《安徽省2020年高考數(shù)學第二輪復習 專題五立體幾何第3講 用空間向量的方法解立體幾何問題 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《安徽省2020年高考數(shù)學第二輪復習 專題五立體幾何第3講 用空間向量的方法解立體幾何問題 理.doc（20頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、專題五 立體幾何第3講 用空間向量的方法解立體幾何問題真題試做1(2020陜西高考，理5)如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為( )A. B. C. D.2(2020四川高考，理14)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是_3(2020山東高考，理18)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值4(2020福建高考，理1

2、8)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長5(2020天津高考，理17)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)證明PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30，求AE的長考向分析從近幾年的高考試題來看，高考對本專題的考查主要有以下幾個方面：一是證明空間平行關系，如(202

3、0福建高考，理18)的第(2)問；二是利用空間向量證明垂直關系，如(2020山東高考，理18)的第(1)問和(2020福建高考，理18)的第(1)問；三是利用空間向量求角，如(2020山東高考，理18)的第(2)問；(2020天津高考，理17)的第(2)問和(2020四川高考，理14)，此類問題多以多面體為載體，常以解答題的形式出現(xiàn)，重在考查學生的空間想象能力本專題是高考的必考內(nèi)容之一，通常為一道綜合題，常出現(xiàn)在幾個解答題的中間位置，難度不是很大在多數(shù)情況下傳統(tǒng)法、向量法都可以解決，但首先應考慮向量法，這樣可以降低難度預測在今后高考中，本部分內(nèi)容仍舊主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度為中檔考查內(nèi)容仍

4、舊是利用空間向量的數(shù)量積及坐標運算來解決立體幾何問題，其中利用空間向量求空間角仍然是重點熱點例析熱點一 利用空間向量證明平行問題【例1】如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中點求證：B1C平面ODC1.規(guī)律方法利用空間向量證明平行問題的方法歸納下面用數(shù)學語言描述為：(1)線線平行：直線與直線平行，只需證明它們的方向向量平行(2)線面平行：利用線面平行的判定定理，證明直線的方向向量與平面內(nèi)一條直線的方向向量平行；利用共面向量定理，證明平面外直線的方向向量與平面內(nèi)兩相交直線的方向向量共面；證明直線的方向向量與平面的法向量垂直(3)面面平行：平面與平面的平行，除了利用面面

5、平行的判定定理轉(zhuǎn)化為線面平行外，只要證明兩平面的法向量平行即可下面用符號語言表述為：設直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分別為u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)線線平行：lmabakba1ka2，b1kb2，c1kc2.(2)線面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30.(3)面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4.變式訓練1(2020安徽江南十校聯(lián)考，理19)如圖，在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABG、平面ADF、平面CDE都與平面ABCD垂直，且ABG，ADF，CD

6、E都是正三角形(1)求證：ACEF；(2)求多面體ABCDEFG的體積熱點二 利用空間向量證明垂直問題【例2】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點，作EFPB于點F，求證：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.規(guī)律方法利用空間向量證明垂直問題的方法歸納下面用數(shù)學語言描述為：(1)線線垂直：直線與直線的垂直，只要證明兩直線的方向向量垂直(2)線面垂直：利用線面垂直的定義，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的任意一條直線的方向向量垂直；利用線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直；證明直線的方向向量與平面的

7、法向量平行(3)面面垂直：平面與平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直外，只要證明兩平面的法向量垂直即可下面用符號語言表述為：設直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分別為u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)線線垂直：lmabab0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3.(3)面面垂直：uvuv0a3a4b3b4c3c40.變式訓練2如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求證：BD平面PAC；(2)若PAAB，求P

8、B與AC所成角的余弦值；(3)當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長熱點三 利用空間向量求角和距離【例3】如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)設N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長規(guī)律方法(1)夾角計算公式兩異面直線的夾角若兩條異面直線a和b的方向向量分別為n1，n2，兩條異面直線a和b所成的角為，則cos |cosn1，n2|.直線與平面所成的角若直線a的方向向量為a，平面

9、的法向量為n，直線a與平面所成的角為，則sin |cosa，n|.二面角設n1，n2分別為二面角的兩個半平面的法向量，其二面角為，則n1，n2或n1，n2，其中cosn1，n2.(2)距離公式點點距：點與點的距離，是以這兩點為起點和終點的向量的模；點線距：點M到直線a的距離，設直線的方向向量為a，直線上任一點為N，則點M到直線a的距離d|sin，a；線線距：兩平行線間的距離，轉(zhuǎn)化為點線距離；兩異面直線間的距離，轉(zhuǎn)化為點面距離或者直接求公垂線段的長度；點面距：點M到平面的距離，如平面的法向量為n，平面內(nèi)任一點為N，則點M到平面的距離d|cos，n|；線面距：直線和與它平行的平面間的距離，轉(zhuǎn)化為點

10、面距離；面面距：兩平行平面間的距離，轉(zhuǎn)化為點面距離變式訓練3已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(1)設AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為，二面角AB1D1A1的大小為.求證：tan =tan ；(2)若點C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高熱點四 用向量法解決探索性問題【例4】如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(1)求證：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大??；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC？若存在，

11、求SEEC的值；若不存在，請說明理由規(guī)律方法(1)用空間向量解決立體幾何問題的步驟及注意事項：建系，要寫理由，坐標軸兩兩垂直要證明；準確求出相關點的坐標(特別是底面各點的坐標，若底面不夠規(guī)則，則應將底面單獨抽出來分析)，坐標求錯將前功盡棄；求平面法向量；根據(jù)向量運算法則，求出三角函數(shù)值或距離；給出問題的結(jié)論(2)利用空間向量巧解探索性問題：空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行繁雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法解題變式訓練4如

12、圖，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD90，且PAAD2；E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(1)求證：PB平面EFG；(2)求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；(3)在線段CD上是否存在一點Q，使得A到平面EFQ的距離為？若存在，求出CQ的值；若不存在，請說明理由思想滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想利用向量解決空間位置關系及求角問題主要問題類型：(1)空間線面關系的證明；(2)空間角的求法；(3)存在性問題的處理方法求解時應注意的問題：(1)利用空間向量求異面直線所成的角時，應注意角的取值范圍；(2)利用空間向量求二面角的平面角時，應注意觀察二面角是鈍角還是銳角(2020北京高考，

13、理16)如圖1，在RtABC中，C90，BC3，AC6.D，E分別是AC，AB上的點，且DEBC，DE2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖2. 圖1 圖2(1)求證：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大?。?3)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由解：(1)因為ACBC，DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因為A1CCD，所以A1C平面BCDE.(2)如圖，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系Cxyz，則A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1

14、，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)設平面A1BE的法向量為n=(x，y，z)，則n=0，n=0.又=(3,0，-2)，=(-1,2,0)，所以令y=1，則x=2，z=.所以n=(2,1，)設CM與平面A1BE所成的角為.因為=(0,1，)，所以sin |cosn，|，所以CM與平面A1BE所成角的大小為.(3)線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直理由如下：假設這樣的點P存在，設其坐標為(p,0,0)，其中p 0,3設平面A1DP的法向量為m(x，y，z)，則m0，m0.又(0,2，2)，(p，2,0)，所以令x2，則yp，z.所以m.平面A1DP平面A1BE，當且僅當mn0，即4pp0.解得p2，與p 0,3矛盾所以線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直1已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實數(shù)x，y