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1、第二章 習(xí)題解答,2.2.1 圖中列出了某量x的值的概率分布函數(shù)的圖線。求常量A的值，使在此值下該函數(shù)成為歸一化函數(shù)，然后計(jì)算x、x2和 的平均值,解：,按照歸一化條件，概率分布曲線下的面積為1，則,因而概率分布函數(shù)為：,2.2.2 量x的概率分布函數(shù)具有形式 ，式中A 和 a 是常數(shù)，是寫出x的值出現(xiàn)在7.9999到8.0001范圍內(nèi)的概率P 的近似表示式,解：,由歸一化，有：,其中f(x)是偶函數(shù)，因而有,因而處于7.9999到8.0001范圍內(nèi)的概率為：,2.3.6 試將麥克斯韋速率分布化為按平動(dòng)動(dòng)能的分布，并求出最概然動(dòng)能。它是否等于 ？為什么？,分析：對于理想氣體來說，麥克斯韋速率分

2、布和按照平動(dòng)動(dòng)能的分布式完全等價(jià)的。也就是說， ，所以只要將 中的v以平動(dòng)動(dòng)能來表示，就得到按平動(dòng)動(dòng)能的分布。,解：,麥克斯韋速率分布為：,設(shè)最概然動(dòng)能為p，有：,可得最概然動(dòng)能為：,由最概然速率所表示的動(dòng)能為：,顯然與最概然動(dòng)能不相等。,這個(gè)差異來自于數(shù)學(xué)而不是物理：,函數(shù)形式：,且其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)形式也不相等,2.4.1 因?yàn)楣腆w的原子和氣體分子之間有力的作用,所以在真空系統(tǒng)中的固體表面上會(huì)形成厚度為一個(gè)分子直徑的那樣一個(gè)單分子層.設(shè)這層分子仍可十分自由地在固體表面上滑動(dòng),這些分子十分近似地形成二維理想氣體.如果這些分子是單原子分子,吸附層的溫度為T,試給出表示分子處于速率為v到v+dv范圍內(nèi)

3、的概率f(v)dv的表達(dá)式,解：,在xy平面上運(yùn)動(dòng)的二維理想氣體的麥?zhǔn)纤俣确植紤?yīng)當(dāng)為：,設(shè)在二維速度空間中位置在vxvx+dvx , vyvy+dvy范圍內(nèi)的分子代表點(diǎn)數(shù)為dNvx,vy , 顯然二維速度空間中的分子代表點(diǎn)的數(shù)密度為:,二維理想氣體的麥?zhǔn)纤俾史植急硎玖朔肿犹幵诙S速度空間中，半徑vv+dv的圓環(huán)內(nèi)的概率,二維理想氣體的麥?zhǔn)纤俾史植急硎玖朔肿犹幵诙S速度空間中，半徑vv+dv的圓環(huán)內(nèi)的概率 ，dNv是半徑為vv+dv的圓環(huán)內(nèi)的分子代表點(diǎn)數(shù)，它等于圓環(huán)面積乘上分子代表點(diǎn)的數(shù)密度D，由A式可有：,所以分子處于速率為vv+dv范圍內(nèi)的概率表達(dá)式為：,此即二維理想氣體的麥克斯韋速率分布,

4、2.4.4 設(shè)氣體分子的總數(shù)為N,試證明速度的x分量大于某一給定值vx的分子數(shù)為 , 其中,證明：,速度的x分量分布為:,速度的x分量分布在0vx的分子數(shù)為:,則有:,速度的x分量在0之間的分子數(shù)為N/2, 所以:,2.5.2 一容器被一隔板分成兩部分,其中氣體的壓強(qiáng)分別為P1、P2。兩部分氣體的溫度均為T，摩爾質(zhì)量均為Mm。試證明：如果隔板上有一面積為A的小孔，則每秒通過小孔的氣體質(zhì)量為,證明：,利用平均速率公式可以把氣體分子碰壁數(shù)公式變換為：,在單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積小孔，隔板左邊凈增加的分子數(shù)為：,在dt時(shí)間內(nèi)通過小孔的氣體質(zhì)量為：,2.5.5 若使氫分子和氧分子的vrms等于它們在地球

5、表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？若使氫分子和氧分子的vrms等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？已知月球的半徑為地球半徑的0.27倍，月球的重力加速度為地球的0.165倍,解：,在離地球中心距離為R的高層大氣中,必有某些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而逃逸的最小速率vmin,E（它稱為逃逸速率）。這些分子向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只要不和其他分子碰撞就可以逃逸出大氣層。,氣體分子克服地球引力做功=氣體分子逃逸時(shí)的初動(dòng)能，故：,在忽略重力加速度隨高度變化的情況下，可以用地球表面的數(shù)據(jù)替代，則：,利用近似關(guān)系：,其中g(shù)E、ME、RE是地球表面的重力加速度、地球質(zhì)量、地球半徑,同理可得月球表面的各關(guān)

