中，能被2整除的數叫做偶數。3. 研究奇數和偶數時包括0，因此自然數不是奇數就是偶數。最小的奇數是1，沒有最大的奇數；最小的偶數是0，沒有最大的偶數。（四）質數和合數1. 質數的意義：一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數），最小的質數是2，2是唯一的偶質數，沒有最大的質數。2. 合數的意義：一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。最小的合數是4，沒有最大的

3、合數。注意：1既不是質數也不是合數。除2以外，所有的質數是奇數，所有的偶數是合數。3. 判斷一個數是質數還是合數的方法。（1）通過找因數的個數來判斷：先找出這個數的因數，再數因數的個數，只有1和它本身兩個因數的數就是質數，有三個或三個以上因數的數就是合數。（2）查表法：看質數表里有沒有所要查的數，如果有，它是質數，如果沒有，它就不是質數。4. 奇數和偶數的運算性質。（1）和差的奇偶性奇數±奇數=偶數（偶數個奇數相加） 奇數±奇數=奇數（奇數個奇數相加）奇數±偶數=奇數 偶數±偶數=偶數（2）積的奇偶性奇數×奇數=奇數； 奇數×偶數=偶

4、數； 偶數×偶數=偶數（五）分解質因數1. 質因數：每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數。2. 分解質因數：把一個合數用幾個質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。3. 分解質因數的方法：把一個合數分解質因數，通常運用短除法。分解質因數時，先用這個合數的質因數（通常從最小的開始）去除，得出的商如果是質數，就把除數和商寫成相乘的形式；得出的商如果是合數就用質因數繼續(xù)去除，直到得出的商是質數為止，然后把各個除數和最后的商寫成連乘的形式。（六）最大公因數和最小公倍數1. 最大公因數：幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數。其中最大的一

5、個叫做這幾個數的最大公因數。2. 最小公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數。其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍數。3. 互質數：公因數只有1的兩個數叫做互質數。4. 求兩個數的最大公因數的方法：（1）列舉法；先分別找出每個數的因數，從中找出公因數，再找出最大的一個因數就是它們的最大公因數。（2）篩選法：先找出兩個數中較小數的因數，從中圈較大數的因數，再看哪個因數最大，這個數就是它們的最大公因數。（3）分解質因數法：先將兩個數分別分解質因數，再從分解的質因數中找出這兩個數公有的質因數，公有的質因數相乘所得的積就是這兩個數的最大公因數。（4）短除法：把兩個數公有的質因數從小到大依次作為

6、除數，連續(xù)去除這兩個數，直到得出的兩個商只有公因數1為止，再把所有的除數相乘，所得的積就是這兩個數的最大公因數。5. 求兩個數的最小公倍數的方法：（1）列舉法：分別寫出兩個數各自的倍數，再從其中找出公有的倍數，然后從公倍數中找出最小的一個就是這幾個數的最小公倍數。（2）篩選法：先寫出兩個數中較大數的倍數，然后從這組數中按從小到大的順序圈出較小數的倍數，第一個圈出的就是它們的最小公倍數。（3）分解質因數法：分別把兩個數分解質因數，相同的質因數對齊寫，獨有的質因數單獨寫，然后相同的質因數取一個，單獨的質因數都取出來，把它們連乘，積就是最小公倍數。（4）短除法：用兩個數公有的質因數按從小到大的順序，

7、依次作為除數連續(xù)去除這兩個數，一直除到所得的商是互質數為止，然后把所有的除數和最后所得的商連乘起來，就是這兩個數的最小公倍數。6. 求兩個數的最大公因數和最小公倍數的特殊情況。（1）如果較小數是較大數的因數，那么較小數就是這兩個數的最大公因數，較大數就是較小數的最小公倍數。（2）如果兩個數是互質數，那么它們的最大公因數就是1，最小公倍數就是這兩個數的乘積。（3）兩個數的乘積等于最大公因數和最小公倍數的乘積。二、例題精講例1、有因數2，又是3和5的倍數的最大三位數是多少？分析與解答：根據題意，這道題所求的數是同時是2，3，5的倍數的最大三位數。同時是2，3，5的倍數的數的個位上的數字一定是0，其

8、他各位上數字的和是3的倍數。要使其最大，百位上一定是9，十位上也是9，所以這個三位數是990。例2、（選擇）把210分解質因數是（ ）A. 210=1×2×3×5×7 B. 2×3×5×7=210C. 210=5×6×7 D. 210=2×3×5×7分析與解答：分解質因數是把一個合數寫成幾個質因數相乘的形式，所有的因數必須是質數，所以選項A中，1不是質數；選項C中，6不是質數；分解質因數和乘法算式不同，應該把被分解的合數寫在等號的左邊，故選項B也不對，那么正確答案是D。例3、

