《2021年高中數(shù)學教學論文 利用幾何畫板探索軌跡的教學 新人教版.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021年高中數(shù)學教學論文 利用幾何畫板探索軌跡的教學 新人教版.doc（10頁珍藏版）》請在匯文網上搜索。

1、此資料由網絡收集而來，如有侵權請告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負責傳遞知識。利用幾何畫板探索軌跡的教學研究性學習一得 研究性學習是指學生在教師的指導下，從學生生活和社會經驗中，選擇和確定研究專題，仿照科學研究的方法和過程，主動地獲取知識，并應用知識來解決問題的學習活動。研究性學習圍繞一個主題或問題，以小組學習為主要形式，學生自主進行的探索性、實踐性、開放性課程。研究性學習是以問題的解決為主要形式的學習活動，問題是它的重要載體，整個學習活動以問題的自然形成序列。研究性學習更強調實踐，注重體驗，關注結果。其特點是內容強調開放性、學習強調主體性、注重學生之間合作學習、講求體驗式、活動化。下面通

2、過對一個數(shù)學問題的探索，談談我的一點體會。教師：求曲線的方程、通過方程研究曲線的性質是解析幾何的兩大主要問題。今天與同學們討論一個問題：怎樣探索點的軌跡。問題是數(shù)學的心臟，思維從問題開始。我們先看一個具體的例子：如圖1，過橢圓()的左焦點F1作弦AB。現(xiàn)在來研究焦點弦AB有關的問題。軌跡1 過原點O作弦AB的垂線，垂足為M，求點M的軌跡方程。 圖1 圖2幾何畫板演示：拖動主動點A在橢圓上轉動或制作點A在橢圓上運動的動畫按鈕，跟蹤點M，得到點M的軌跡是一個小圓。如圖2“怎樣求出這個小圓的方程？”學生：按一般思路，假設弦AB所在直線的斜率為k，則AB的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，聯(lián)立這兩個

3、方程解出交點(即垂足)M的坐標，最后消去參數(shù)k就得到點M的軌跡方程。哇！好復雜。學生們埋頭進行著復雜的運算。其中一個學生望著投影大屏幕，既不動手，也不說話。教師：“你為什么不動手做？”學生：“我在想這個軌跡是一個圓，而且是以OF1為直徑的圓，是不是有什么簡單的方法做出來。噢，我知道了。一般的解題思路很容易想出來，但運算也很復雜。我有一個很好也很簡單的方法：因為OMAB ，所以|OM|2 +|F1M|2 = |OF1|2，若設點M的坐標為(x ，y)，點F1的坐標為(c，0)，則x2 + y2 + (xc)2 + y2 = c2，即。這就是所求的軌跡方程。”“?。∵@么簡單？”同學們都驚訝起來。馬

4、上又有一個學生說：“大家都被橢圓這個外表給迷惑住了。其實這個問題只與原點和點F1的坐標有關，而與橢圓的弦無任何聯(lián)系。就是給定兩點O與F1，過這兩點作兩條互相垂直的直線，求交點的軌跡方程。這當然很容易解得?！苯處煟骸昂芎?。剛才同學們討論得很不錯。在探求點的軌跡時，一定要注意設法找出動點所滿足的幾何條件，尋找動點與不動點之間的幾何關系。平面幾何的有關結論對求點的軌跡很有用處。下面我們將問題改變一下：軌跡2 如圖3，求弦AB中點P的軌跡方程?！薄安虏驴?，點P的軌跡是什么？”不少學生已經利用幾何畫板演示了出來：幾何畫板演示：拖動主動點A，得到點P的軌跡是一個小橢圓，并且這個小橢圓的長軸是線段OF1即半

5、焦距。如圖4?！罢媸菣E圓?！睂W生的興趣被調動起來?！霸鯓忧筮@個小橢圓的方程？”教師在下面觀察學生的解法，卻發(fā)現(xiàn)不少學生 圖3對這類問題無從下手。教師：“根據求軌跡方程的一般步驟，求哪一點的軌跡方程，就應該假設該點的坐標為(x，y)，因此先設P點坐標為(x，y)。要建立點P的坐標(x，y)滿足的方程，觀察圖形，這里有四個點A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中點F1是定點，A、B、P都是動點，但點A是主動點，引起點P運動的原因是由于點A在橢圓上運動。因此要找到點P與A、B、F這三個點的坐標之間的關系。這是解決問題的關鍵?！薄包cP與A、B兩點的坐標的關系怎樣？”學生：“根據中點坐標公式

6、得到，?！薄叭绾螌、B、P、F1這四點的坐標聯(lián)系起來？”“利用直線的斜率?！薄爸本€AB的斜率怎樣表示？”“有，還有?！薄叭绾蔚玫?？”“”“A、B兩點在哪？滿足什么方程？” 圖4“在橢圓上。滿足，?！薄爸涝鯓忧罅藛幔俊睂W生很快得到下列解法(經過整理)：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，則，因為點A、B都在橢圓上，則 ，兩式相減得 ，于是有 ，化簡得 ， 此即為所求的軌跡方程。教師：“以上解法是很典型的。這里設點A、B的坐標，但并不需要求出，只是利用A、B的坐標進行過渡。這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法設而不求。尋找動點之間的關系是求軌跡問題的關鍵。還有其它解法沒有？”一學

