《《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》習(xí)題解答(共43頁).doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》習(xí)題解答(共43頁).doc（43頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上抽象代數(shù)基礎(chǔ)于 延 棟 編鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二零零九年五月第一章 群 論§1 代數(shù)運(yùn)算1.設(shè),上的乘法的乘法表如下:·證明: 適合結(jié)合律.證明 設(shè)為中任意三個元素.為了證明適合結(jié)合律,只需證明.下面分兩種情形來闡明上式成立.I.中至少有一個等于.當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.II.都不等于.(I).這時,.(II)兩兩不等.這時,.(III)中有且僅有兩個相等.當(dāng)時,和是中的兩個不同元素,令表示中其余的那個元素.于是,從而,.同理可知,當(dāng)或時,都有.2.設(shè)是集合上一個適合結(jié)合律的代數(shù)運(yùn)算.對于中元素,歸納定義為: ,.證明:.進(jìn)而證明:在不改變元素

2、順序的前提下,中元素的乘積與所加括號無關(guān).證明 當(dāng)時,根據(jù)定義,對于任意的正整數(shù),等式成立.假設(shè)當(dāng)()時,對于任意的正整數(shù),等式成立.當(dāng)時,由于適合結(jié)合律,我們有.所以,對于任意的正整數(shù)和,等式成立.考察中任意()個元素:當(dāng)時,要使記號變成有意義的記號,必需在其中添加一些括號規(guī)定運(yùn)算次序.現(xiàn)在我們來闡明:在不改變元素順序的前提下,無論怎樣在其中添加括號,運(yùn)算結(jié)果總是等于.事實(shí)上,當(dāng)或時,無需加括號,我們的結(jié)論自然成立.當(dāng)時,由于適合結(jié)合律,我們的結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)()時我們的結(jié)論成立.考察的情形:不妨設(shè)最后一次運(yùn)算是,其中為中前()個元素的運(yùn)算結(jié)果,為中后個元素的運(yùn)算結(jié)果.于是,根據(jù)歸納假設(shè),

3、.所以最終的運(yùn)算結(jié)果為.3.設(shè)是有理數(shù)集.對于任意的,令,證明: 是上的一個代數(shù)運(yùn)算,它既不適合結(jié)合律也不適合交換律.證明 眾所周知,對于任意的,.所以是上的一個代數(shù)運(yùn)算.令,.由于,從而,所以不適合結(jié)合律.由于,.從而,.所以不適合交換律.§2 群的概念1.證明: 關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個群.證明 首先,眾所周知,.由于矩陣的加法適合結(jié)合律,上的加法適合結(jié)合律.其次,令,則,并且,.最后,對于任意的,令,則且.所以關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個群.2.令,證明:關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個群.證明 將記作,并將中其余三個矩陣分別記作.于是,上的乘法表如下:·EABCEEABCAAECBB

4、BCEACCBAE由于矩陣的乘法適合結(jié)合律,上的乘法適合結(jié)合律.從乘法表可知,.所以關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個群.3.在整數(shù)集中,令,.證明:關(guān)于這樣的乘法構(gòu)成一個群.證明 對于任意的,我們有,從而.這就是說,該乘法適合結(jié)合律.其次,并且對于任意的,我們有,.所以關(guān)于該乘法構(gòu)成一個群.4.寫出的乘法表.解 ,的乘法表如下:·5.設(shè)是一個群,證明: 適合消去律.證明 設(shè).若,則.同理,若,則.這就表明,適合消去律.6.在中,令,.求和.解 我們有,.7.設(shè),求.解 我們有.8.設(shè)是任意一個置換,證明:.證明 事實(shí)上,易見,是中的個不同的數(shù)字.由直接計算可知,;.其次,對于任意的,在之下的像

5、是本身.所以.9.設(shè)是一個非空集合,是上的一個代數(shù)運(yùn)算,若適合結(jié)合律,則稱是一個半群(或者稱關(guān)于構(gòu)成一個半群).證明:整數(shù)集關(guān)于乘法構(gòu)成一個半群,但不構(gòu)成一個群.證明 眾所周知,是非空集合,對于任意的,總有,并且整數(shù)乘法適合結(jié)合律,所以關(guān)于乘法構(gòu)成一個半群.其次,令.于是,對于任意的,總有.但是,并且不存在,使得.所以關(guān)于乘法不構(gòu)成一個群.10.設(shè)是一個非空集合,是由的所有子集構(gòu)成的集合.則集合的并是上的一個代數(shù)運(yùn)算.證明:是一個半群.證明 眾所周知,對于任意的,總有.這就是說,上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律,所以是一個半群.注 請同學(xué)們考慮如下問題:設(shè)是一個非空集合,是由的所有子集構(gòu)成的集合.定義上

