《函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性精品講義(共9頁).doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性精品講義(共9頁).doc（9頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔- 傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè) 第三講 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性一、知識點歸納函數(shù)的單調(diào)性（1）定義：設函數(shù) y=f(x)的定義域為 I， 如果對于定義域 I 內(nèi)的某個區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量 x1， x2，當 x1x2時，都有 f(x1)f(x2)） ，那么就說 f(x)在區(qū)間D 上是增函數(shù)（減函數(shù)） ，區(qū)間 D 為函數(shù) y=f(x)的增區(qū)間（減區(qū)間）概括起來，即12121212()()fxfffxffff增 函 數(shù) 或“同 增 異 減 ”減 函 數(shù) 或（2）函數(shù)單調(diào)性的證明的一般步驟：設 ， 是區(qū)間 D 上的任意兩個實數(shù)，且12 12x作差 ，并通過因式分解、配方、通分、有

2、力化等方法使其轉(zhuǎn)化為易于判斷12()fxf正負的式子；確定 的符號；給出結(jié)論12()xf證明函數(shù)單調(diào)性時要注意三點： 和 的任意性，即從區(qū)間 D 中任取 和 ，證明單1x1x2調(diào)性時不可隨意用量額特殊值代替；有序性，即通常規(guī)定 ；同區(qū)間性，即 和121x必須屬于同一個區(qū)間。2x（3）設復合函數(shù) 是定義區(qū)間 M 上的函數(shù)，若外函數(shù) f(x)與內(nèi)函數(shù) g(x)的單xgfy調(diào)性相反，則 在區(qū)間 M 上是減函數(shù)；若外函數(shù) f(x)與內(nèi)函數(shù) g(x)的單調(diào)性相同，則 在區(qū)間 M 上是增函數(shù)。概括起來，即“同增異減 II 號”xfy（4）簡單性質(zhì)： 與 單調(diào)性相同； 與 及 單調(diào)性相反()f()f()fx

3、()f1fx 在公共定義域內(nèi)：增函數(shù) 增函數(shù) 是增函數(shù)；減函數(shù) 減函數(shù) 是減函數(shù)；)(xf)(g)(f)(g增函數(shù) 減函數(shù) 是增函數(shù)；減函數(shù) 增函數(shù) 是減函數(shù)。xxx（5）必須掌握特殊函數(shù)單調(diào)性 一次函數(shù) ： ykb精選優(yōu)質(zhì)文檔- 傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè) 二 次 函 數(shù) ： 2yaxbc 反比例函數(shù) ： k 雙 鉤 函 數(shù) ： yx注 ： 函 數(shù) 的 多 個 單 調(diào) 區(qū) 間 通常不能用并集聯(lián)接；單調(diào)區(qū)間的端點只要在定義域內(nèi)就要加上增函數(shù)在圖像上反映出來就是“向上” ，減函數(shù)從圖像上反映出來就是“向下”函數(shù)的最值（1）定義： 的最大值： 最大的函數(shù)值； 的最小值： 最小的函數(shù)()fx()

4、fx()fx()fx值（2）求最值方法與求值域方法類似函數(shù)的奇偶性1定義:設 y=f(x)，定義域為 A 且 A 關于原點對稱，如果對于任意 A，都有 ，x()fxf稱 y=f(x)為偶函數(shù)。設 y=f(x) ，定義域為 A 且 A 關于原點對稱，如果對于任意 A，都有 ，()(ff稱 y=f(x)為奇函數(shù)。概括起來，即 ，()() ()fxfxfx定 義 域 關 于 原 點 對 稱為 偶 函 數(shù)()() ()fxfxf定 義 域 關 于 原 點 對 稱為 奇 函 數(shù)2 函 數(shù) 奇 偶 性 的 判 斷 的 步 驟 ： 求 定義域，若 定義域不關于原點對稱，則函數(shù)()fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

5、；若 定義域關于原點對稱，則判斷 與()fx()f ()fx的關系判斷 與 的關系，若 ，則 為偶函數(shù)；若 ，()fx)f()fxf()fx()(fxf則 為奇函數(shù)；若 且 ，則 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(若 且 ，則函數(shù) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)()fxf)fxf()fx3.性質(zhì)：（1）若 為奇函數(shù)，則： ； 圖像關于原點對稱；()fx0 在 定義域內(nèi)時有 ； 在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同()fx0)f()fx幾種特殊的奇函數(shù) ， ， ，yx31ysin精選優(yōu)質(zhì)文檔- 傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè)（2）若 為偶函數(shù)，則： ； 圖像關于 軸對稱 在關()fx()fxf()fxy()fx于原

