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1、此資料由網(wǎng)絡(luò)收集而來，如有侵權(quán)請告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負(fù)責(zé)傳遞知識。冪函數(shù)及圖象變換【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合冪函數(shù)的圖象，了解它們的變化情況.2掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用圖象和性質(zhì)去解題。3掌握初等函數(shù)圖象變換的常用方法 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).要點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量x，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù).例如：等都不是冪函數(shù).要點(diǎn)二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1.作出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)要點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它

2、們有一些共同的性質(zhì)：(1)所有的冪函數(shù)在(0，+)都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1，1)；(2)時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；(3)時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸2.作冪函數(shù)圖象的步驟如下:(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；(2)若冪函數(shù)的定義域?yàn)?0，+)或0，+)，作圖已完成；若在(-，0)或(-，0上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對稱作出第三象限

3、的圖象.3.冪函數(shù)解析式的確定(1)借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值(2)結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征(3)如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即4.冪函數(shù)值大小的比較(1)比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時，可與0和1進(jìn)行比較常稱為“搭橋”法(2)比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大小(3)常用的步驟是：構(gòu)造冪函數(shù)；比較底的大?。挥蓡握{(diào)性確定函數(shù)值的大小要點(diǎn)三、初等函數(shù)圖象變換基本初等函數(shù)包含以下九種函數(shù)：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)（三角函數(shù)、

4、反三角函數(shù)待講）由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算以及簡單復(fù)合所得的函數(shù)叫初等函數(shù)如：的圖象變換，（1）平移變換y=f(x)y=f(xa) 圖象左（）、右（）平移y=f(x)y=f(x)b 圖象上（）、下（）平移（2）對稱變換y=f(x) y=f(x), 圖象關(guān)于y軸對稱y=f(x) y=f(x) , 圖象關(guān)于x軸對稱y=f(x) y=f(x) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱y=f(x) 圖象關(guān)于直線y=x對稱（3）翻折變換： y=f(x) y=f(|x|),把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸左邊部分關(guān)于y軸對稱（注意：它是一個偶函數(shù)） y=f(x) y=|f(x)| 把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱

5、要點(diǎn)詮釋：（1）函數(shù)圖象是由基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過以上變換變化而來。（2）若f(ax)f(ax)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱?！镜湫屠}】類型一、求函數(shù)解析式例1.已知是冪函數(shù)，求、的值【答案】【解析】由冪函數(shù)的概念易得關(guān)于、的方程組由題意得解得即為所求【總結(jié)升華】冪函數(shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對表現(xiàn)形式要求非常嚴(yán)格判定一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個特征：指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；底數(shù)為自變量；系數(shù)為1舉一反三：【變式一】判斷下列函數(shù)有哪些是冪函數(shù)？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）答案：（4）、（5）是冪函數(shù)類型二、冪函

6、數(shù)的圖象例2.給定一組函數(shù)的解析式：；，如右圖的一組函數(shù)圖象請把圖象對應(yīng)的解析式序號填在圖象下面的括號內(nèi)【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象特征確定相應(yīng)的圖象由第一、二、三個圖象在第一象限的圖象特征可知，而第一個圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即為奇函數(shù)；第二個圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)；第三個圖象在軸左側(cè)無圖象，即在上無意義，因而這三個圖象應(yīng)分別填由第四、五、六個圖象在第一象限的圖象特征可知，而第四個圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)；第五個圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即為奇函數(shù)；第六個圖象在軸左側(cè)無圖象，即函數(shù)在上無意義，因而這三個圖象應(yīng)分別填最后一個圖象對應(yīng)的冪指數(shù)大于1，故填【總結(jié)升華】確定這類圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式的順序

7、是：先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無圖象確定函數(shù)的定義域，進(jìn)而確定中分母“”的奇偶性；當(dāng)圖象在軸左側(cè)有圖象時，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點(diǎn)）的對稱性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性類似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無圖象，有圖象時，再利用奇偶性作出圖象即可舉一反三：【變式1】已知冪函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）A.均為奇數(shù)，且 B.為偶數(shù)，為奇數(shù)，且C. 為奇數(shù)，為偶數(shù)，且 D. 為奇數(shù)，為偶數(shù)，且【答案】D由函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱知，函數(shù)為偶函數(shù)，故為偶數(shù)，為奇數(shù)由函數(shù)圖象在第一象限為減函

