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1、2.1 2.1 分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 分子動(dòng)理學(xué)理論分子動(dòng)理學(xué)理論方法的方法的主要特點(diǎn)主要特點(diǎn)是，它考慮到分是，它考慮到分子與分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間子與分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間有相互作用力，利用力學(xué)定律和概率論來(lái)討論分子運(yùn)動(dòng)有相互作用力，利用力學(xué)定律和概率論來(lái)討論分子運(yùn)動(dòng)及分子碰撞的詳情。它的最終目標(biāo)是描述氣體由非平衡及分子碰撞的詳情。它的最終目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程。態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從對(duì)物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)是從對(duì)物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識(shí)出發(fā)，采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)說(shuō)明或

2、預(yù)言由大量粒子識(shí)出發(fā)，采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)說(shuō)明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。分子動(dòng)分子動(dòng)(理學(xué)理學(xué))理論是熱物理學(xué)的微觀理論基礎(chǔ)。熱理論是熱物理學(xué)的微觀理論基礎(chǔ)。熱物理學(xué)的微觀理論包括分子物理學(xué)的微觀理論包括分子動(dòng)理學(xué)理論動(dòng)理學(xué)理論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)與與非平街態(tài)統(tǒng)計(jì)非平街態(tài)統(tǒng)計(jì)三部分組成。三部分組成。2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí).對(duì)于由大量分對(duì)于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時(shí)，必微觀上加以研究時(shí)，必須用統(tǒng)計(jì)的方法須用統(tǒng)計(jì)的方法 .小球在伽爾頓板小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律中的分布規(guī)律 .一、伽爾頓板實(shí)

3、驗(yàn)一、伽爾頓板實(shí)驗(yàn)幾乎是完全確定的，即具有穩(wěn)定的特性，只略有一些偏差。幾乎是完全確定的，即具有穩(wěn)定的特性，只略有一些偏差。以以N N1 1表示第一槽內(nèi)的小球數(shù)，表示第一槽內(nèi)的小球數(shù)，N N2 2表示第二個(gè)槽內(nèi)的小球數(shù)，表示第二個(gè)槽內(nèi)的小球數(shù)，N Ni i表示第表示第i i個(gè)槽內(nèi)的小球數(shù)等等，個(gè)槽內(nèi)的小球數(shù)等等，則我們就得一組數(shù)則我們就得一組數(shù) N N1 1,N N2 2,N Ni i,這組數(shù)給出了小球在槽內(nèi)的分這組數(shù)給出了小球在槽內(nèi)的分配情況，我們稱為一種配情況，我們稱為一種分布分布。實(shí)驗(yàn)指出，只要小球的總數(shù)足實(shí)驗(yàn)指出，只要小球的總數(shù)足夠大，則每次所得的分布幾乎相等，夠大，則每次所得的分布幾乎

4、相等，也即每個(gè)槽內(nèi)的小球的數(shù)目與小球也即每個(gè)槽內(nèi)的小球的數(shù)目與小球總數(shù)之比總數(shù)之比2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí)統(tǒng)計(jì)規(guī)律是對(duì)大量偶統(tǒng)計(jì)規(guī)律是對(duì)大量偶然事件的整體起作用的規(guī)然事件的整體起作用的規(guī)律。統(tǒng)計(jì)規(guī)律有兩個(gè)顯著律。統(tǒng)計(jì)規(guī)律有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)，一個(gè)是它的的特點(diǎn)，一個(gè)是它的穩(wěn)定穩(wěn)定性性，另一個(gè)是永遠(yuǎn)伴隨著，另一個(gè)是永遠(yuǎn)伴隨著漲落現(xiàn)象漲落現(xiàn)象。.由此可見，大量小球由此可見，大量小球在各槽內(nèi)的一組分布決不在各槽內(nèi)的一組分布決不是偶然的，而是一個(gè)必然是偶然的，而是一個(gè)必然規(guī)律。這種由大量偶然事規(guī)律。這種由大量偶然事件的總體所服從的規(guī)律稱件的總體所服從的規(guī)律稱為為統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律。2.