6、點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；幾種特殊的偶函數(shù)： ， ，2cos注：若二次函數(shù) 為偶函數(shù)，則 ；在同一定義域內(nèi)，2yaxbc0b，=奇 偶 奇， ；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個解析式奇 奇 奇 偶 偶 偶 ()0fx二、典例例題解析：題型一 單調(diào)性的定義例 1 定義在 R上的函數(shù) ()fx對任意兩個不相等的實數(shù) ,ab總有 ()0fb，試判斷()fx單調(diào)性。例 2 若 ()f在區(qū)間 (,)ab上是增函數(shù)，在區(qū)間 (,)c上也是增函數(shù)，則函數(shù) ()fx在區(qū)間(,)abc上（ ）A. 必是增函數(shù) B.必是減函數(shù) C.是增函數(shù)或減函數(shù) D.無法確定單調(diào)性變式訓練 下列說法中正確的有個若 12,xI

7、，當 12x時， 12()fxf，則 ()yfx在 I上是增函數(shù)函數(shù) y在 R上是增函數(shù)；函數(shù) 在定義域上是增函數(shù)； 1yx的單調(diào)區(qū)間是 (,0)(,)題型二 單調(diào)性的證明例 1 證明函數(shù) 1yx在區(qū)間 (0,)上為減函數(shù)例 2 證明函數(shù) 2()1fxx在其定義域內(nèi)是減函數(shù)例 3 已知函數(shù) ()yfx在 0,)上為增函數(shù)，且 ()0)fx，試判斷 1()Fxf在精選優(yōu)質(zhì)文檔- 傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè)(0,)上的單調(diào)性，并給出證明過程題型三 利用單調(diào)性求函數(shù)值域和最值例 1 求下列函數(shù)的最值 ； ；()2fxx()3fx()1fxx 1f1,f變式 如果函數(shù) ，求 的單調(diào)區(qū)間和值域 2(

8、)-3fx()fx例 2 已知 在 ，上是減函數(shù)，求 的取值范圍2()(1)2fxax(,4a變式 1 已知 的減區(qū)間是 ，求 的值2()(1)fxax(,4a變式 2 函數(shù) f(x)= x 2 + 3x +2 在區(qū)間(-5,5)上的最大值、最小值分別為 （ ）A、42,12 B、42，- C、12，- D、無最大值，最小值-141414.變式 3 函數(shù) y2x 2(a1)x3 在(，1 內(nèi)遞減，在(1，)內(nèi)遞增，則 a 的值是 ()A.1 B.3 C.5 D.1精選優(yōu)質(zhì)文檔- 傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè)例 3 若 在區(qū)間 上是減函數(shù)，求 的的取值范圍1()2axf(-,)a變式 1 函數(shù)

9、 的圖象如圖所示：則 的單調(diào)()yfx12()logxfx減區(qū)間是（ ） 2.,.,1.0,2,.,ABCD和 和變式 2、已知 是 R 上的減函數(shù)，那么 的取值范圍是（ 341logaxfx a） 11.0,.,.,.,377ABCD題型四 抽象函數(shù)的單調(diào)性例 1 已知函數(shù) ()yfx是 ,)上的增函數(shù)，且 (23)(56)fxf，求 x的取值范圍變式 已知函數(shù) ()yfx的定義域為 ，且 在區(qū)間 上是增函數(shù)且2,()fx2,(1)(fmf，求 的取值范圍例 2 已知函數(shù) ()yfx在 0,)上是減函數(shù)，比較 3()4f與 21)a的大小例 3 已知定義在區(qū)間 (0,)上的函數(shù) ()fx滿足

10、 ()()fxfyy，且當 1x時fx 求 (1)f的值；判定 ()f的單調(diào)性；若 (3)1f，求 ()f在 2,9上的最小值XYO12精選優(yōu)質(zhì)文檔- 傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè)變式 已知定義在區(qū)間 上的增函數(shù) ()fx滿足 ， ，解(0,)()()ffxyy21f不等式 1()23fx例 4 函數(shù) f(x)是定義在(0，)上的減函數(shù)，對任意的 x，y(0，)，都有 f(xy)f(x)f(y)1，且 f(4)5. (1)求 f(2)的值； (2)解不等式 f(m2)3變式 已知函數(shù) ()fx定義域為 R，且對 ,mn，恒有 ()()1fnfmfn，且 1()02f，當 12時， ()0f

