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1、探析三角函數(shù)的最值求三角函數(shù)的最值和值域是近幾年高考的?？純?nèi)容，又是三角函數(shù)解答題的主要題型，解決這類問題不僅要用到三角函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性、圖像以及三角函數(shù)的恒等變形，還常常涉及到函數(shù)、不等式、方程以及幾何計(jì)算等眾多知識(shí)。這些問題概念性強(qiáng)，具有一定的綜合性和靈活性。題型1。利用有關(guān)三角公式化簡求最值。例1、(2020北京理)若f(x)cos4x-2sinxcosx-sin4x。 (1)求f(x)的最小正周期。（2）若x0,，求f(x)的最大值，最小值。解：f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)( cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x

2、-sin2x=cos(2x+),所以f(x)的最小正周期T=。（2）因?yàn)?x，所以2x+。當(dāng)2x+=時(shí)，cos（2x+）取得最大值；當(dāng)2x+=時(shí)，cos（2x+）取得最小值-1。所以f(x) 在0,最大值為1，最小值為-。點(diǎn)評：充分利用三角的有關(guān)公式將所給函數(shù)進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為熟悉的正余玄函數(shù)。變式訓(xùn)練：1、求函數(shù)f(x)=sin2x+4sinxcosx+5cos2x的最值。 2、（2020全國）函數(shù)f(x)=（sin4x+cos4x+sin2xcos2x）/(2-sin2x)的最值。答案：1、f(x)的最大值為2，最小值為-2 2、f(x)的最大值為，最小值為題型2。利用公式asinx+4bc

3、osx=sin(x+)來求最值。例2已知函數(shù)f(x)cos2xsinxcosx+1，xR求當(dāng)取最大值時(shí)，自變量的集合？該函數(shù)圖像可由f(x)cos2x+經(jīng)過怎樣的變換得到？解：f(x)= cos2x+sin2x+=sin(2x+)+所以f(x)的最大值為，這時(shí)2x+=+2k, x=+k, x的集合為x|x=+k由f(x)cos2x+向右平移個(gè)單位得f(x) =sin(2x+)+題型3。利用配方法或換元法把三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值。（注意區(qū)分有限制條件和無限制條件兩種類型以及隱含條件的挖掘）例、已知函數(shù)f(x)=2sincos +sin-cos (0)求函數(shù)的最值解：令t=sin-co

4、s=sin(-), 因?yàn)?，所以 t-1， 則t2=1-2sinxcosx 2sinxcosx=1- t2f(x)=1- t2+t=-(t-)2+, 當(dāng)t=時(shí)，f(x)的最大值為，當(dāng)t=-1時(shí)，f(x) 的最小值為-1點(diǎn)評：此題在代換中，根據(jù)角的取值范圍確定了參數(shù)t -1,的范圍，從而正確求解。若忽視這一點(diǎn)，會(huì)發(fā)生t=時(shí)有最大值而無最小值的錯(cuò)誤結(jié)論。變式訓(xùn)練：3、設(shè)x，求函數(shù)f(x)=4sin2x-12sinx-1的最值 答案：f(x)的最大值為6 f(x)的最小值為-9例：設(shè)函數(shù)f(x)sin2x+acosx+a- (0x)的最大值為1,求a的值.解: f(x)sin2x+acosx+a-=

5、-cos2x+acosx+a-, 令t=cosx ,則t0,1 f(x)- t2+at+a-=-(t-)2+( +a-) 分情況討論：(1) 當(dāng)a0時(shí)，f(x) 的最大值為1，a無解(2) 當(dāng)0a2時(shí), f(x) 的最大值為1，a無解 .綜上所述：a=點(diǎn)評:換元之后,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)(動(dòng)函數(shù))在一定區(qū)間上的最值問題;注意要分類討論。題型4、與平面向量、三角形相結(jié)合求最值。例5、（2020全國文）三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C,求當(dāng)A為何值時(shí),cosA+2cos取得最大值,并求最大值。解：由A+B+C=，得=- ，所以cos=sincosA+2cos= cosA+2 sin=1-2s

6、in2+2 sin=-2（sin-+當(dāng)sin=時(shí)，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值。點(diǎn)評:重要考察三角函數(shù)的化簡,求值及運(yùn)算能力,應(yīng)注意內(nèi)角的取值范圍.例6.已知向量=（cos,sin）,向量=（cos,-sin）且x0,若f(x)= .-2|+|的最小值為-求的值。解：f(x)= .-2|+|=cos2x-4cosx x0, =2cos2x-4cosx-1=2(cosx-2-1 cosx0,1 分情況討論：當(dāng)0時(shí)，無解。當(dāng)01時(shí)，=當(dāng)1時(shí)，無解。 綜上所述：=點(diǎn)評：重要考察向量的運(yùn)算，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的化簡，注意三角函數(shù)的公式運(yùn)用和分情況討論。變式訓(xùn)練：4、設(shè)向量=(sinx,cosx), =(cosx,cosx),xR。f(x)= .( + )(1) 求函數(shù)f(x)的最值及最小正周期。(2) 求使不等式f(x)成立的取值集合。 答案：（1）f(x)的最大值為+ f(x)的最小值為- 最小正周期為T=（2）取值集合為x|k