5、2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí)二、等概率性與概率的基本性質(zhì)二、等概率性與概率的基本性質(zhì)1 1、概率的定義、概率的定義.2、等概率性、等概率性 等概率性等概率性-在沒有理由說(shuō)明哪一事件出現(xiàn)的概在沒有理由說(shuō)明哪一事件出現(xiàn)的概率不同時(shí)率不同時(shí),其概率都應(yīng)相等。其概率都應(yīng)相等。在一定條件下，某一現(xiàn)象或在一定條件下，某一現(xiàn)象或某一事件可能也可能不發(fā)生，稱某一事件可能也可能不發(fā)生，稱這樣的事件為隨機(jī)事件。這樣的事件為隨機(jī)事件。一定條件下，在一系列可能一定條件下，在一系列可能發(fā)生的事件集合中，發(fā)生某一實(shí)發(fā)生的事件集合中，發(fā)生某一實(shí)踐的機(jī)會(huì)或可能性，稱為該事件踐的機(jī)會(huì)或可能性，稱為該事件的概率。

6、的概率。2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí)互相排斥(簡(jiǎn)稱互斥)的事件:An個(gè)事件，出現(xiàn)事件Al，就不可能同時(shí)出現(xiàn)事件A2，A3,An。例P.55(2)(2)、同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）、同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積，簡(jiǎn)稱概的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積，簡(jiǎn)稱概率相乘法則。率相乘法則?；ゲ幌嚓P(guān)事件(獨(dú)立事件):事件A的發(fā)生與否，不會(huì)因B事件是否已經(jīng)發(fā)生過而受到影響.例P.55 3、概率的基本性質(zhì)、概率的基本性質(zhì)(1)、n n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率

7、之和，簡(jiǎn)稱發(fā)生概率之和，簡(jiǎn)稱概率相加法則。概率相加法則。2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí)三、平均值平均值四、均方偏差四、均方偏差2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí) 相對(duì)均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近相對(duì)均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近分散開分布的程度，也分散開分布的程度，也稱為漲落、散度或散差。稱為漲落、散度或散差。飛鏢飛鏢五、概率分布函數(shù)五、概率分布函數(shù)2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí)在區(qū)間在區(qū)間 有有 個(gè)個(gè)總點(diǎn)數(shù)為總點(diǎn)數(shù)為N N，表示在表示在x x 附近，單位區(qū)附近，單位區(qū)間分子數(shù)占總點(diǎn)數(shù)的概間分子數(shù)占總點(diǎn)數(shù)的概率（比率），令率（比率

8、），令f(x)分布曲線分布曲線xx2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí)令上式寫成 f f(x x)稱稱為概率密度為概率密度分布函數(shù)分布函數(shù).同理，在區(qū)間 有 個(gè)，單位面積點(diǎn)數(shù)占總點(diǎn)數(shù)的概率為 xy2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí)少數(shù)分子無(wú)規(guī)律性大量分子的統(tǒng)計(jì)分布分布函數(shù)分布函數(shù)所描寫的系統(tǒng)必須是所描寫的系統(tǒng)必須是大數(shù)大數(shù)系統(tǒng)。系統(tǒng)。2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí)2.3 2.3 麥克斯韋麥克斯韋速率分布速率分布實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)驗(yàn)裝置金屬蒸汽金屬蒸汽顯顯示示屏屏狹縫狹縫接抽氣泵接抽氣泵一、分子射線束實(shí)驗(yàn)一、分子射線束實(shí)驗(yàn)James C.Maxwell(183

9、11879)麥克斯韋是19世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1831年11月13日生于蘇格蘭的愛丁堡，自幼聰穎，父親是個(gè)知識(shí)淵博的律師，使麥克斯韋從小受到良好的教育。10歲時(shí)進(jìn)入愛丁堡中學(xué)學(xué)習(xí)14歲就在愛丁堡皇家學(xué)會(huì)會(huì)刊上發(fā)表了一篇關(guān)于二次曲線作圖問題的論文，已顯露出出眾的才華。1847年進(jìn)入愛丁堡大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理。1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，1854年以第二名的成績(jī)獲史密斯獎(jiǎng)學(xué)金，畢業(yè)留校任職兩年。1856年在蘇格蘭阿伯丁的馬里沙耳任自然哲學(xué)教授。1860年到倫敦國(guó)王學(xué)院任自然哲學(xué)和天文學(xué)教授。1861年選為倫敦皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1865年春辭去教職回到家鄉(xiāng)系統(tǒng)地總結(jié)他的關(guān)于電磁學(xué)