9、求24和36的最大公因數和最小公倍數。分析與解答：要求兩個數的最大公因數和最小公倍數，應該先分別把這兩個數分解質因數：24=2×2×2×336=2×2×3×3求兩個數的最大公因數時，把這兩個數公有的因數2、2和3乘起來，即2×2×3=12；求兩個數的最小公倍數時，把它們公有的因數2、2、3和各自獨立的因數2、3都乘起來，即2×2×3×2×3=72；所以24和36的最大公因數是12，最小公倍數是72。例4、把長1.36m、寬0.8m的長方形紙裁成同樣大小的正方形紙。如果要使正方

10、形紙的面積盡可能大，且裁完沒有剩余，可裁出多少張正方形紙？分析與解答：把長方形紙裁成正方形紙且沒有剩余，則正方形紙的邊長是長方形紙長與寬的公因數，要使正方形紙的面積盡可能大，正方形紙的邊長應是長與寬的最大公因數。先把米化成厘米，即1.36m=136，0.8m=80，因為136和80的最大公因數是8，所以正方形的邊長為8，那么長方形在長可以分136÷8=17（段），寬可以分80÷8=10（段），故可裁17×10=170（張）。例5、一袋糖果，如果平均分給4個小朋友，還剩3塊；如果平均分給5個小朋友，還缺1塊；如果平均分給6個小朋友，還缺1塊。這袋糖果至少有多少塊？分

11、析與解答：題中“如果平均分給5個小朋友，還缺1塊” 可以理解為“如果平均分給5個小朋友，還剩4塊；同理“如果平均分給6個小朋友，還缺1塊” 可以理解為“如果平均分給6個小朋友，還剩5塊” 。如果給這堆糖果再加1塊，那么分別平均分給4個小朋友，5個小朋友，6個小朋友，都正好分完。也就是說這袋糖果加1塊后正好是4，5，6的公倍數，這袋糖果至少有多少塊，就是求4，5，6的最小公倍數。即4，5，6的最小公倍數是60，所以這袋糖果至少有60-1=59（塊）。三、練習精選1. 填空。（1）20以內既是偶數又是質數的有（ ），既是奇數又是合數的是（ ）。（2）一個數的最大因數是48，它的最小倍數是（ ），把

12、這個數分解質因數是（ ）。（3）任意兩個連續(xù)的自然數中，兩個數都是質數的有（ ）組。（4）a和b是兩個自然數，a除以b的商是5，沒有余數，那么a和b的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。（5）既是3的倍數，又是5的倍數的最大兩位奇數是（ ）。（6）如果A=2×3×5，B=3×5×7，那么A和B的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。（7）兩個質數的和是31，這兩個質數的積是（ ）。（8）一個自然數除以4余2，除以5余3，除以6余4，這個數最小是（ ）。（9）有三根鐵絲，一根長48dm，一根長60dm，一根長36dm，要把它們截成同樣長的幾段，不許剩

13、余，每段最長（ ）dm，一共可以截成（ ）段。2. 判斷。（1）一個自然數不是奇數就是偶數，不是質數就是合數。（ ）（2）因為60=3×4×5，所以3，4，5都是60的質因數。（3）有公因數1的兩個數叫做互質數。（ ）（4）互質的兩個數相乘的積一定是合數。（ ）3. 選擇。（1）求18和30的最大公因數，必須包含18和30的（ ）質因數。A. 所有的 B. 公有的 C. 全部公有的（2）24用兩個質數的和表示是（ ）。A. 1+23 B. 4+20 C. 2+22 D. 11+13（3）40=2×4×5，下面說法中正確的是（ ）。A. 2，4，5都是40

14、的質因數B. 40=2×4×5是把40分解質因數。C. 2，4，5都是40的因數，（4）在0，3，6，5這4個數字中選擇3個數字，組成一個同時是2，3，5的倍數的最小三位數是（ ）A. 306 B. 350 C. 360 D. 630（5）兩個奇數的和一定是（ ）數，積一定是（ ）數。A. 奇 B. 偶 C. 質 D. 合4. 解決問題。（1）學期末，老師把35支鉛筆和42本練習本平均分給六（3）班獲得“三好學生”的同學，結果鉛筆缺1支，練習本多2本，獲得“三好學生”的最多有多少人？（2）一行有36棵小樹，原來每隔2m栽一棵，現在沒兩棵之間的距離改為5m，一共有幾棵小樹不必移動？四、思維訓練1. 我國首臺自行研制的“蛟龍”號載人潛水器在太平洋馬里亞納海溝下潛的深度是（ ）米。（1）這個數是一個四位數，千位上的數字是最小質數與最小合數的和。（2）個位上的數字是5的最小倍數。（3）百位上的數字是最大的一位數。（4）十位上的數字與千位上的數字相同。2. 甲、乙兩數的積是700，甲、乙兩數的最大公因數是5，最小公倍數是（ ）。3. 將下面8個數平均分成兩組，使這兩組數的乘積相等，可以怎樣分？14 30 33 35 39 75 143 169專心-專注-專業(yè)