7、生：“因為直線AB經過點F1，可以設直線AB的方程為y=k(x+c)，與橢圓方程聯(lián)立解方程組得出A、B兩點的坐標”另一學生：“不必解出A、B的坐標，將直線AB的方程為y=k(x+c)代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點A、B的橫坐標x1，x2，正好可以利用韋達定理得到，將點A、B的橫坐標都表示為直線AB的斜率k的函數(shù)，消去參數(shù)k就行了?！苯處煟骸昂芎谩Ｕ埻瑢W們將解法寫出來。”以下是學生的另一種解法(經整理)：解法二：假設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程得 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，則，=， 由得，代入y=k(x+c)得，整理得

8、 ， 即為所求的方程。學生：“我改變原橢圓的長軸或短軸的長，所求軌跡的形狀也隨著改變了，但這兩個橢圓的形狀仍然十分相似，也不知有沒有必然的聯(lián)系？”學生：“與的比例正好等于，哇！我發(fā)現(xiàn)這兩個橢圓的離心率是一樣的！因此它們的形狀相同?！苯處煟骸昂芎?。看來大家已經掌握了求軌跡的關鍵尋找被動點與主動點之間的關系。剛才所探索的都是弦AB上特殊點的軌跡。同學們能否利用幾何畫板探索其它點的軌跡？請大家根據這個橢圓及弦AB，自行發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和解決問題。”學生們立即投入到探索中。一位學生：軌跡3 “在弦AB上任意取一點Q，跟蹤點Q，動畫哇！怎么點Q的軌跡是這樣的？”不少學生也發(fā)現(xiàn)了同樣的問題。教師將這位學

9、生計算機上的畫面切換到大屏幕，幾何畫板演示：在弦AB上任取一點Q，跟蹤點Q，拖動主動點A，取到如下幾何圖形(如圖57所示)： 圖5 圖6 圖7“呀！這是什么圖形？”“怎么會有這樣的圖形？”“自學習解析幾何以來還從沒見過這樣的圖形?！薄霸摻o這個軌跡起個什么名字呢？”學生們發(fā)出驚嘆。拖動點Q，發(fā)現(xiàn)點Q的軌跡也發(fā)生變化。當點Q接近中點P時，點Q的軌跡圖形接近于中點P的軌跡小橢圓(如圖6)，而當點Q接近于點A或B時，軌跡圖形就接近于大橢圓(如圖7)。軌跡4 “老師，我發(fā)現(xiàn)，如果將弦AB的兩端A、B分別與橢圓長軸兩個端點A1、A2連起來，則這兩條直線A2A與A1B的交點C好象在橢圓的準線上。”另一個學生

10、叫起來?！袄蠋煟cQ的軌跡不是我們所熟悉的圓、橢圓、雙曲線或拋物線，其軌跡方程一定很復雜。點C的軌跡這么簡單，那么應該可以求出其方程吧?！苯處煟骸霸囋嚳窗??！辈扇〕Ｒ?guī)方法“交軌法”求解：設直線AA2、BA1的方程分別為y = k1(xa)，y = k2(x+a)，將AA2的方程代入橢圓方程整理得,此方程的兩根是A、A2的橫坐標x1與a，故可求得A(x1，y1)點坐標為, 圖8同理可求得B(x2，y2)點坐標為 。由A、F1、B三點共線可得，即 ，將A、B兩點坐標代入并整理得a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0，將，代入上

11、式得，分解因式得 ，因為直線AA2、BA1的交點在橢圓外，所以，故 ， 即 。即為直線AA2、BA1的交點的軌跡方程，而這就是橢圓的準線方程?！巴瑯拥牡览?，直線A2B與A1A的交點D也在準線上?！薄袄蠋?，不管C、D兩點在左準線上怎樣運動，CF1D是一個定值。如圖9所示?！庇忠粋€學生發(fā)現(xiàn)了一個結論。同學們利用上個問題的解決方法，很快證明了出來。 教師：“很高興看到你們能探索出這么多 圖9結論出來。利用幾何畫板，你們還能探索出什么結論嗎？如果是圓、橢圓等常見軌跡，請同學們課后盡量給出證明?！避壽E5 “老師，如圖10作OAB的重心G，其軌跡也是一個橢圓?！币晃粚W生說。(以下是學生課后提供的解答過程：

12、設A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中點為M(x0，y0)，則，由，得，此即為直線AB的斜率k， 圖10又 ， ， 整理得. 故OAB重心G的軌跡方程為：。)下面是學生們得到的幾條奇形怪狀的曲線：軌跡6 “OAB的內心的軌跡是一條雞蛋形曲線(如圖11所示)。”軌跡7 “OAB的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖12所示)?！?圖11 圖12軌跡8 “OAB的外心的軌跡是一條反形狀的曲線(如圖13所示)?！避壽E9 “OAB中，過點A作OB的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖14所示)?！?圖13 圖14軌跡10 “老師，如圖15作ABF2的重心G，其軌跡也是一個橢圓?！?以下是

13、學生課后的解答：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，則由F2(c，0)與G(x，y)可得AB中點M的坐標為，因為 ，所以 ，整理得 ，即 。此即為ABF2的重心G的軌跡方程。) 圖15又是幾條奇妙的曲線：軌跡11 “ABF2的內心的軌跡是與橢圓相似的一條曲線(如圖16所示)?！避壽E12 “ABF2的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖17所示)?！避壽E13 “ABF2的外心的軌跡是一條反形狀的曲線(如圖18所示)。”軌跡14 “ABF2中，過點A作BF2的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖19所示)。” 圖16 圖17 圖18 圖19軌跡1518 “延長AF2交橢圓于另一點C，聯(lián)BF2 ，ABC的重心、內心、垂心、外心的軌跡都是一不知名的曲線(如圖2023所示)?！?圖20 圖21 圖22 圖23“老師，橢圓與雙曲線、拋物