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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章 概率論的基本概念2樣本空間、隨機事件1事件間的關(guān)系 則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生 稱為事件A與事件B的和事件，指當且僅當A，B中至少有一個發(fā)生時，事件發(fā)生 稱為事件A與事件B的積事件，指當A,B同時發(fā)生時,事件發(fā)生 稱為事件A與事件B的差事件，指當且僅當A發(fā)生、B不發(fā)生時,事件發(fā)生 ，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的 ，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對立事件2運算規(guī)則 交換律 結(jié)合律分配律 徳摩根律3頻率與概率定義 在相同的條件下,進行了n次試驗，在這n次試驗中，事

2、件A發(fā)生的次數(shù)稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件A發(fā)生的頻率概率:設(shè)E是隨機試驗，S是它的樣本空間,對于E的每一事件A賦予一個實數(shù),記為P（A），稱為事件的概率1概率滿足下列條件：（1）非負性：對于每一個事件A (2）規(guī)范性：對于必然事件S （3）可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，有（可以取)2概率的一些重要性質(zhì)：(i） （ii)若是兩兩互不相容的事件,則有（可以取)（iii)設(shè)A,B是兩個事件若，則，（iv）對于任意事件A，（v） （逆事件的概率）（vi）對于任意事件A，B有4等可能概型（古典概型)等可能概型：試驗的樣本空間只包含有限個元素,試驗中每個事件發(fā)生的可能性相同若事件A包含k個基

3、本事件，即，里5條件概率（1） 定義:設(shè)A，B是兩個事件,且，稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率（2） 條件概率符合概率定義中的三個條件1。非負性：對于某一事件B，有 2。規(guī)范性:對于必然事件S, 3可列可加性:設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有（3） 乘法定理 設(shè)，則有稱為乘法公式（4） 全概率公式: 貝葉斯公式： 6獨立性定義 設(shè)A,B是兩事件，如果滿足等式,則稱事件A，B相互獨立定理一 設(shè)A,B是兩事件，且,若A，B相互獨立，則定理二 若事件A和B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立:A與第二章 隨機變量及其分布1隨機變量定義 設(shè)隨機試驗的樣本空間為是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)，稱

4、為隨機變量2離散性隨機變量及其分布律1 離散隨機變量：有些隨機變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量滿足如下兩個條件(1），(2）=12 三種重要的離散型隨機變量（1）0-1分布 設(shè)隨機變量X只能取0與1兩個值,它的分布律是,則稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布或兩點分布。（2）伯努利實驗、二項分布 設(shè)實驗E只有兩個可能結(jié)果:A與，則稱E為伯努利實驗。設(shè)，此時.將E獨立重復的進行n次，則稱這一串重復的獨立實驗為n重伯努利實驗. 滿足條件(1)，(2）=1注意到是二項式的展開式中出現(xiàn)的那一項，我們稱隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布。（3)泊松分布 設(shè)隨機變

5、量X所有可能取的值為0,1，2，而取各個值的概率為 其中是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為3隨機變量的分布函數(shù)定義 設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù),函數(shù) 稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)，具有以下性質(zhì)(1） 是一個不減函數(shù) (2） (3)4連續(xù)性隨機變量及其概率密度 連續(xù)隨機變量:如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負可積函數(shù),使對于任意函數(shù)x有則稱x 為連續(xù)性隨機變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度1 概率密度具有以下性質(zhì)，滿足（1）；（3);（4）若在點x處連續(xù),則有2,三種重要的連續(xù)型隨機變量 (1）均勻分布若連續(xù)性隨機變量X具有概率密度，則成X在區(qū)間（a,b)

6、上服從均勻分布。記為 （2）指數(shù)分布若連續(xù)性隨機變量X的概率密度為 其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（3）正態(tài)分布若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為的正態(tài)分布或高斯分布，記為特別,當時稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布5隨機變量的函數(shù)的分布定理 設(shè)隨機變量X具有概率密度又設(shè)函數(shù)處處可導且恒有，則Y=是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為第三章 多維隨機變量1二維隨機變量定義 設(shè)E是一個隨機試驗，它的樣本空間是和是定義在S上的隨機變量,稱為隨機變量,由它們構(gòu)成的一個向量（X,Y）叫做二維隨機變量設(shè)（X，Y）是二維隨機變量，對于任意實數(shù)x，y,二元函數(shù)稱為二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)如果二維隨機變量(X

