《北京四中高中數(shù)學(xué) 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)綜合基礎(chǔ)知識(shí)講解 新人教A版必修1.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《北京四中高中數(shù)學(xué) 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)綜合基礎(chǔ)知識(shí)講解 新人教A版必修1.doc（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

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2、么叫做的次方根，其中當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是負(fù)數(shù)，表示為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)可以表示為.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù).2.n次方根的性質(zhì)：(1)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，(2)3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：；要點(diǎn)詮釋：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.4.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：(1) (2) (3)要點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)

3、定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸減小.要點(diǎn)三、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1.對(duì)數(shù)的定義(1)若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù).(2)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).(3)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2.幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式，.3.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即(其中).4.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么加法：減法：數(shù)乘：換底公式：要點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.對(duì)數(shù)函數(shù)定義一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域.2.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱對(duì)數(shù)

4、函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸減小.要點(diǎn)五、反函數(shù)1.反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，從式子中解出，得式?如果對(duì)于在中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫(xiě)成.2.反函數(shù)的性質(zhì)(1)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(2)函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.(3)若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象

5、上.(4)一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).要點(diǎn)六、冪函數(shù)1.冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).2.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限. (2)過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn). (3)單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù).如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近軸與軸.【典型例題】類型一：指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算例1.化簡(jiǎn)與計(jì)算下列各式

6、（1）；（2）；（3）【思路點(diǎn)撥】運(yùn)算時(shí)盡量把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，而小數(shù)也要化為分?jǐn)?shù)為好.【答案】（1）；（2）100；(3)【解析】(1)原式=1+=；(2)原式= = =100(3) 原式=.【總結(jié)升華】化簡(jiǎn)要求同初中要求，注意結(jié)果形式的統(tǒng)一，結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)；一般地，進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)位分?jǐn)?shù)等，便于進(jìn)行乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算，以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的； 舉一反三：【變式一】化簡(jiǎn)下列各式：(1)； (2).【答案】（1）-27；（2）【解析】(1) ；(2) .例2 已知：，求：的值.【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)再求

7、值是解決此類問(wèn)題的一般方法.【答案】2 【解析】 當(dāng)時(shí)，.【總結(jié)升華】解題時(shí)觀察已知與所求之間的關(guān)系，同時(shí)乘法公式要熟練，直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算. 解題時(shí)，要注意運(yùn)用下列各式，;例3.計(jì)算(1) ； (2)；(3) 【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14【解析】(1)原式=；(2)原式= = =1-+=1(3)原式=2+=3；【總結(jié)升華】這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧.【變式1】=（ ）A.0 B.1 C.2 D.4【答

8、案】C【解析】=【變式2】(1)；(2)【答案】(1)2；(2)【解析】(1) 原式 ；(2) 原式 類型二：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例4.已知函數(shù)則( )A.4 B. C.-4 D.-【答案】B【解析】，.【總結(jié)升華】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值.舉一反三：【變式一】已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)等于（ ）A. B. C. 2 D. 9【答案】【解析】，由，則有，選例5.函數(shù)的定義域( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【總結(jié)升華】以對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為背景的函數(shù)定義域問(wèn)題，一直是高考命題的熱點(diǎn).解答這類問(wèn)題關(guān)鍵是緊扣真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1，偶次根號(hào)大于等

9、于零、分母不為零【高清課堂：冪指對(duì)綜合377495 例4】例6函數(shù)的圖象是（ ） A B C D【答案】B【解析】先作出的圖象，然后作出這個(gè)圖象關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，得到的圖象，再把的圖象右移一個(gè)單位，得到的圖象，故選B【高清課堂：冪指對(duì)函數(shù)綜合 377495 例1】例7. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A（3，+） B（，3） C（4，+） D（，2）【思路點(diǎn)撥】這是一個(gè)內(nèi)層函數(shù)是二次函數(shù)，外層函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性由這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”?！敬鸢浮緿【解析】函數(shù)是由復(fù)合而成的，是減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，即，解得或，所以原函數(shù)的單

10、調(diào)遞增區(qū)間是，故選D類型三：綜合問(wèn)題例8.已知函數(shù)為常數(shù))(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(3)若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】（1）利用真數(shù)大于零求解（2）利用定義去證明函數(shù)的單調(diào)性【答案】（1）；（2）f(x)為增函數(shù)；（3）a1【解析】(1)由a0，x0 f(x)的定義域是.(2)若a=2，則設(shè) ， 則故f(x)為增函數(shù).(3)設(shè) f(x)是增函數(shù)，f(x1)f(x2)即 聯(lián)立、知a1，a(1，+).【總結(jié)升華】該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可.舉一反三：【變式1】已知（1）求定義域；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）解方程【答案】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單增（3） 【解析】（1）由，得， 當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則 ， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上增函數(shù)；同理可證，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上也是增函數(shù) （3）由，得，推出，所以， ， ，（舍），