10、的研究成果，完成了電磁場(chǎng)理論的經(jīng)典巨著論電和磁，并于1873年出版，1871年受聘為劍橋大學(xué)新設(shè)立的卡文迪什試驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建著名的卡文迪什實(shí)驗(yàn)室,1874年建成后擔(dān)任這個(gè)實(shí)驗(yàn)室的第一任主任,直到1879年11月5日在劍橋去世。麥克斯韋主要從事電磁理論、分子物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、彈性理論方面的研究。尤其是他建立的電磁場(chǎng)理論，將電學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)統(tǒng)一起來(lái)，是19世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的最光輝的成果，是科學(xué)史上最偉大的綜合之一。2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布：分子總數(shù)分子總數(shù)分子速率分布圖分子速率分布圖 為速率在為速率在 區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù).表示速率在表示速率在 區(qū)間

11、的分子數(shù)占總區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率。分子數(shù)的概率。面積 2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布上圖折線變成光滑曲線，在 當(dāng) ，之間的分子數(shù)為 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布 表示速率在表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率概率根據(jù)概率的意義，應(yīng)有關(guān)系根據(jù)概率的意義，應(yīng)有關(guān)系 歸一化條件歸一化條件如果知道 ,我們就可以求得 之間的分子數(shù)2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù) 速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比（概率）（概率）2

12、.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布麥克斯韋利用理想氣體分子在三個(gè)方向上作獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的假設(shè),導(dǎo)出了理想氣體分子在平衡態(tài)時(shí)按速度分布規(guī)律，然后得到理想氣體分子按速率分布規(guī)律。其中k為玻爾茲曼常量，m、T 分別為氣體分子質(zhì)量及氣體溫度。麥?zhǔn)戏植己瘮?shù)麥?zhǔn)戏植己瘮?shù)1 1、麥克斯韋速率分布、麥克斯韋速率分布在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任意速率區(qū)間 分子數(shù)的比率為 二、麥克斯韋速率分布二、麥克斯韋速率分布2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布理想氣體在熱動(dòng)平衡條理想氣體在熱動(dòng)平衡條件下，各速率區(qū)間分子件下，各速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)

13、律的規(guī)律 .麥?zhǔn)戏植紳M足歸一化條件麥?zhǔn)戏植紳M足歸一化條件2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布 2 2、三種統(tǒng)計(jì)速率、三種統(tǒng)計(jì)速率(1)(1)、最概然速率、最概然速率根據(jù)分布函數(shù)求得根據(jù)分布函數(shù)求得 氣體在一定溫度下分布在最概然氣體在一定溫度下分布在最概然速率速率 附近單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)附近單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)最多。分子數(shù)最多。物理意義物理意義令令2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布(2)(2)、平均速率、平均速率(離散型離散型)(連續(xù)型連續(xù)型)2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布(3)(3)、方均根速率

14、、方均根速率方均根速率方均根速率2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布3 3、三種速率的比較、三種速率的比較 2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布 N N2 2 分子在不同溫度下的分子在不同溫度下的速率分布速率分布 同一溫度下不同氣體的同一溫度下不同氣體的速率分布速率分布2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布三種速率的使用三種速率的使用 三種速率在不同的問題中各有自己的應(yīng)用：三種速率在不同的問題中各有自己的應(yīng)用：在討論在討論速率分布速率分布，比較兩種不同溫度或不同分子質(zhì)量的，比較兩種不同溫度或不同分子質(zhì)量的氣體的分布曲線時(shí)常用到氣體的分布曲線時(shí)常用到最概然速率最

