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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 矩陣可對(duì)角化的判定條件及推廣 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（S）學(xué)號(hào)： 姓名：方守強(qiáng) 指導(dǎo)教師：梁俊平 摘要：矩陣是否可以對(duì)角化，是矩陣的一條很重要的性質(zhì)。對(duì)相似可對(duì)角化的充分必要條件的理解，一直是線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)困難問題。本文給出了矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)充分必要條件和相應(yīng)的證明。關(guān)鍵詞：方陣；特征值；特征向量；對(duì)角化引言：矩陣是高等代數(shù)中的重要組成部分，是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具。而對(duì)角矩陣作為矩陣中比較特殊的一類，其形式簡(jiǎn)單，研究起來也非常方便。研究矩陣的對(duì)角化及其理論意義也很明顯，矩陣相似是一種等價(jià)關(guān)系，對(duì)角化相當(dāng)于對(duì)一類矩陣在相似意義下給出了一種簡(jiǎn)

2、單的等價(jià)形式，這對(duì)理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質(zhì)，比如特征多項(xiàng)式、特征根、行列式如果只關(guān)心這類性質(zhì)，那么相似的矩陣可以看作是沒有區(qū)別的，這時(shí)研究一個(gè)一般的可對(duì)角化矩陣，只要研究它的標(biāo)準(zhǔn)形式一個(gè)對(duì)角形矩陣就可以了。而對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的一類矩陣，研究起來非常方便。在本課題中通過閱讀參考文獻(xiàn)、查閱相關(guān)資料，初步總結(jié)出了矩陣可對(duì)角化的若干充分必要條件，并給予了相應(yīng)的證明過程。 一、矩陣可對(duì)角化的概念1 特征值、特征向量的概念 定義1 設(shè)是數(shù)域上線性空間的一個(gè)線性變換, 如果對(duì)于數(shù)域中的一個(gè)數(shù)存在一個(gè)非零向量使得,那么稱為的一個(gè)特征值，而 稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量。求方陣的特征值與

3、特征向量的步驟：(1)由特征方程=0求得的個(gè)特征值，設(shè)是的互異特征值,其重?cái)?shù)分別為則。(2)求解齊次線性方程組,其基礎(chǔ)解系()就是所對(duì)應(yīng)特征值的線性無關(guān)的特征向量。2 矩陣可對(duì)角化的概念定義2 設(shè)是矩陣上一個(gè)階方陣，如果存在數(shù)域上的一個(gè)可逆矩陣,使得為對(duì)角形矩陣，那么就說矩陣可以對(duì)角化。任意方陣的每一個(gè)特征值都有一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的特征向量滿足，則這個(gè)方程可以寫成 , （1）我們定義矩陣,則（1）式可寫成,若矩陣是可逆陣，則有引理1 設(shè)、都是階矩陣,則有秩 秩+秩 。引理2 設(shè)()為階方陣的所有互異特征值，則矩陣的線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為。證明 設(shè)()為階方陣的所有互異特征值，因?yàn)樘卣髦迪鄳?yīng)

4、的線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)即為線性方程組的基礎(chǔ)解析所含向量的個(gè)數(shù)，所以特征值 相應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)分別為，而矩陣的不同特征值的線性無關(guān)的特征向量并在一起仍然線性無關(guān)，從而,矩陣線性無關(guān)的特征向的最大個(gè)數(shù)為。引理3 設(shè)為階方陣,是任意兩兩互異的數(shù),則。 二、矩陣可對(duì)角化的充分必要條件1 矩陣可對(duì)角化的充分必要條件及其證明定理1 數(shù)域上階方陣可對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。證明（1）充分性 假設(shè)是矩陣的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即有,令矩陣由特征向量組成，因?yàn)槭蔷€性無關(guān)的，因此矩陣是非奇異矩陣，其逆矩陣記為，根據(jù)逆矩陣的定義有=，另一方面，由易知, =,給此式左乘矩陣

5、，則有=，即充分性得證。 （2）必要性 令矩陣和對(duì)角形矩陣相似，即存在可逆矩陣使得,則有,于是記=()，則可以寫成=()即有,這說明矩陣的列向量是矩陣的特征向量，而已知是可逆陣，故的個(gè)列向量線性無關(guān)，必要性得證。定理2 設(shè) ，則可以對(duì)角化的充分必要條件是：(1)的特征根都在數(shù)域內(nèi),(2)對(duì)的每個(gè)特征根,有，其中是的重?cái)?shù)。條件(2) 也可改述為：特征根的重?cái)?shù)等于齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)(簡(jiǎn)稱為代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù))。條件(2)還可改述為：令有，即屬于的不同特征根的線性無關(guān)的特征向量總數(shù)是。條件(1)，(2)還可改述為:的屬于不同特征值的特征子空間的維數(shù)之和等于。證明 設(shè)是的所有不同