11、求 證明： fx在 上為增函數(shù)題 型 五 函 數(shù) 的 奇 偶 性 概 念例 1 下列說法中錯誤的個數(shù)為（ ）圖像關于坐標原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)圖像關于 y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)的圖像一定過坐標原點偶函數(shù)的圖像一定與 軸相交A.4 B.3 C.2 D.0變式 下列判斷正確的是（ ）A. 定義在 R上的函數(shù) ()fx，若 (1)ff，且 (2)(ff，則 ()fx是偶函數(shù)B. 定義在 上的函數(shù) 滿足 2，則 x在 R上是增函數(shù)C. 定義在 上的奇函數(shù) ()fx在區(qū)間 (,0上是減函數(shù)，則在區(qū)間 (0,上也是減函數(shù)D. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個題型六 函數(shù)奇、偶性的判斷精選優(yōu)質(zhì)文檔-

12、傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè)例 1 判斷下列函數(shù)的奇偶性（定義法） 3()fx1()xfx21()xf2()1fx ()2f22()f 1)(xf 1lg)lxxf例 2 判斷下列函數(shù)奇偶性（定義法或圖像法） (),0()1fxx 230()0 xxf ()2,2f例 3 判斷下列函數(shù)奇偶性（抽象函數(shù)） ()()Fxffx()()Fxfx ，其中 為奇函數(shù)函數(shù) 定義域為 ，并且對任意f R均滿足 ，判斷 奇偶性，并證明。xyR、 ()()fxyy()fx 設函數(shù) 并且對任意非零實數(shù) 均滿足 ，0y， ()()fxyffy求證： 為偶函數(shù)()fx 函數(shù) 不恒為 0 ，對任意 均滿足()fx()

13、xRxyR、 求證： 為偶函數(shù)2(fyyf()f題型七 奇偶性的應用1 求函數(shù)值例 1 已知 53()8fxabcx且 (3)10f，求 (3)f變式 1 已知 f(x)=x5+ax3+bx6 且， f(3)=10，則 f(-3)的值為 變式 2 已知定義在 R 上的奇函 f(x)和偶函數(shù) g(x)滿足 f(x) g(x) ax a x2(a0，且 a1)若 g(2) a，則 f(2)()A2 B. C. D a2154 174精選優(yōu)質(zhì)文檔- 傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè)變式 3 已知 g(x)為奇函數(shù)， ，且 f(-3)= ，求 f(3)；xgxxf 2)(1(log)(2841變式 4

14、設 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當 x0 時， f(x) 2 x2 x，則 f(1)()A3 B1 C1 D3變式 5 已知 是定義在 R 上的奇函數(shù)，若 ，則 6的值為_2 求解析式例 1 已知 ()fx是奇函數(shù)，當 0 x時， ()2fx，求 0 x時， ()fx解析式變式 1 奇函數(shù) f(x)在(0，)上的解析式是 f(x) x(1 x)，則在(，0)上 f(x)的函解析式是()A f(x) x(1 x)B f(x) x(1 x) C f(x) x(1 x)D f(x) x(x1)變式 2 設 f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又 f(x)+g(x)= 1求 f(x)和 g(x)

15、.例 2 函數(shù) 2()=1abfx是定義在 (1,)上的奇函數(shù)，且 2()5f，求 ()fx解析式變式 1 若函數(shù) ()3fx是 R上的奇函數(shù)，則 )(f的解析式為_變式 2 若函數(shù) (1)yxa為偶函數(shù)，求 a3 解不等式例 1 設 ()f為定義在 R上的偶函數(shù)，在 (,0)上遞增，且 (1)(2)faf，求a的取值范圍變式 1 已知偶函數(shù) f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足 f(2x1) f 的 x 取值范(13)圍是()A. B. C. D.13， 23) (13， 23) (12， 23) 12， 23)變式 2 (fx為偶函數(shù)，在 0,上單調(diào)遞減，且 )()fxf，求 x的取值范

16、圍4 奇偶性與單調(diào)性的綜合應用例 1 設 ()fx是 上的偶函數(shù)， ()fx在 上單調(diào)遞增，試比較 大小R0,)(2),3()ff精選優(yōu)質(zhì)文檔- 傾情為你奉上專心-專注- 專業(yè)例 2 ()fx是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 (3)0f， ()fx在 ,)上單調(diào)遞增，則不等式0的解集為_變式 1定義在 R 上的偶函數(shù) f(x)，對任意 x1， x20，)( x1 x2)，有 ，21()0ffx則()A f(3)f(2) f(1) B f(1)f(2) f(3)C f(2) f(1)f(3) D f(3)f(1)f(2)變式 2 設 ()x是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 (2)0f， ()fx在 ,1上單調(diào)遞增，在1,)上單調(diào)遞減，則不等式 ()0f的解集為_