15、概然速率；在計(jì)算分子；在計(jì)算分子平均平均自由程自由程、氣體分子碰壁數(shù)及氣體分子之間、氣體分子碰壁數(shù)及氣體分子之間碰撞頻率碰撞頻率時(shí)則時(shí)則用到用到平均速率平均速率；在計(jì)算子；在計(jì)算子平均動(dòng)能平均動(dòng)能時(shí)用到時(shí)用到方均根方均根速率。速率。p.35p.35曾經(jīng)給出標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氫分子方均根速率為曾經(jīng)給出標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氫分子方均根速率為1.84*101.84*103 3m/sm/s,其平均速率其平均速率1.70*101.70*103 3m/sm/s,相差相差7.6%.7.6%.例題例題2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布一、速度空間一、速度空間vxvy

16、vzovdvxdvydvz速度矢量 代表點(diǎn) 1 1、速度空間的代表點(diǎn)、速度空間的代表點(diǎn)2 2、速度空間的分布函數(shù)、速度空間的分布函數(shù)坐標(biāo)為 處的速度分布概率密度速度分量分布概率2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度麥克斯韋速度分布概率密度分布概率密度實(shí)際上實(shí)際上獨(dú)立事件概率相乘獨(dú)立事件概率相乘在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任意速度區(qū)間 內(nèi)的分子占總分子數(shù)的比率為 二、麥克斯韋速度分布二、麥克斯韋速度分布2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布介于 之間的分子數(shù) 有限速度區(qū)間的分子數(shù) 其中其中實(shí)際上實(shí)際上獨(dú)立事件概率相乘獨(dú)立事件概率相乘2.4

17、2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布Note:為了書寫簡(jiǎn)單，作如下寫法：即2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布 在實(shí)際問題中有時(shí)需計(jì)算氣體分子速度分量(或速率)小于（或大于）某一給定值，或介于某一給定范圍內(nèi)的分子數(shù)。下面簡(jiǎn)單介紹利用麥克斯韋分布率處理這類文的方法。作為例子，我們討論如何計(jì)算速度的x分量介于0到某一給定值vx范圍內(nèi)的分子數(shù)。速度的x分量在區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)為 三、相對(duì)于 的速度分布與速率分布2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布對(duì)于有限值積分作如下處理。令定義所以 相對(duì)于 的速度分布誤差函數(shù)2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布同理，可得相對(duì) 的

18、無(wú)量綱麥克斯韋速率分布規(guī)律這是以最概然速率為單位的麥克斯韋速度分量分布規(guī)律。它是一個(gè)無(wú)量綱速度分量分布。2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布應(yīng)用上式，可計(jì)算無(wú)量綱速率uu的氣體分子數(shù)當(dāng)u=1時(shí)，當(dāng)u=2時(shí)，當(dāng)u=6時(shí)，當(dāng)u=28時(shí)，2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布o(jì)vxvyvzvdv 在速度空間，分子速率介于在速度空間，分子速率介于 的分子數(shù)代表點(diǎn)府該都落在以原點(diǎn)的分子數(shù)代表點(diǎn)府該都落在以原點(diǎn)為球心，為球心，v為半徑，厚度為為半徑，厚度為 的一的一薄層球殼中，如圖所示，球殼的體薄層球殼中，如圖所示，球殼的體積為積為 ，根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)各向，根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)各向同性的假設(shè)，氣

19、體分子速度沒有擇同性的假設(shè)，氣體分子速度沒有擇優(yōu)方向，在各個(gè)方向上應(yīng)是等概率優(yōu)方向，在各個(gè)方向上應(yīng)是等概率的，說(shuō)明代表點(diǎn)的數(shù)密度的，說(shuō)明代表點(diǎn)的數(shù)密度D足球?qū)ψ闱驅(qū)ΨQ的，稱的，D僅是離開原點(diǎn)的距離僅是離開原點(diǎn)的距離v的函的函數(shù)。設(shè)代表點(diǎn)的數(shù)密度為數(shù)。設(shè)代表點(diǎn)的數(shù)密度為D(v)，則，則在球殼內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)在球殼內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)四、從速度分布導(dǎo)出速率分布四、從速度分布導(dǎo)出速率分布2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布由麥克斯韋速度分可知，位于速度空間，單位體積的分子數(shù)為 2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布o(jì)vxvyvzvdv2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布2.5

