2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 立體幾何第3講 用空間向量的方法解立體幾何問(wèn)題 理.doc
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1、專(zhuān)題五立體幾何第3講用空間向量的方法解立體幾何問(wèn)題真題試做1(2020陜西高考,理5)如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A B C D2(2020四川高考,理14)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小是_3(2020山東高考,理18)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB60,F(xiàn)C平面ABCD,AEBD,CBCDCF.(1)求證:BD平面AED;(2)求二面角FBDC的余弦值4(2020福建高考,理18)如圖,在長(zhǎng)
2、方體ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1,E為CD中點(diǎn)(1)求證:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由;(3)若二面角AB1EA1的大小為30,求AB的長(zhǎng)5(2020天津高考,理17)如圖,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC45,PAAD2,AC1.(1)證明PCAD;(2)求二面角APCD的正弦值;(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30,求AE的長(zhǎng)考向分析從近幾年的高考試題來(lái)看,高考對(duì)本專(zhuān)題的考查主要有以下幾個(gè)方面:一是證明空間平行關(guān)系,如(2020福建高考,理
3、18)的第(2)問(wèn);二是利用空間向量證明垂直關(guān)系,如(2020山東高考,理18)的第(1)問(wèn)和(2020福建高考,理18)的第(1)問(wèn);三是利用空間向量求角,如(2020山東高考,理18)的第(2)問(wèn);(2020天津高考,理17)的第(2)問(wèn)和(2020四川高考,理14),此類(lèi)問(wèn)題多以多面體為載體,常以解答題的形式出現(xiàn),重在考查學(xué)生的空間想象能力本專(zhuān)題是高考的必考內(nèi)容之一,通常為一道綜合題,常出現(xiàn)在幾道解答題的中間位置,難度不是很大在多數(shù)情況下,傳統(tǒng)法、向量法都可以解決,但首先應(yīng)考慮向量法,這樣可以降低難度預(yù)測(cè)在今后高考中,本部分內(nèi)容仍舊主要以解答題的形式出現(xiàn),難度為中檔考查內(nèi)容仍舊是利用空間
4、向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決立體幾何問(wèn)題,其中利用空間向量求空間角仍然是重點(diǎn)熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一利用空間向量證明平行問(wèn)題【例】如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn)求證:B1C平面ODC1.規(guī)律方法利用空間向量證明平行問(wèn)題的方法(1)線線平行:直線與直線平行,只需證明它們的方向向量平行(2)線面平行:利用線面平行的判定定理,證明直線的方向向量與平面內(nèi)一條直線的方向向量平行;利用共面向量定理,證明平面外直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量共面;證明直線的方向向量與平面的法向量垂直(3)面面平行:平面與平面的平行,除了利用面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為線面平行外,只要證明
5、兩個(gè)平面的法向量平行即可下面用符號(hào)語(yǔ)言表述為:設(shè)直線l,m的方向向量分別為a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),平面,的法向量分別為u(a3,b3,c3),v(a4,b4,c4)(1)線線平行:lmabakba1ka2,b1kb2,c1kc2.(2)線面平行:lauau0a1a3b1b3c1c30.(3)面面平行:uvukva3ka4,b3kb4,c3kc4.變式訓(xùn)練1如圖,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC為等腰直角三角形,BAC90,且ABAA1,D,E,F(xiàn)分別為B1A,C1C,BC的中點(diǎn)求證:(1)DE平面ABC;(2)B1F平面AEF.熱點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問(wèn)題【例
6、】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB于點(diǎn)F,求證:(1)PA平面EDB;(2)PB平面EFD.規(guī)律方法利用空間向量證明垂直問(wèn)題的方法(1)線線垂直:直線與直線的垂直,只要證明兩條直線的方向向量垂直(2)線面垂直:利用線面垂直的定義,證明直線的方向向量與平面內(nèi)的任意一條直線的方向向量垂直;利用線面垂直的判定定理,證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直;證明直線的方向向量與平面的法向量平行(3)面面垂直:平面與平面的垂直,除了用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直外,只要證明兩個(gè)平面的法向量垂直即可下面用符號(hào)語(yǔ)言
7、表述為:設(shè)直線l,m的方向向量分別為a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)平面,的法向量分別為u(a3,b3,c3),v(a4,b4,c4)(1)線線垂直:lmabab0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直:lauakua1ka3,b1kb3,c1kc3.(3)面面垂直:uvuv0a3a4b3b4c3c40.變式訓(xùn)練2如圖,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB2,BAD60.(1)求證:BD平面PAC;(2)若PAAB,求PB與AC所成角的余弦值;(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí),求PA的長(zhǎng)熱點(diǎn)三利用空間向量求角和距離【例】如圖所示,在三棱柱ABC
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