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1、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一.知識總結(jié)1.函數(shù)的奇偶性（首先定義域必須關(guān)于原點對稱）(1)為奇函數(shù);為偶函數(shù);(2)奇函數(shù)在原點有定義(3)任一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和 即 （奇）（偶）.2.函數(shù)的單調(diào)性(注:先確定定義域;單調(diào)性證明一定要用定義)(1)定義:區(qū)間上任意兩個值,若時有,稱為上增函數(shù),若時有,稱為上減函數(shù).(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法,即比差法;圖象法;單調(diào)性的運算性質(zhì)（實質(zhì)上是不等式性質(zhì)）;復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則.3.周期性:周期性主要運用在三角函數(shù)及抽象函

2、數(shù)中,是化歸思想的重要手段.求周期的重要方法:定義法;公式法;圖象法;利用重要結(jié)論:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),ab,則T=2|a-b|.二.例題精講【例1】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).()求的值;()若對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.解析：（）因為是奇函數(shù)，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（）由（）知又由題設(shè)條件得：，即：，整理得上式對一切均成立，從而判別式【例2】設(shè)函數(shù)在處取得極值2,試用表示和,并求的單調(diào)區(qū)間.解：依題意有而故解得 從而。 令，得或。 由于在處取得極值，故，即。（1） 若，即，則當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；從

3、而的單調(diào)增區(qū)間為； 單調(diào)減區(qū)間為若，即，同上可得， 的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為【例3】(理)設(shè)函數(shù),若對所有的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍(文)討論函數(shù)的單調(diào)性 （理） 解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a，令g(x)0，解得xea11， (i)當(dāng)a1時，對所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對x0，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時，對于所有x0，都有f(x)ax(ii)當(dāng)a1時，對于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對0xea11，都有g(shù)(x)g(0)

4、，即當(dāng)a1時，不是對所有的x0，都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是（，1解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立對g(x)求導(dǎo)數(shù)g(x)ln(x1)1a令g(x)0解得xea11， 當(dāng)xea11時，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)1xea11，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，所以要對所有x0都有g(shù)(x)g(0)充要條件為ea110由此得a1，即a的取值范圍是（，1（文）解：設(shè)， 則 ， 當(dāng)時，則為增函數(shù)當(dāng)時，則為減函數(shù)當(dāng)時，為常量，無單調(diào)性【例4】(理)已知函數(shù),其中為常數(shù).()若,討論函數(shù)的單調(diào)性;()若,且=4,試證:.(文)已知為

5、定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，求的表達式.（理）（文）解：為奇函數(shù)， 當(dāng) 時， 為奇函數(shù) 三.鞏固練習(xí)1.已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是( )A. B. C. D.2.已知是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時,設(shè)則( )A.B.C.D.3.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( )A. B. C. D. 4.若不等式對于一切?(0,)成立,則的取值范圍是( )A.0 B. 2 C.- D.-35.設(shè)是上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是( )A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足,則的值為( )A.1 B.0 C.1 D.27.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖

6、象關(guān)于直線對稱,記.若在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B.C. D.8.(理)如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍是( ). . . .9.對于上可導(dǎo)的任意函數(shù),若滿足,則必有( )A.B.C.D.10.已知,則( )A. B. C. D.11.已知函數(shù),若為奇函數(shù),則 .12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù). 當(dāng)時,則當(dāng)時, .13.是定義在上的以3為周期的偶函數(shù),且,則方程=0在區(qū)間（0,6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是( ) A.5 B.4 C.3 D.214.下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是( ) A. B. C. D.15.若函數(shù), 則該函數(shù)在上是( )A.單

7、調(diào)遞減無最小值 B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞增無最大值 D.單調(diào)遞增有最大值16.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則的取值范圍是( )A. B. C. D.17.設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且的圖象關(guān)于直線對稱,則_.18.設(shè)函數(shù)在上滿足,且在閉區(qū)間0，7上,只有.()試判斷函數(shù)的奇偶性;()試求方程=0在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.19. (理)已知,函數(shù)(1)當(dāng)為何值時,取得最小值？證明你的結(jié)論;(2)設(shè)在 -1，1上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.(文)已知為偶函數(shù)且定義域為,的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱,當(dāng)時,為實常數(shù),且. (1)求的解析式;(2)求的單調(diào)區(qū)間;(3)若的最大

8、值為12,求.20.已知函數(shù)的圖象過點（0,2）,且在點處的切線方程為.(1) 求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21.已知向量若函數(shù)在區(qū)間（1,1）上是增函數(shù)求的取值范圍.22. (理)已知函數(shù),.若,且存在單調(diào)遞減區(qū)間,求的取值范圍.(文)已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的值.鞏固練習(xí)參考答案1. C 2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C10. A11. a=12. -x-x413. B14. D15. A16. B17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù), 由

9、 , 從而知函數(shù)的周期為又, 故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802個解.19. (理) 解：（I）對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得令得+2(1)2=0從而+2(1)2=0解得 當(dāng)變化時，、的變化如下表 + 0 0 +遞增極大值遞減 極小值 遞增在=處取得極大值，在=處取得極小值。當(dāng)0時，1,在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù),而當(dāng)時=，當(dāng)x=0時，.所以當(dāng)時，取得最小值（II）當(dāng)0時，在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即，解得，于是在-1，1上為單調(diào)函數(shù)的充

10、要條件是，即的取值范圍是(文)解: (1) 先求在上的解析式設(shè)是上的一點, 則點關(guān)于的對稱點為且所以得.再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì), 求當(dāng)上的解析式為所以(2) 當(dāng)時, 因時, 所以因, 所以, 所以而. 所以在上為減函數(shù).當(dāng)時, 因, 所以因所以, 所以, 即所以在上為增函數(shù)(3) 由(2)知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),又因為偶函數(shù), 所以所以在上的最大值由得.20.解：（）由的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的解析式是 （）解得 當(dāng)當(dāng)故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù). 21. 解法1：依定義開口向上的拋物線，故要使在區(qū)間（1，1）上恒成立.解法2：依定義的圖象是開口向下的拋物線，22. (理) 解： ，則因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以0時，則ax2+2x10有x0的解.當(dāng)a0時，y=ax2+2x1為開口向上的拋物線，ax2+2x10總有x0的解；當(dāng)a0總有x0的解；則=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此時，1a0. 綜上所述，a的取值范圍為（1，0）（0，+）.(文)解：, 當(dāng)時12