6、的代數(shù)運(yùn)算 (稱為對稱差)如下:,.求證:是一個交換群.11.令.證明關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個半群.證明 眾所周知,對于任意的,總有,.這就是說,矩陣的乘法是上的一個代數(shù)運(yùn)算,并且適合結(jié)合律,所以關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個半群.12.設(shè)是一個半群,稱為的一個左(右)單位元,如果對于任意的都有().對于,如果存在使(),則稱左(右)可逆的,是的一個左(右)逆元.假設(shè)有左(右)單位元且中每個元素都有關(guān)于的左(右)逆元.證明:是一個群.證明 設(shè)是中任意一個元素.任取,使得.再任取,使得.于是,我們有且.因此.所以.由以上兩式可知,是單位元,中每個元素都有逆元.所以是一個群. 對于有左單位元且中每個元素都有

7、關(guān)于的左逆元的情形,請同學(xué)們自己證明.13設(shè)是一個群,證明:,.證明 對于任意的,我們有,.所以,.16.設(shè)是一個群,證明:是交換群的充要條件是,.證明 必要性是顯然的.現(xiàn)在假設(shè)滿足該條件.于是,對于任意的,我們有,即.運(yùn)用消去律(第5題)立即可得.所以是交換群.17設(shè)是一個群.假設(shè)對于任意的都有,證明:是交換群.證明 我們有,.由上題知,是交換群.18.設(shè)是非空集合,是上的一個代數(shù)運(yùn)算且適合結(jié)合律.(1)證明:是一個群當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的,方程和在中都有解.(2)假設(shè)是有限集,證明:是一個群當(dāng)且僅當(dāng)適合消去律.證明 (1)當(dāng)是一個群時,顯然,對于任意的,是方程的解,是方程的解.現(xiàn)在假設(shè)對于任意

8、的,方程,在中都有解.任取,考察方程.根據(jù)假設(shè),方程有解.設(shè)是中任意一個元素,考察方程.根據(jù)假設(shè),方程有解.于是,我們有.由于的任意性,上式表明是半群的一個右單位元.再考察方程.根據(jù)假設(shè),方程有解.由于的任意性,這表明中每個元素關(guān)于右單位元都有右逆元.所以是一個群.(2)當(dāng)是一個群時,根據(jù)第5題,適合消去律.現(xiàn)在假設(shè),并且適合消去律.任取,考察方程.由于適合左消去律,因此必出現(xiàn)于乘法表的第行中.這就意味著存在,使得,從而方程在中有解.同理,由于適合右消去律,方程在中有解.這樣一來,根據(jù)(1),是一個群. 19.證明命題2.8中的表示法在不計循環(huán)置換的順序的意義下是唯一的.注注 宜將這道題表述成

9、“證明:在不計循環(huán)置換的順序的意義下,在用命題2.8中的證明中所說的方法將一個置換表示成兩兩不相交的循環(huán)置換的乘積時,表達(dá)式是唯一的”.證明 顯然,當(dāng)是單位置換時,表達(dá)式就是.不妨設(shè)不是單位置換,和都是在用命題2.8中的證明中所說的方法將置換表示成兩兩不相交的循環(huán)置換的乘積的表達(dá)式.于是,兩兩不相交,兩兩不相交,而且它們的階都大于或等于.考察任意的(): 設(shè).由和可知,存在(),使得,.不妨設(shè).由和可知,并且,從而,.由于兩兩不相交,兩兩不相交,并且不計循環(huán)置換的順序,不妨設(shè),.假設(shè),則,由此可見,當(dāng)時,必與中某一個相交.這與我們的假設(shè)矛盾.所以.這就表明,和是同一個表達(dá)式.§3 子

