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1、北京海淀區(qū)2013屆高三年級第二學期期中練習數(shù)學（理）試題本試卷共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項1集合，則A B C D2在極坐標系中, 曲線圍成的圖形面積為B 3某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序， 若輸入的值為5，則輸出的值為 B C D4不等式組表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則的值為 B C D5 若向量滿足，則 的值為A B C D 6 一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號

2、后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有A12種 B 15種 C 17種 D19種7 拋物線的焦點為，點為該拋物線上的動點，又點，則的最小值是A B C D8 設為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線給出下列三個結論：，使得是直角三角形；，使得是等邊三角形；三條直線上存在四點，使得四面體為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體其中，所有正確結論的序號是A B C D 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分9在復平面上，若復數(shù)（）對應的點恰好在實軸上，則=_10等差數(shù)列中, 則 。11如圖，與O切于點，交弦的延長線于點，過點作圓的切線交于點 若，則

3、弦的長為_12在中，若，則13已知函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是_ 14已知函數(shù)，任取，定義集合：，點，滿足 設分別表示集合中元素的最大值和最小值，記 則（1）函數(shù)的最大值是_；（2）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為_三、解答題: 本大題共6小題,共80分解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程15（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）求的值和的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值16（本小題滿分13分）在某大學自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A,B,C,D,E五個等級 某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中

4、“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人 （I）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；（II）若等級A，B，C，D，E分別對應5分，4分，3分，2分，1分（i）求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分； （ii）若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分 從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學期望 17（本小題滿分14分）在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，點在線段上，且（）求證：；（）求證：平面;（）求二面角的余弦值18（本小題滿分13分）已知函數(shù)（其中為常數(shù)且）在處取得極值 （I） 當時，求的單調區(qū)間；（II） 若在上

5、的最大值為，求的值19（本小題滿分14分）已知圓：（）若橢圓：（）的右頂點為圓的圓心，離心率為 （I）求橢圓的方程；（II）若存在直線：，使得直線與橢圓分別交于，兩點，與圓分別交于，兩點，點在線段上，且，求圓半徑的取值范圍20（本小題滿分13分）設為平面直角坐標系上的兩點，其中令，若,且，則稱點為點的“相關點”，記作： 已知為平面上一個定點，平面上點列滿足：，且點的坐標為，其中（）請問：點的“相關點”有幾個？判斷這些“相關點”是否在同一個圓上，若在同一個圓上，寫出圓的方程；若不在同一個圓上，說明理由；（）求證：若與重合，一定為偶數(shù)；（）若，且，記，求的最大值參考答案說明： 合理答案均可酌情給分

6、，但不得超過原題分數(shù).一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）題號12345678答案BCCDADBB9 0 10 14 11. 12 13 14 二、填空題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答題(本大題共6小題,共80分)15（本小題滿分13分）解：（I）因為 2分 4分 6分所以 7分所以 的周期為 9分（II）當時，所以當時，函數(shù)取得最小值 11分當時，函數(shù)取得最大值 13分16.解：（）因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有人 1分所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為 3分(II

7、) 求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為 7分（）設兩人成績之和為，則的值可以為16，17，18，19，20 8分， ， 所以的分布列為1617181920 11分所以所以的數(shù)學期望為 13分17.證明：(I) 因為是正三角形，是中點，所以,即 1分又因為，平面， 2分又，所以平面 3分又平面，所以 4分（）在正三角形中， 5分在中，因為為中點，所以，所以，所以 6分在等腰直角三角形中， 所以，所以 8分又平面，平面，所以平面 9分（）因為，所以，分別以 為軸, 軸, 軸建立如圖的空間直角坐標系，所以由（）可知，為平面的法向量 10分，設平面的一個法向量為,則，即，令則平面的一個法向量為

8、12分 設二面角的大小為， 則 所以二面角余弦值為 14分18. 解：（I）因為所以 2分因為函數(shù)在處取得極值 3分當時，隨的變化情況如下表：00 極大值 極小值5分所以的單調遞增區(qū)間為, 單調遞減區(qū)間為 6分(II)因為令, 7分因為在 處取得極值，所以當時，在上單調遞增，在上單調遞減所以在區(qū)間上的最大值為，令，解得9分當，當時，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增所以最大值1可能在或處取得而所以，解得 11分當時,在區(qū)間上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增所以最大值1可能在或處取得 而所以，解得，與矛盾 12分當時，在區(qū)間上單調遞增，在單調遞減，所以最大值1可能在處取得，而，矛盾 綜上所述，或 . 13分1.（本小題滿分14分）解：（I）設橢圓的焦距為，因為，所以， 所以. 所以橢圓： 4分（II）設（，），(，)由直線與橢圓交于兩點，則所以 ，則， 6分所以 7分點（，0）到直線的距離 則 9分顯然，若點也在線段上，則由對稱性可知，直線就是軸，矛盾，所以要使，只要所以 11分 當時， 12分當時，又顯然, 所以