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1、17 / 24函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性經(jīng)典例題透析類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明.證明函數(shù)在（0, +8）上的單調(diào)性.證明：在（0, +8）上任取 X、x2（XiWxJ,令?。 11 后. V均貝ij 2 I 后M 42 石奉丙+匹） Xi>0,照>0, >0, Jx? >0，X % <0 ,，上式V0,，.尸f （尼）牙（*）V0 工在（0, +8）上遞減.總結(jié)升華:1證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義;2如何比較兩個量的大小？（作差）3如何判斷一個式子的符號？（對差適當(dāng)變形）舉一反三:f （x） = x +1在區(qū)間（0,11【變式1】用定義證明函數(shù) X上是減函數(shù).思路點(diǎn)撥：

2、本題考查對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一 途徑.證明：設(shè)小，照是區(qū)間（°上的任意實(shí)數(shù),且乂生，則f（町）一式町）二町+一（叼+）:。Vxi<生<1，XifV0, 0VxiX：V1 :OVEX2Vl（町町）（1 -）>0故X/2,即 f（xJ/（£）>0.X1VX2 時有 f（X1） >f （x2）f （x） = x +1 在區(qū)間（01X上是減函數(shù).總結(jié)升華：可以用同樣的方法證明此函數(shù)在口*°）上是增函數(shù)；在今后的學(xué)習(xí)中 經(jīng)常會碰到這個函數(shù)，在此可以嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象.類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間02

3、.判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；片+2；>=|l1|十斤?解：（1）由圖象對稱性，畫出草圖4,0上遞增，在0最f（x）在上遞減，在22上遞減，在上遞增.-2a+3 (j<1)=|x-l| + |x-2|=l(1<j<2)2x-3 (x>2)，圖象為£（才）在卜8上遞減，在2，.）上遞增.舉一反三:【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:產(chǎn) |x+l|； (2)(3).解：（1）畫出函數(shù)圖象，,函數(shù)的減區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間為（T, +8）;1、門、1-OD, U ,-KD L= 2k - l,y =（2）定義域?yàn)閘2J 12 Ju,其中"2xT為增函數(shù)，在（yo

4、, 0）及（0, +8）為減函數(shù),y=1在-8, 則 2-1 I 2)-,+0312）上為減函數(shù);（3）定義域?yàn)椋?，0）U（0, +8）,單調(diào)增區(qū)間為：（9，0）,單調(diào)減區(qū)間為（0, +8）.總結(jié)升華：1數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點(diǎn)及對稱軸相關(guān).3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函 數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化=復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi) 外層函數(shù)反向變化=復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).類型三、單調(diào)性的應(yīng)用(比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值)3.已知函數(shù)f(x)在(0, +8)上是減

5、函數(shù)，比較f (/ai)及"N的大小.1 q 3解：“44又f(x)在(0, +8)上是減函數(shù)，則.04.求下列函數(shù)值域：(1) ； l)x£5, 10 ； 2)x& (3, -2) U (-2, 1)；(2)尸/Tx+3；l)x£T, 1； 2)x£ 吆，2.思路點(diǎn)撥：可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；(2)數(shù)形結(jié)合.二2伊-2 二_1_+2可看作是由y二士左移解：(1)十2 x十2x 2個單位，再上移2個單位q i Ql)f(x)在5, 10上單增，7 12；V /(1» u (/ (-3), -K0)BP (-co , 1) U (7, + c

6、«)2)3(2)畫出草圖Dye f(i), f(T)即 6；2)父/JU)即11舉一反三：【變式1】已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)x£l, 3時,求函數(shù)f(x)的值域.思路點(diǎn)撥：這個函數(shù)直接觀察恐怕不容易看出它的單調(diào)區(qū)間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟悉的形式.' l-3x 3x-l,第二問即是利用單調(diào)性 求函數(shù)值域.、l + 3z (3k+ 1) + 212I (x)=一:=-1-解：1-3區(qū)l-3x3x-1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；(2)故函數(shù)f(x)在1, 3上單調(diào)遞增年1時f(x)有最小值，f(l)=-2行3時f(x)有最大值3時f(

7、x)的值域?yàn)?已知二次函數(shù)f(x)=f-(aT)x+5在區(qū)間上是增函數(shù)，求：(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)f(2)的取值范圍.解：(IL對稱軸是決定f(x)單調(diào)性的關(guān)鍵，聯(lián)系圖象可知只需; Tf =2*(3l)+5=-2a+ll 又：.-2a-4Af(2)=-2a+U-4+ll=7二 f(2)e7,+oo).判斷下列函數(shù)的奇偶性:(2)/W = V f (x)=aM|x|+3(4) f (x)= | x+3 T xT |類型四、判斷函數(shù)的奇偶性(6)/W =.g(力-g(-初 5 w 的(7) N思路點(diǎn)撥：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解：(l)f(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此f(