10、 群1.設(shè)是數(shù)域上的級一般線性群,是的由全體階可逆的對角矩陣組成的子集,證明:是的子群.證明 眾所周知,非空,并且有,其中表示矩陣與矩陣的乘積,表示矩陣的逆矩陣.所以是的子群.2.設(shè)是一個群,是的非空子集,證明:是的子群的充分必要條件是,.證明 由定理3.3可知,當(dāng)是的子群時,滿足條件.假設(shè)滿足條件.對于任意的,我們有.因?yàn)闈M足條件,由可知,.因?yàn)闈M足條件,由可知.總而言之 對于任意的,我們有.根據(jù)定理3.3,是的子群.3.設(shè)是群的子群,證明:也是的子群(稱為的一個共軛子群).證明 顯然,是的非空子集.設(shè).于是,存在,使得,.因此.所以是的子群.4.設(shè)是交換群,為整數(shù),令,證明:是的子群.證明

11、 顯然.若,則,從而,.由此可見,是的子群.5.設(shè)是交換群,證明:的所有階為有限的元素構(gòu)成的集合是的子群.證明 令表示的所有階為有限的元素構(gòu)成的集合.顯然.設(shè),其中,.于是,從而,.由此可見,是的子群.6.設(shè)是群,證明:與具有相同的階.證明 顯然,對于任意的正整數(shù),從而,.由此可見,與具有相同的階.7.設(shè)是循環(huán)置換,求的階.解 當(dāng)時,顯然,.當(dāng)時,我們有,從而,.8.設(shè)群的除單位元外的每個元素的階都為,證明:是交換群.證明 參看§2習(xí)題第17題.9.設(shè)是群,證明:與具有相同的階.證明 注意到,根據(jù)第6題的結(jié)論,與具有相同的階.10.設(shè)是群,.假設(shè)的階與的階互素,證明:.證明 令,.由

12、于,根據(jù)命題3.12可以斷言.其次,我們有,從而,根據(jù)命題3.12,.因?yàn)榕c互素,由可知.同理可知,.由于與互素,因此.所以,即.11.設(shè)是整數(shù)集關(guān)于加法構(gòu)成的群,是的子群,證明:存在使.證明 眾所周知,.當(dāng)時,顯然.現(xiàn)在假設(shè).于是,存在使.這時,并且,在和中,一個是正數(shù),另一個是負(fù)數(shù).令表示中的最小正數(shù).顯然,我們有,.現(xiàn)在考察任意的:眾所周知,存在整數(shù)和,使得,.于是,.由于令是中的最小正數(shù),必有,從而,.上述表明.所以.12.設(shè)是一個群,都是的子群.假設(shè)不包含于且不包含于,證明: 不是的子群.證明 由于不包含于且不包含于,是的子群,因此存在且存在.于是,.假設(shè),則,矛盾.因此.同理,.這

13、樣一來,.所以不是的子群.13.設(shè)是一個群,是的一個子群鏈,證明:是的子群.證明 設(shè).于是,存在正整數(shù)和使得,.令.由于是的子群,因此,從而,.所以是的子群.14.證明:()是的一個生成集.證明 考察任意的對換:若或,則.若且,則.這就是說,對于每一個對換,要么它本身屬于,要么它可以表示成中的一些對換的乘積.這樣一來,根據(jù)推論2.10可以斷言,每一個可以表示成中的一些對換的乘積.由此可見,從而,.§4 循環(huán)群1.證明:循環(huán)群是交換群.證明 設(shè)是一個循環(huán)群.于是,(參看課本第12頁倒數(shù)第4行).眾所周知,.所以是交換群.2.設(shè)是一個群,.假設(shè)的階為,證明:對任意整數(shù),有. 證明 令.由

14、于,根據(jù)命題3.10,是有限循環(huán)群.根據(jù)命題4.2, .3.設(shè)是一個階循環(huán)群,是任意整數(shù),證明:與具有相同的階且.證明 根據(jù)命題4.2,我們有.根據(jù)命題3.10,和都是的階子群.顯然,從而, .由此可見,.4.設(shè)是一個階循環(huán)群,證明:當(dāng)且僅當(dāng).證明 根據(jù)命題4.2,我們有.5.設(shè)是循環(huán)群,和是的兩個子群,證明:.證明 顯然,從而,. 為了證明,現(xiàn)在只需證明.考察任意的:當(dāng)為的單位元時,顯然.不妨假定.于是,由知,存在,使得;由知,存在,使得.因?yàn)?所以.眾所周知,從而,存在,使得.于是,我們有,其中,當(dāng)時,當(dāng)時.綜上所述,對于任意的,總有.所以.6.設(shè)是階循環(huán)群,和是的兩個子群,證明:的充要條件是.證明