6、的特征根,是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的特征向量一定線性無關(guān)。如果, 則有個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 從而可以對(duì)角化。若可以對(duì)角化, 則屬于的不同特征根的線性無關(guān)的特征向量總數(shù)一定是。若不然, 則由定理1可設(shè)的個(gè)線性無關(guān)的特征向量為,設(shè)是屬于特征根的特征向量，則可由線性表出，從而可由向量組線性表出，于是，rank rank =與線性無關(guān)矛盾。定理3 設(shè)是階復(fù)矩陣, 則與對(duì)角形矩陣相似的充分必要條件是的最小多項(xiàng)式無重根。證明 充分性 因無重根,由| 知,的每個(gè)不變因子都不能有重根，從而特征矩陣作為復(fù)數(shù)域上的矩陣,其初等因子全為一次式，故必與對(duì)角陣相似。必要性 因與對(duì)角陣相似,特征矩陣的初等因子

7、必均為一次式,故最后一個(gè)不變因子也只能是不同的一次因式之積，這就證明了最小多項(xiàng)式無重根。此定理3所給出的判別矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件,形式上還可削弱,我有:定理4 設(shè)是維向量空間的一個(gè)線性變換，的矩陣可以對(duì)角化的充分必要條件是可以分解為個(gè)在之下不變的一維子空間的直和。 證明 :必要性若可以對(duì)角化，則存在的一組基使得在這組基下的矩陣為， 令,則 ，事實(shí)上：（1），則，又, ，即。（2）,，且，且, ，又，,即又線性無關(guān)=0,即=0。充分性:若可分解為個(gè)在之下不變的一維子空間的直和,即,設(shè)的基分別為則可構(gòu)成的一組基。令， 在基下的矩陣為 ， 即可以對(duì)角化。定理5 設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)階矩陣，的特征根全

8、在內(nèi)，若是的全部不同的特征根，其重?cái)?shù)分別為，則可對(duì)角化的充要條件是秩。證明 :設(shè)可對(duì)角化，則存在可逆矩陣,使這里右邊是分塊對(duì)角矩陣，為階單位陣，于是有秩=秩=秩 =秩 =秩 =秩 =。反之，若秩=，則反復(fù)用本文引理1可得： =，于是有=。從而 =，這樣可對(duì)角化。 定理6 設(shè)為階方陣,則可以對(duì)角化的充要條件為存在兩兩互異的使得。證明 必要性 設(shè)階方陣可以對(duì)角化,()為的所有互異特征值,由引理2及定理1，從而有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,即故，再由引理3得0，從而有。充分性設(shè)為階方陣且存在兩兩互異的數(shù)使得，記為=。設(shè)為的特征值，則必為的特征值，從而。所以,因此矩陣的特征值的取值范圍為，顯然當(dāng)可逆時(shí)，不是

9、的特征值；當(dāng)可逆時(shí)，是的特征值。因?yàn)榫€性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)即為的特征值的重?cái)?shù) (當(dāng)可逆時(shí), 不是的特征值,此時(shí))。從而矩陣線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為。再由引理3，當(dāng)時(shí)，所以 ，即階方陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,從而可以對(duì)角化。2 可對(duì)角化矩陣的相似對(duì)角陣的求法及步驟 具體步驟 設(shè)，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣的步驟是:(1) 求矩陣的全部特征根；(2) 如果的特征根都在數(shù)域內(nèi)(否則不可對(duì)角化), 那么對(duì)每個(gè)特征根, 求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(3) 如果對(duì)每個(gè)特征根,的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)等于的重?cái)?shù)(否則不可對(duì)角化), 那么可對(duì)角化,以所有基礎(chǔ)解系中的向量為列即得階可逆陣,

10、 且是對(duì)角陣, 而對(duì)角線上的元素是的全部特征根。參 考 文 獻(xiàn)1 張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2007.2 蘇 普羅斯庫烈柯夫,周曉鐘譯.線性代數(shù)習(xí)題集M.北京:人民教育出版社,1981.3 張枚.高等代數(shù)習(xí)題選編M.浙江:浙江科學(xué)技術(shù)出版社,1981.4 秦松喜.高等代數(shù)新編M.廈門:廈門大學(xué)出版社,2005.5 楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解M.山東:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2001.6 張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用M.北京:清華大學(xué)出版社，2004.7 張建航，李宗成.方陣的伴隨矩陣性質(zhì)探討J.高師理科學(xué)刊,2007，01：11-14.8 王志武.方陣可對(duì)角化的一個(gè)充要條件J.山東農(nóng)

11、業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2008，04：3-5.Matrix diagonalization of decision condition and promotionFang Shou-qiang Advisor:Liang Jun-pingMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science 【Abstract】 Whether can matrix diagonalization, are the property of matrix a is very important. Sufficien

12、t and necessary conditions of similarity diagonalization of understanding, has always been a difficult problem in linear algebra. The diagonalization of matrix are given in this paper can be several necessary and sufficient condition and the corresponding certificate. 【Keywords】 Square; Characteristic value; Feature vector; diagonalization專心-專注-專業(yè)