6、系式。代入數(shù)據(jù)有：,氫分子和氧分子的vrms分別等于地球表面上的逃逸速率時(shí)對應(yīng)的溫度：,氫分子和氧分子的vrms分別等于月球表面上的逃逸速率時(shí)對應(yīng)的溫度：,2.5.11 從一容器壁的狹縫射出一分子束， 試求該分子數(shù)中分子的最概然速率vP和最概然能量eP； 求得的vP和eP與容器內(nèi)的vP和eP是否相同？為什么？ eP是否等于 ，為什么？,解：,分子束速率分布函數(shù)：,因而分子束中分子的最概然速率 vP 有：,把分子束的速率分布函數(shù)化為分子束按照能量分布的函數(shù):,則由,可得最概然能量:, 求得的分子束的vP1和eP1與容器內(nèi)氣體分子的的vP2和eP2不同。這是因?yàn)槿萜鲀?nèi)氣體是處于靜態(tài)的，而分子束中的

7、氣體分子是處于動(dòng)態(tài)的，所以容器內(nèi)氣體速率分布不同于分子束中分子的速率分布。,這也是因?yàn)榉肿邮械臍怏w分子是處于動(dòng)態(tài)的，而容器內(nèi)氣體是處于靜態(tài)的,2.6.3 若認(rèn)為大氣是溫度為273K的等溫大氣，試估計(jì)地球大氣的總分子數(shù)及總質(zhì)量.,解:,由于大氣分子數(shù)密度是按指數(shù)曲線衰減的,地球大氣標(biāo)高 ,說明從海平面到高度h=H處,大氣分子數(shù)密度已經(jīng)減少為,若把整個(gè)大氣分子壓縮為一層覆蓋在地球表面的、其密度與海平面處大氣密度相等的均勻大氣層，則其厚度也是H。因而大氣總分子數(shù)大約可估計(jì)為：,其中n(0)為標(biāo)況下理想氣體分子數(shù)密度,地球表面的大氣壓強(qiáng)是因?yàn)榈厍驅(qū)Φ孛嬉陨纤械拇髿夥肿拥闹亓ψ饔枚a(chǎn)生的。海平面上的

8、大氣壓強(qiáng)是標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)P0，地球的表面積是 ,故地球大氣分子的總質(zhì)量約為：,解:(1),式中第一個(gè)因子是麥克斯韋速度分布，本身歸一化；第二個(gè)因子是沿z 方向的重力場分布，也應(yīng)歸一化，因而有：,則：,(2) 題中的分布可寫為：,在(A)式中對x，y（即地球表面）積分（即地球表面積），即得一個(gè)分子其x，y坐標(biāo)可任意取，其z軸坐標(biāo)處于zz+dz,而其速度矢量處于 、 、 間的概率，其值為：,(3) 要求一個(gè)分子其x,y,z坐標(biāo)及 均可任意取，但 處于,間的概率，則只需對(A)式中的x,y,z及,進(jìn)行積分，結(jié)果即為麥克斯韋速度分量的分布：,(3) 要求一個(gè)分子其x,y,z坐標(biāo)及 均可任意取，但 處于,

9、(4) 同理可得一個(gè)分子的x，y坐標(biāo)及 均可任意取，其高度處于zz+dz 的概率為：,2.6.10 在高層大氣中的重力加速度是大氣高度h的函數(shù).設(shè)地球表面大氣壓強(qiáng)為P0，大氣層的溫度處處均勻，地球半徑為RE，試求在h高度處的大氣壓強(qiáng)P(h),解:,由于在離開地球表面處的萬有引力勢能為:,其中RE為地球半徑，ME為地球質(zhì)量.按照玻爾茲曼分布，在h高度處的大氣壓強(qiáng)P(h)與在地面處的大氣壓強(qiáng)P0分別為:,其中P(0)為一常量.將上面兩式相除,可得:,討論:,從這一結(jié)果可以知道:當(dāng)h=0時(shí)，P=P0 ，這是符合前面的假定的。當(dāng) 時(shí)，有： ，這好像有問題。當(dāng) 時(shí)，大氣壓強(qiáng)應(yīng)該等于零，好像不符合實(shí)際情況

10、。但應(yīng)當(dāng)注意到，在273K時(shí)的地球大氣標(biāo)高是 ，它遠(yuǎn)小于地球半徑RE，所以,2.7.1 求常溫下質(zhì)量m1=3.00g的水蒸氣與m2=3.00g的氫氣組成的混合理想氣體的摩爾定體熱容,解:,3.00g的水蒸氣的物質(zhì)的量是 , 3.00g的氫氣的物質(zhì)的量是,. 由于氫氣有5個(gè)自由度，水蒸氣有6個(gè)自由度，根據(jù)能量均分定理，1mol氫氣的內(nèi)能為 ，1mol水蒸氣的內(nèi)能為 m1=3.00g的水蒸氣與m2=3.00g的氫氣組成的混合理想氣體的內(nèi)能為 。混合理想氣體的物質(zhì)的量為 ，所以1mol這種混合理想氣體的內(nèi)能為：,則混合氣的定體摩爾熱容為：,2.7.2 某種氣體分子由4個(gè)原子組成，它們分別處在四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上。（1）求這種分子的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、振動(dòng)自由度數(shù)；（2）根據(jù)能量均分定理求這種氣體的定體摩爾熱容,解：, 該分子有3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，最多可以有6個(gè)振動(dòng)自由度。, 如果為剛性分子，該分子的定體摩爾熱容為3R,