8、數(shù)知【變式2】函數(shù)的圖象是（ ） 【答案】B【解析】已知函數(shù)解析式和圖象，可以用取點(diǎn)驗(yàn)證的方法判斷取，則，選項(xiàng)B，D符合；取，則，選項(xiàng)B符合題意類型三、冪函數(shù)的性質(zhì)例3.比較下列各組數(shù)的大小.(1)與； (2)與.【答案】（1）；（2）?！窘馕觥?1)由于冪函數(shù)()單調(diào)遞減且，.(2)由于這個冪函數(shù)是奇函數(shù). f(-x)=-f(x)因此，而(x0)單調(diào)遞減，且， .即.【總結(jié)升華】(1)各題中的兩個數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個冪函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷.(2)題(2)中，我們是利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題.當(dāng)然，若直接利用x0上

9、冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的.舉一反三：【變式1】比較，的大小.【答案】【解析】先利用冪函數(shù)的增減性比較與的大小，再根據(jù)冪函數(shù)的圖象比較與的大小.在上單調(diào)遞增，且，.作出函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖象，易知.故.類型四、求參數(shù)的范圍例4. 討論函數(shù)在時，隨著的增大其函數(shù)值的變化情況?！窘馕觥浚?）當(dāng)即或時，為常數(shù)函數(shù)；（2）當(dāng)，即或 時，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù)；（3）當(dāng)即時，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨的增大而減??；（4）當(dāng)即或時，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨的增大而增大；（5）當(dāng)即時，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨的增大而增大；（6）當(dāng)即時，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨的增大而減小。【總結(jié)升華】當(dāng)所研究的函數(shù)中含有參數(shù)時，

10、要對參數(shù)進(jìn)行討論，此題中系數(shù)和指數(shù)上都含有參數(shù)，要分別進(jìn)行討論，除特殊情況外，要對參數(shù)和指數(shù)分為同號和異號討論。舉一反三：【變式1】若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解法1：， 考察的圖象，得以下四種可能情況:(1) (2) (3) (4)分別解得:(1). (2)無解. (3). (4).a的取值范圍是.解法2：畫出的圖象，認(rèn)真觀察圖象，可得:越接近y軸，y值越大，即|x|越小，y值越大，要使， 即， 解得:.【總結(jié)升華】以上兩種方法都是運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，但顯然第二種方法更好.而這種方法的應(yīng)用，必須對圖象的特征有深刻的認(rèn)識.可見，能很好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要途徑.類型五、冪函數(shù)的應(yīng)用例5.

11、 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大小?！敬鸢浮吭谏鲜窃龊瘮?shù)，在上是減函數(shù) 【解析】=，因此將冪函數(shù)的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得帶函數(shù)的圖象，由此可知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。在上找出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。由，?！究偨Y(jié)升華】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，來考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點(diǎn)題型。解答這類問題的關(guān)鍵在于尋求相應(yīng)的基本冪函數(shù)，再利用其圖象與性質(zhì)解決問題。當(dāng)一個函數(shù)的圖象有對稱軸時，對于定義域內(nèi)的任意兩個值、，要比較和的大小，需要把、兩個數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)。舉一反三：【變式1】討論函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性【答案】，奇

12、函數(shù)，在上單調(diào)遞增【解析】（1）是正偶數(shù)，是正奇數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?）是正奇數(shù)，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是上的奇函數(shù)（3），且是正奇數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增類型六、基本初等函數(shù)圖象變換例6作出下列函數(shù)的圖象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.【解析】(1)如圖(1)； (2)如圖(2)； (3)如圖(3). 【總結(jié)升華】要作出由對數(shù)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的圖象，仍應(yīng)注意變換作圖法的靈活性，即先作出基本函數(shù)（對數(shù)函數(shù)）圖象，再用平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、伸縮等變換作圖法來作出函數(shù)圖象即可。一般地，函數(shù)（為實(shí)數(shù)）的圖象是由函數(shù)的圖象沿軸向右（

13、或向左）平移個單位（此時為的圖象），再沿軸向上（或向下）平移個單位而得。含有絕對值的函數(shù)的圖象是一種對稱變換，一般地，的圖象是關(guān)于直線對稱的軸對稱圖形；函數(shù)的圖象與的圖象，在時相同，而在時，關(guān)于軸對稱。舉一反三：高清課程：冪函數(shù)及圖象變換 例4（1） 【變式1】作出的圖象。向上平移2個單位向左平移1個單位【解析】先畫出的圖象，然后如下圖：【變式2】作函數(shù)的圖象。【解析】作復(fù)合函數(shù)的圖象時，可先作它的基本函數(shù)的圖象，然后適當(dāng)?shù)刈儞Q，分步驟完成。第一步：作的圖象甲。第二步：將的圖象沿軸向左平移1個單位，得的圖象乙。第三步：將的圖象在軸下方的部分作關(guān)于軸的對稱變換，得的圖象丙。第四步：將的圖象沿軸向上平移2個單位，便得到所求函數(shù)的圖象丁。