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1、 第三講 函數(shù)的單調性、奇偶性一、知識點歸納函數(shù)的單調性（1）定義：設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)），區(qū)間D為函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間（減區(qū)間）概括起來，即（2）函數(shù)單調性的證明的一般步驟：設，是區(qū)間D上的任意兩個實數(shù)，且作差，并通過因式分解、配方、通分、有力化等方法使其轉化為易于判斷正負的式子；確定的符號；給出結論證明函數(shù)單調性時要注意三點：和的任意性，即從區(qū)間D中任取和，證明單調性時不可隨意用量額特殊值代替；有序性，即通常規(guī)定；同區(qū)間性，即和必須

2、屬于同一個區(qū)間。（3）設復合函數(shù)是定義區(qū)間M上的函數(shù)，若外函數(shù)f(x)與內函數(shù)g(x)的單調性相反，則在區(qū)間M上是減函數(shù)；若外函數(shù)f(x)與內函數(shù)g(x)的單調性相同，則在區(qū)間M上是增函數(shù)。概括起來，即“同增異減II號”（4）簡單性質： 與單調性相同；與及單調性相反 在公共定義域內：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。（5）必須掌握特殊函數(shù)單調性 一次函數(shù)： 二次函數(shù)： 反比例函數(shù)： 雙鉤函數(shù)： 注：函數(shù)的多個單調區(qū)間通常不能用并集聯(lián)接；單調區(qū)間的端點只要在定義域內就要加上增函數(shù)在圖像上反映出來就是“向上”，減函數(shù)從圖像上反映出來就是“向下”

3、函數(shù)的最值（1）定義：的最大值： 最大的函數(shù)值；的最小值： 最小的函數(shù)值（2）求最值方法與求值域方法類似函數(shù)的奇偶性1定義:設y=f(x)，定義域為A且A關于原點對稱，如果對于任意A，都有，稱y=f(x)為偶函數(shù)。設y=f(x) ，定義域為A且A關于原點對稱，如果對于任意A，都有，稱y=f(x)為奇函數(shù)。概括起來，即，2函數(shù)奇偶性的判斷的步驟：求定義域，若定義域不關于原點對稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若定義域關于原點對稱，則判斷與的關系判斷與的關系，若，則為偶函數(shù)；若，則為奇函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若且，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3.性質：（1）若為奇函數(shù)，則：；圖像關

4、于原點對稱；0在定義域內時有；在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同幾種特殊的奇函數(shù)，（2）若為偶函數(shù)，則：；圖像關于軸對稱在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反；幾種特殊的偶函數(shù)：，注：若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則；在同一定義域內，；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個解析式二、典例例題解析：題型一 單調性的定義例1 定義在上的函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)總有，試判斷單調性。例2 若在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上（ ）A. 必是增函數(shù) B.必是減函數(shù) C.是增函數(shù)或減函數(shù) D.無法確定單調性變式訓練 下列說法中正確的有個若，當時，則在上是增函數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)；函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；的單調

5、區(qū)間是題型二 單調性的證明例1 證明函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)例2 證明函數(shù)在其定義域內是減函數(shù)例3 已知函數(shù)在上為增函數(shù)，且，試判斷在上的單調性，并給出證明過程題型三 利用單調性求函數(shù)值域和最值例1 求下列函數(shù)的最值 ； 變式 如果函數(shù)，求的單調區(qū)間和值域 例2 已知在，上是減函數(shù)，求的取值范圍變式 1 已知的減區(qū)間是，求的值變式2 函數(shù)f(x)= x 2 + 3x +2在區(qū)間(-5,5)上的最大值、最小值分別為 （ ）A、42,12 B、42，-C、12，- D、無最大值，最小值-.變式3函數(shù)y2x2(a1)x3在(，1內遞減，在(1，)內遞增，則a的值是 ()A.1 B.3 C.5 D.1XY

6、O例3 若在區(qū)間上是減函數(shù)，求的的取值范圍變式1函數(shù)的圖象如圖所示：則的單調減區(qū)間是（ ）變式2、已知是R上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（ ） 題型四 抽象函數(shù)的單調性例1 已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且，求的取值范圍變式 已知函數(shù)的定義域為，且在區(qū)間上是增函數(shù)且，求的取值范圍例2 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，比較與的大小例3 已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，且當時 求的值；判定的單調性；若，求在上的最小值變式 已知定義在區(qū)間上的增函數(shù)滿足，解不等式例4 函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的減函數(shù)，對任意的x，y(0，)，都有f(xy)f(x)f(y)1，且f(4)5. (1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m

7、2)3變式 已知函數(shù)定義域為，且對，恒有，且，當時， 求證明：在上為增函數(shù)題型五 函數(shù)的奇偶性概念例1 下列說法中錯誤的個數(shù)為（ ）圖像關于坐標原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)圖像關于軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)的圖像一定過坐標原點偶函數(shù)的圖像一定與軸相交A.4 B.3 C.2 D.0變式 下列判斷正確的是（ ）A. 定義在上的函數(shù)，若，且，則是偶函數(shù)B. 定義在上的函數(shù)滿足，則在上是增函數(shù)C. 定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則在區(qū)間上也是減函數(shù)D. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個題型六 函數(shù)奇、偶性的判斷例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性（定義法） 例2判斷下列函數(shù)奇偶性（定義法或圖像法） 例3判斷下列

8、函數(shù)奇偶性（抽象函數(shù)） ，其中為奇函數(shù)函數(shù)定義域為，并且對任意均滿足，判斷奇偶性，并證明。 設函數(shù)并且對任意非零實數(shù)均滿足，求證：為偶函數(shù) 函數(shù)不恒為0，對任意均滿足 求證：為偶函數(shù)題型七 奇偶性的應用1 求函數(shù)值例1 已知且，求變式1已知f(x)=x5+ax3+bx6且，f(3)=10，則f(-3)的值為 變式2已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，則f(2)()A2 B. C. Da2變式3已知g(x)為奇函數(shù)，且f(-3)=，求f(3)；變式4設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x) 2x2x，則f(1)()A

9、3 B1 C1 D3變式5已知是定義在R上的奇函數(shù)，若，則的值為_2 求解析式例1 已知是奇函數(shù)，當時，求時，解析式變式1奇函數(shù)f(x)在(0，)上的解析式是f(x)x(1x)，則在(，0)上f(x)的函數(shù)解析式是()Af(x)x(1x)Bf(x)x(1x) Cf(x)x(1x)Df(x)x(x1)變式2設f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又f(x)+g(x)= 求f(x)和g(x).例2 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，求解析式變式1若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則的解析式為_變式2若函數(shù)為偶函數(shù)，求3 解不等式例1 設為定義在上的偶函數(shù)，在上遞增，且，求的取值范圍變式1已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調遞增，則滿足f(2x1)f的x取值范圍是()A. B. C. D.變式2為偶函數(shù)，在上單調遞減，且，求的取值范圍4奇偶性與單調性的綜合應用例1 設是上的偶函數(shù)，在上單調遞增，試比較大小例2 是定義在R上的偶函數(shù)，且，在上單調遞增，則不等式的解集為_變式1定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x20，)(x1x2)，有，則()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)變式2 設是定義在R上的奇函數(shù)，且，在上單調遞增，在上單調遞減，則不等式的解集為_9