7、，Y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（X，Y）是離散型的隨機變量。我們稱為二維離散型隨機變量（X，Y）的分布律.對于二維隨機變量(X，Y）的分布函數(shù),如果存在非負可積函數(shù)f（x，y)，使對于任意x，y有則稱(X，Y）是連續(xù)性的隨機變量，函數(shù)f（x，y）稱為隨機變量(X，Y）的概率密度，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度.2邊緣分布二維隨機變量（X，Y）作為一個整體,具有分布函數(shù)。而X和Y都是隨機變量,各自也有分布函數(shù),將他們分別記為，依次稱為二維隨機變量（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù). 分別稱為（X，Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律. 分別稱，為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概

8、率密度。3條件分布定義 設(shè)（X,Y）是二維離散型隨機變量,對于固定的j，若則稱為在條件下隨機變量X的條件分布律，同樣為在條件下隨機變量X的條件分布律。設(shè)二維離散型隨機變量（X,Y）的概率密度為,（X，Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為，若對于固定的y,0,則稱為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為=4相互獨立的隨機變量 定義 設(shè)及，分別是二維離散型隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對于所有x，y有，即,則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。對于二維正態(tài)隨機變量(X,Y），X和Y相互獨立的充要條件是參數(shù)5兩個隨機變量的函數(shù)的分布1,Z=X+Y的分布 設(shè)（X，Y)是二維連續(xù)型隨機變量,它具有概率密

9、度.則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機變量，其概率密度為或又若X和Y相互獨立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為則 和這兩個公式稱為的卷積公式有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2,設(shè)（X,Y）是二維連續(xù)型隨機變量,它具有概率密度，則仍為連續(xù)性隨機變量其概率密度分別為又若X和Y相互獨立，設(shè)（X，Y)關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為則可化為 3設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為由于不大于z等價于X和Y都不大于z故有又由于X和Y相互獨立，得到的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為第四章 隨機變量的數(shù)字特征1數(shù)學期望定義 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為，k=1,2，若級數(shù)絕對收斂，則稱級

10、數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學期望，記為，即 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量X的數(shù)學期望，記為，即定理 設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)Y=(g是連續(xù)函數(shù))（i)如果X是離散型隨機變量，它的分布律為，k=1,2，若絕對收斂則有(ii）如果X是連續(xù)型隨機變量，它的分概率密度為,若絕對收斂則有數(shù)學期望的幾個重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有2設(shè)X是隨機變量，C是常數(shù),則有3設(shè)X,Y是兩個隨機變量,則有；4設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，則有2方差定義 設(shè)X是一個隨機變量，若存在，則稱為X的方差,記為D（x)即D（x）=,在應用上還引入量，記為,稱為標準差或均方差。方差的幾個重要性質(zhì)1

11、設(shè)C是常數(shù)，則有2設(shè)X是隨機變量，C是常數(shù),則有,3設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則有特別，若X，Y相互獨立，則有4的充要條件是X以概率1取常數(shù)，即切比雪夫不等式：設(shè)隨機變量X具有數(shù)學期望,則對于任意正數(shù),不等式成立3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義 量稱為隨機變量X與Y的協(xié)方差為，即而稱為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)對于任意兩個隨機變量X 和Y，協(xié)方差具有下述性質(zhì)12定理 1 2 的充要條件是，存在常數(shù)a，b使當0時,稱X和Y不相關(guān)附:幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學期望方差兩點分布， 二項式分布，泊松分布幾何分布均勻分布，指數(shù)分布正態(tài)分布第五章 大數(shù)定律與中心極限定理1 大數(shù)定律弱大數(shù)定理（辛欣

12、大數(shù)定理) 設(shè)X1，X2是相互獨立，服從統(tǒng)一分布的隨機變量序列,并具有數(shù)學期望。作前n個變量的算術(shù)平均,則對于任意，有定義 設(shè)是一個隨機變量序列,a是一個常數(shù),若對于任意正數(shù)，有，則稱序列依概率收斂于a，記為伯努利大數(shù)定理 設(shè)是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)0，有或2中心極限定理 定理一（獨立同分布的中心極限定理） 設(shè)隨機變量相互獨立，服從同一分布,且具有數(shù)學期望和方差(k=1,2，）,則隨機變量之和, ，定理二（李雅普諾夫定理） 設(shè)隨機變量相互獨立，它們具有數(shù)學期望和方差記定理三（棣莫弗拉普拉斯定理）設(shè)隨機變量）的二項分布，則對任意，有 11