20、2.5 氣體分子碰撞數(shù)及其應(yīng)用氣體分子碰撞數(shù)及其應(yīng)用 一、求單位時(shí)間內(nèi)碰在單位面積上的總分子數(shù)求單位時(shí)間內(nèi)碰在單位面積上的總分子數(shù)解vidtqdSivvxA B解二、理想氣體壓強(qiáng)公式解2.5 2.5 氣體分子碰撞數(shù)及其應(yīng)用氣體分子碰撞數(shù)及其應(yīng)用 器壁上有一個(gè)小孔，單位時(shí)間由單位面積泄出氣體分子數(shù)，稱為小孔泄流流量，記作 三、瀉流三、瀉流例題2.5 2.5 氣體分子碰撞數(shù)及其應(yīng)用氣體分子碰撞數(shù)及其應(yīng)用2.6 2.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布一、等溫大氣壓強(qiáng)公式、微粒按高度分布一、等溫大氣壓強(qiáng)公式、微粒按高度分布zz+dzp+dppg系統(tǒng)該系統(tǒng)達(dá)到平衡的條件為：1、等溫大氣壓強(qiáng)公式、等溫大氣壓強(qiáng)公

21、式2、等溫大氣標(biāo)高、等溫大氣標(biāo)高H稱為大氣標(biāo)高 大氣標(biāo)高大氣標(biāo)高是粒子按高度分布的特征量，它反映了氣體分子熱運(yùn)動(dòng)與分子受重力場(chǎng)作用這一對(duì)矛盾。上式表明，大氣分子的標(biāo)高H與溫度成正比，與分子量成反比，即溫度愈高，分子愈輕，它們相對(duì)而言就愈多地分布在高層大氣。這與上節(jié)討論大氣逃逸問題的物理圖象是一致的。在登山運(yùn)動(dòng)和航空駕駛中，往往根據(jù)上式，從測(cè)出的壓強(qiáng)變化估算上升的高度。2.6 2.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布其中m*稱為等效質(zhì)量。1908年法國(guó)科學(xué)家Perrin首次觀測(cè)到，1926年獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)諾貝爾物理獎(jiǎng)。設(shè)每一個(gè)微粒的質(zhì)量為m，體積為V，微粒的質(zhì)量密度為。將其放在質(zhì)量密度為 溶液中。微粒

22、受力是3、懸浮微粒按高度的分布、懸浮微粒按高度的分布2.6 2.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布hdrrl在距轉(zhuǎn)軸r出取dr一段氣體作為研究對(duì)象二、旋轉(zhuǎn)體中微粒徑向分布二、旋轉(zhuǎn)體中微粒徑向分布例題2.6 2.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布 上式中mgz是氣體分子在重力場(chǎng)中的勢(shì)能，是回轉(zhuǎn)體質(zhì)元受慣性離心勢(shì)能，將 代之于粒子在任意保守力場(chǎng)中的勢(shì)能Ep，就可以將該式推廣到任意勢(shì)場(chǎng)中 Mgz 和玻耳茲曼密度分布玻耳茲曼密度分布 處于平衡態(tài)的氣體中的原子、分子、布朗粒子，以及處于平衡態(tài)的氣體中的原子、分子、布朗粒子，以及液體、固體中的很多粒子，一般都可應(yīng)用玻爾茲曼分布，液體、固體中的很多粒子，一般都可應(yīng)用玻爾

23、茲曼分布，只要粒子之間相互作用很小而可予忽略只要粒子之間相互作用很小而可予忽略。三、玻耳茲曼密度分三、玻耳茲曼密度分布布2.6 2.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布位形空間的分布位形空間的分布 速度空間的分布 速度分布與密度分布是相互獨(dú)立的，以上兩個(gè)分部速度分布與密度分布是相互獨(dú)立的，以上兩個(gè)分部可以相乘，組成分子在可以相乘，組成分子在相空間相空間的分布：的分布：麥克斯韋麥克斯韋-玻爾茲曼能量分布玻爾茲曼能量分布四、麥克斯韋四、麥克斯韋-玻爾茲曼能量分布玻爾茲曼能量分布2.6 2.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布位于 區(qū)間的分子數(shù)是位于 區(qū)間的分子數(shù)是玻爾茲曼密度分布：指數(shù)上的重力勢(shì)能推廣到一般勢(shì)能，

