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1、二次根式的化簡(jiǎn)求值練習(xí)題溫故而知新：分母有理化分母有理化是二次根式化簡(jiǎn)的一種常用方法,通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把根號(hào)中的分母化去或把分母中的根號(hào)化去叫分母有理化.例 1 計(jì)算：（1）；（2）；（3）.解析：（1）式進(jìn)行簡(jiǎn)單分組，然后利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算；（2）利用平方差公式計(jì)算；（3）先將分子、分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，然后再約分.答案：解：（1）原式=12-+6-18=.（2）原式=.（3）原式=.小結(jié)：（1）二次根式的混合運(yùn)算常常用到冪的運(yùn)算法則和乘法公式，有時(shí)題目中條件不明顯，要善于變形，使之符合乘法公式，冪的運(yùn)算法則特點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算.（2）二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)靈活運(yùn)用因

2、式分解能使計(jì)算簡(jiǎn)便.舉一反三：1.若，則x y的值是( )A. B. C. m + n D. m - n解析：x y=.例2 閱讀材料:“黑白雙雄,縱橫江湖；雙劍合璧,天下無(wú)敵.”這是武俠小說(shuō)的常見(jiàn)描述,其意是指兩個(gè)人合在一起,取長(zhǎng)補(bǔ)短,威力無(wú)比.在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”,如:(2+)(2-)=1,(+)(-)=3,它們的積不含根號(hào),我們就說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式,其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式.于是,二次根式的除法可以這樣解:如=,=,像這樣,通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去,叫做分母有理化.(1)4+的有理化因式是_.解析：因?yàn)椋?+）（4

3、-）=42-（）2=9，所以4+的有理化因式是4-.答案：4-； (2)計(jì)算: .解析：，.答案：解：原式=2-+-=2. (3)計(jì)算: .解析：，將各個(gè)分式分別分母有理化后再進(jìn)行計(jì)算.答案：解：原式=（）（）=（）（）=（）2-12=2012-1=2011.(4)已知a=,b=,求的值.解析：a=，同理b=；a + b= + =10，a b=（）（）=1，然后將所要求值的式子用a + b和a b表示，再整體代入求值即可.答案：解：因?yàn)閍=，b=，所以a + b= + =10，a b=（）（）=1.所以=.小結(jié)：分母有理化是我們處理二次根式問(wèn)題時(shí)常用的一種方法，在有關(guān)二次根式化簡(jiǎn)求值的題目中我

4、們經(jīng)常會(huì)用到. 利用平方差公式進(jìn)行分母有理化是常用方法.如:（+）(-)=a-b,(a+)(a-)=a2-b, (+b)(- b)=a-b2.舉一反三：2. 如圖,數(shù)軸上與1,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x,則|x-|+ =（ ）A. B. C. D. 2解析：因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A和點(diǎn)B所表示的數(shù)分別為1，所以點(diǎn)C表示的數(shù)為2-，即x=2-，故|x-|+ =|2-|+ =2-2+=3.例3 比較大小:(1)-與-2；(2)-與-.解析：（1）用平方法比較大??；（2）用倒數(shù)法比較大小.答案：解：（1）（-）2=11-2+3=14-2，（-2）2=1

5、0-22+4=14-2.3340,-2,14-214-2,（-）2（-2）2.又-0, -20,-2.（2）=，=.=，-.小結(jié)：比較兩個(gè)二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒數(shù)法,還可以將根號(hào)外因子移到根號(hào)內(nèi)比較,但這時(shí)要注意:(1)負(fù)號(hào)不能移到根號(hào)內(nèi)；(2)根號(hào)外正因子要平方后才能從根號(hào)外移到根號(hào)內(nèi).3.已知，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. abc B. cba C. bac D. bca解析：，；0bc.例4 （2013襄陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，.答案：解：原式=.，a+b=2，a-b=，原式=.例5 已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則3x2-2y2+3x-3y-2011的值為（ ）A.

6、-2012 B.2012 C.-1 D.1解析：觀察所給等式特點(diǎn)可將等式變形為，將等式右邊分母有理化得 ；同理可得 ；+得，所以；-得，所以；3x2-2y2+3x-3y-2011=3x2-2x2+3x-3x-2011=x2-2011= 2012-2011= 1.答案：D小結(jié)：本題有一定的技巧性，解題關(guān)鍵在于對(duì)所給等式進(jìn)行變形，然后對(duì)變形所得到的兩個(gè)等式進(jìn)行簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算便可得到我們所需要的條件.本題也可以根據(jù)變形得到的兩個(gè)等式的特點(diǎn)得出x=y的結(jié)論，然后代入原來(lái)的等式，進(jìn)而求出x，y的值，最后帶入求值.舉一反三：5.觀察分析下列數(shù)據(jù),尋找規(guī)律:0,3,2,那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是_.解析：0=，=

7、，=，=，2=，=，=，所以第10個(gè)數(shù)據(jù)是.6.（2013孝感）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=，y=.例6 已知m=1+,n=1-,且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，則a的值等于（ ）A.-5 B.5 C.-9 D.9解析：由m=1+可得m-1=，兩邊平方得m2-2m+1=2，所以m2-2m=1；7m2-14m+a=7（m2-2m）+a=7+a；同理可得n2-2n=1，3n2-6n-7=3（n2-2n）-7=3-7=-4；所以(7+a)(-4)=8，解得a=-9.答案：C小結(jié)：觀察所給等式和m，n的值，我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)m，n稍作變形便可整體代入.整體思想是解決這類(lèi)較復(fù)雜求值問(wèn)題常用的思想方法.當(dāng)然我們也可以直接把m，n的值直接代入，然后解方程求出a的值，這樣計(jì)算量要大很多. 舉一反三：4.設(shè)a=-1，則3a3+12a2-6a-12=（ ）A. 24 B. 25 C. D. 解析：由a=-1得a+1=，兩邊平方得a2+2a+1=7，所以a2+2a=6，所以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=3a6+6a2-6a-12=6a2+12a-12=6（a2+2a）-12=66-12=24.