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1、函數(shù)的單調性和奇偶性例1(1)畫出函數(shù)y=-x2+2 | x | +3的圖像，并指出函數(shù)的單調區(qū)間.解：函數(shù)圖像如下圖所示，當 x0時，y=-x2+2x+3=- (x-1 ) 2+4;當x4, a -3 .評析這是涉及逆向思維的問題，即已知函數(shù)的單調性，求字母參數(shù)范圍，要注意利用數(shù)形結合.例2判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)= -解：(1) f (x)的定義域為R.因為f (-x ) =1 -x+1 I - I -x-1 I=I x-1 I - I x+1 I = -f (x)所以f (x)為奇函數(shù).(2) f (x)的定義域為 x | -1x 1,不關于原點對稱.所以 f (x)既不是奇

2、函 數(shù)，也不是偶函數(shù).評析用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法如下：(1)求函數(shù)的定義域，并考查定義域是否關于原點對稱.(2)計算 f (-x),并與 f (x)比較，判斷 f (-x) =f (x)或 f (-x) =-f (x)之 一是否成立.f (-x)與-f (x)的關系并不明確時，可考查 f (-x) f (x) =0是否成立， 從而判斷函數(shù)的奇偶性.例3 已知函數(shù)f (x) = 1+%，.(1)判斷f (x)的奇偶性.(2)確定f (x)在(-8, 0)上是增函數(shù)還是減函數(shù) ？在區(qū)間(0, +8)上呢？證明你 的結論.解：因為f (x)的定義域為R,又 f (-x) = 1 + (f

3、) = 1 + 工” =f (x),所以f (x)為偶函數(shù).(2) f (x)在(-8, 0)上是增函數(shù)，由于 f (x)為偶函數(shù)，所以f (x)在(0, +8) 上為減函數(shù).其證明：取xix20,工；一工：電一瓦)(電十通)f (xi) -f (x2)= *十1-君 7 =區(qū)F)淖，1)= 0： + 1)(制+1).因為xix2 0, xi+x20, x22+10,得 f (xi) -f (x2)V 0,即 f (xi) f (x2).所以f (x)在(-8, 0)上為增函數(shù).評析奇函數(shù)在(a,b )上的單調性與在(-b,-a )上的單調性相同，偶函數(shù)在(a,b )與(-b,-a )的單調性

4、相反.例4 已知y=f (x)是奇函數(shù)，它在(0, +8)上是增函數(shù)，且 f (x) -X20. y= f (x)在(0, +8)上是增函數(shù)，且 f (x) f (Xi) 0.于是F (Xi) -F(X2) =0,即 F (xi) F(X2),1所以F (x) = /在(-00, 0)上是減函數(shù).評析本題最容易發(fā)生的錯誤，是受已知條件的影響，一開始就在(0, +8)內任取XiVX2,展開證明.這樣就不能保證 -Xi, -X2,在(-8, 0)內的任意性而導致錯誤.避免錯誤的方法是：要明確證明的目標，有針對性地展開證明活動.鼻汗例5 討論函數(shù)f (x) = 1 -工(aw0)在區(qū)間(-i , i

5、)內的單調性.分析根據(jù)函數(shù)的單調性定義求解.解：設-i V Xi V X2V 1 ,則以耳1QK*f (Xi) -f (X2)= 1-T1 -1T心電)十勺電) =匚,xi, X2 e( -i , i)，且 Xiv X2,.1. X i-X 20,i i-X 2i) i i-X 22) 0于是，當 a0 時，f (Xi) vf (X2)；當 af(X2).故當a0時，函數(shù)在（-1 ,1）上是增函數(shù)；當 a0）在區(qū)間（0, k上單調遞減.解：設 0X1VX2Wk,則 眩f（X1） -f （X2）= X1+ 4 -X 2- #36 一勺）（鼻勺一廿） = 一一1.1 0V X1 X2 k,1. x

6、 1-x 20 f（X1） f（X2）,且 -f （x） = x+工中（0, k上是減函數(shù).評析 函數(shù)f（X）在給定區(qū)間上的單調性反映了函數(shù)f（X）在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質.因此，若要證明f（X）在a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），就必須證明對于區(qū)間a,b上上任意兩點X1, X2,當X1VX2時，都有不等式f（X1） f（X2）類似可以證明：函數(shù)f （x） = x+工（k0）在區(qū)間k, +上是增函數(shù).J例7 判斷函數(shù)f（X）= T 的奇偶性.分析確定函數(shù)的定義域后可脫去絕對值符號.fl-尸 0解：由工一。工工。得函數(shù)的定義域為1-1,1 .這時，I x-2|=2-x.J /:f (x) =2,f (-x) =2=2= f (x)且注意到f (x)不恒為零，從而可知，f (x)=,一 4十天是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).評析由于函數(shù)解析式中的絕對值使得所給函數(shù)不像具有奇偶性，若不作深入思考，便會作出其非奇非偶的判斷.但隱含條件(定義域)被揭示之后，函數(shù)的奇偶性就非常明顯了.這樣看來，解題中先確定函數(shù)的定義域不僅可以避免錯誤，而且有時還可以避開討論， 簡化解題過程.