24、玻爾茲曼密度分布：指數(shù)上的重力勢(shì)能推廣到一般勢(shì)能，玻耳茲曼密度分布玻耳茲曼密度分布麥克斯韋速度分布：指數(shù)上的平動(dòng)動(dòng)能推廣到包括分子內(nèi)部的轉(zhuǎn)動(dòng)麥克斯韋速度分布：指數(shù)上的平動(dòng)動(dòng)能推廣到包括分子內(nèi)部的轉(zhuǎn)動(dòng)能和振動(dòng)動(dòng)能能和振動(dòng)動(dòng)能2.6 2.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理 決定一個(gè)物體在空間的位置決定一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為該物體的所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為該物體的自由度數(shù)自由度數(shù) ，簡(jiǎn)稱自由度，簡(jiǎn)稱自由度。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)：i=3：P（x,y,z）3 3個(gè)平動(dòng)自由度個(gè)平動(dòng)自由度 剛體：剛體：i=6:過質(zhì)心軸線過質(zhì)心軸線AC方位：方位：2 2個(gè)自由度個(gè)自由度 繞

25、軸線繞軸線AC轉(zhuǎn)動(dòng)得較位置：轉(zhuǎn)動(dòng)得較位置：1 1個(gè)自由度個(gè)自由度i=6:質(zhì)心質(zhì)心C（xc，yc，zc）：）：3 3個(gè)個(gè)平動(dòng)自由度平動(dòng)自由度 一自由度一自由度1個(gè)約束2個(gè)約束自由 當(dāng)物體受到約束，自由度減少當(dāng)物體受到約束，自由度減少 剛性分子的自由度數(shù)剛性分子的自由度數(shù)2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理 非剛性分子存在振動(dòng)自由度非剛性分子存在振動(dòng)自由度：i=t+r+v平動(dòng)平動(dòng)-t;轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)-r;振動(dòng)振動(dòng)-v2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理 由由 N 個(gè)原子組成的個(gè)原子組成的 分子的自由度分子的自由度 一般最多有一般最多有3N個(gè)個(gè)自由度，其中自由度，其中3個(gè)是平動(dòng)自由度，個(gè)是平動(dòng)自由

26、度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，其余個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，其余3N-6個(gè)是振動(dòng)自由度。個(gè)是振動(dòng)自由度。基本形式：運(yùn)動(dòng)基本形式：運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)+振動(dòng)振動(dòng)自由度：自由度：i=t+r+v隨某點(diǎn)平動(dòng)：隨某點(diǎn)平動(dòng)：t=3 過該點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)過該點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：r=3其余為振動(dòng)其余為振動(dòng) ：v=3N-6 2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理已知理想氣體結(jié)果有已知理想氣體結(jié)果有 理想有三個(gè)自由度，理想有三個(gè)自由度，平動(dòng)動(dòng)能是在三個(gè)自由度平動(dòng)動(dòng)能是在三個(gè)自由度上平分的，每一個(gè)自由度上平分的，每一個(gè)自由度具有具有1/2kT。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)、振。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)、振動(dòng)自由度情況如何？根據(jù)動(dòng)自由度情況如何？根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)原理可以經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物

27、理學(xué)原理可以導(dǎo)出一個(gè)定理：導(dǎo)出一個(gè)定理：能量均分定理能量均分定理二能量按自由度均分定理（簡(jiǎn)稱能量均分定理）二能量按自由度均分定理（簡(jiǎn)稱能量均分定理）2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理 對(duì)于振動(dòng)能量，除動(dòng)能外，還有由于原子間相對(duì)位對(duì)于振動(dòng)能量，除動(dòng)能外，還有由于原子間相對(duì)位置變化所產(chǎn)生的勢(shì)能置變化所產(chǎn)生的勢(shì)能(注意：分子中原子間的勢(shì)能與分子注意：分子中原子間的勢(shì)能與分子間的勢(shì)能不同。理想氣體不存在分子間互作用勢(shì)能間的勢(shì)能不同。理想氣體不存在分子間互作用勢(shì)能)。由。由于分子中的原子所進(jìn)行的振動(dòng)都是振幅非常小的微振動(dòng)，于分子中的原子所進(jìn)行的振動(dòng)都是振幅非常小的微振動(dòng)，可把它看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在一個(gè)