8、x)為非奇非偶函數(shù)； (2)xT20, .f(x)定義域1.)不關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)為非奇非偶函數(shù);(3)對任意 x£R,都有且 f (任=AM|x|+3=f (x),則 f (x)=x?/|x|+3為偶函數(shù)：(4) VeR, f (f) = | f+3 I T fT |=;xTHx+3 尸子(x)，(x)為奇函數(shù);1-x2 > 0乂十 2 H ±2-1<Z <11,1力。且二中，。)3刈二-f(x)X，二f(x)為奇函數(shù); YxeR, f(x)=f|x+x(f)=Tf) r I+ (，)" x| f=/(x) ,，f(x)為奇函數(shù);，f(x)

9、為奇函數(shù).(3)f(x)=r+l；"(口)=；煎口)- 0-(-乃)= 七(-幻-gW二-/W(7)乙N舉一反三:【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性: f= 2w+石；(2)f(x)= |x+l -|xT ；e2 + 2x -1 (x <0) f(x) = < 0(k = 0)(4) x + 2z + 1 (幺 > 0)思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解.f (= 2x + (r) = (2f二 f (區(qū))= 2% + 為奇函數(shù). f(F)=|F+lIf-l 二一(|矛+1| - X-L|)="f(X)f(X)為奇函數(shù);(3) f ( F)=(F)一+

10、 ( -X)+1=YF+f(F)Wd(x)且f(w)關(guān)f(x) .f(x)為非奇非偶函數(shù)；(4)任取 x>0 貝ij-x<0, .*.f (-v) = (-x)2+2 (-x) -1=-2xT=-(營+2x+ l)=-f (r) 任取 xVO, Pl1)-x>0 f (y)=-(-y)2+2 (-)+l=f-2+l=-(Y+2A,-l)=-f (a) 尸。時，f(0)二41() .xWR時，f(w)二子(x).f(x)為奇函數(shù).舉一反三：【變式2己知f(x), g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函 數(shù),f(x) -g(x)為偶函數(shù).證明:設(shè) F(x

11、)=f (x)+g(x), G(x)=f(x) g(x)則F ( F)=f ( F)+g ( F)= V (x) -g (x)=-Ef (x) +g (x)二 F (x)G(f)= f(F)g(F)二才(x) -g(x)=f(x) g(x)= G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x) -g(x)為偶函數(shù).類型五、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，及單調(diào)性結(jié)合)7. f (x) =xax -bAF-8,且 f(-2)=10,求 f(2).解：法一：Vf(-2) = (-2)5+()3a-(-2)b-8=H32-8a+2b-8=0-85+2b=10 8ab=-50 .= f (2)=25+23

12、.a-b-8=8ab+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f (x)+8易證g(x)為奇函數(shù)g(W)=-g(2) .f(W)+8=T(2)8=/(-2) -16=-10-16=6.Cg. f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xVO時，f(x)二/f,求當(dāng)xNO時, f(x)的解析式，并畫出函數(shù)圖象.解：:奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，x>0時，二尸(iy),-(F)即尸T-x又f (o) =o,如圖09.設(shè)定義在T,3上的偶函數(shù)f(x)在0,3上是單調(diào)遞增，當(dāng)f(aT)Vf(a)時，求3的取值范圍.解：f(aT)vfm)vf(iai)而 aL,e0, 3-3 <<2 <

13、;3-2cz 十1co2<a<43<a<3類型六、綜合問題C10.定義在R上的奇函數(shù)f (x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間W+8)的圖象及 f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0,給出下列不等式，其中成立的是.f (b) -f (-a) >g(a) -g(-b)；f (b) -f (-a) <g(a) -g(-b)；f (a) -f (-b) >g (b) -g(-a);®f (a) -f (b) <g(b) -g(a).答案：.Oil.求下列函數(shù)的值域:（1） y = V-2 + 2a + 8 （2） y、4元+- 2 （3）

14、y =元+-2x思路點(diǎn)撥：(1)中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；(2)由單調(diào)性求 值域，此題也可換元解決；(3)單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情 形，問題得到解決，需注意此時t范圍.（1）V = Js-1）2 十 9一.。1）2 > 0, ：. -（X-1）2 < 0,0 < -（X-1）2 + 9 M 9沙已0,3；經(jīng)觀察知,域收)上單增，.一"二-|令Jl-2x = t>0：.y =+ Z = -i2 +2 + !=-（i - Ip y e （-od,1C12.已知函數(shù) f （x）=，92ax+，-L.若函數(shù)f(x)在區(qū)間0, 2上是單調(diào)的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)1時，求函數(shù)f(x)的最小值g(a),并畫出最小值函數(shù)片g(a)的圖象.解：(l)f(x) = (XF)H或心2(2)