28、周期內(nèi)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平均可把它看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在一個(gè)周期內(nèi)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能都相等：動(dòng)能與平均勢(shì)能都相等：所以對(duì)于每一分子的每一振動(dòng)自由度，其平均勢(shì)能所以對(duì)于每一分子的每一振動(dòng)自由度，其平均勢(shì)能和平均動(dòng)能均為和平均動(dòng)能均為kT/2kT/2，故一個(gè)振動(dòng)自由度均分，故一個(gè)振動(dòng)自由度均分kTkT的能量，的能量，而不是而不是kT/2kT/2。苦某種分子有。苦某種分子有t t個(gè)平動(dòng)自由度、個(gè)平動(dòng)自由度、r r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度、由度、v v個(gè)振動(dòng)自由度，則每一分子的總的平均能量為個(gè)振動(dòng)自由度，則每一分子的總的平均能量為2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理每一個(gè)分子的總的平均能量為：每一個(gè)分

29、子的總的平均能量為：注意注意1 1）、各種振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度是指對(duì)能量均分定理作全部貢獻(xiàn)的自）、各種振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度是指對(duì)能量均分定理作全部貢獻(xiàn)的自由度。由度。2 2）、只有在平衡態(tài)下才成立。）、只有在平衡態(tài)下才成立。3 3）、它是對(duì)大量分子統(tǒng)計(jì)平均所得結(jié)果）、它是對(duì)大量分子統(tǒng)計(jì)平均所得結(jié)果能量按自由度的統(tǒng)計(jì)能量按自由度的統(tǒng)計(jì)規(guī)律規(guī)律。4 4）、它不僅適用于理想氣體，而且也適用于液體和固體。）、它不僅適用于理想氣體，而且也適用于液體和固體。2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理剛性分子的平均動(dòng)能剛性分子的平均動(dòng)能 能量均分定理來(lái)自氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的混沌性。能量均分定理來(lái)自氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的混沌性。

30、2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理1、熱容定義：、熱容定義：C=Cm,C=mcCm為摩爾熱容，c為比熱2 2、理想氣體的內(nèi)能：、理想氣體的內(nèi)能：理想氣體的理想氣體的等體熱容：等體熱容：對(duì)單原子理想氣體摩爾內(nèi)能 內(nèi)能內(nèi)能分子的動(dòng)能與勢(shì)能（分子內(nèi)原子之間相互作用分子的動(dòng)能與勢(shì)能（分子內(nèi)原子之間相互作用勢(shì)能）的總和勢(shì)能）的總和三、理想氣體的熱容三、理想氣體的熱容2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理固體中粒子（原子、離子或分子）沒有平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)，只有固體中粒子（原子、離子或分子）沒有平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)，只有振動(dòng)。每一個(gè)粒子有三個(gè)相互垂直的振動(dòng)自由度，所以振動(dòng)。每

31、一個(gè)粒子有三個(gè)相互垂直的振動(dòng)自由度，所以摩爾摩爾熱容量熱容量杜隆杜隆-珀替珀替定律定律四、固體的熱容、杜隆四、固體的熱容、杜隆-珀替定律珀替定律2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理五、能量均分定理的局限五、能量均分定理的局限 自由度的凍結(jié)自由度的凍結(jié)1 1、能量均分定理的局限、能量均分定理的局限 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比 2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理 能量均分定理并不如想像的那么完美，它并不能量均分定理并不如想像的那么完美，它并不能應(yīng)用于一切處于平衡態(tài)的理想氣體分子。能應(yīng)用于一切處于平衡態(tài)的理想氣體分子。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比表明：與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比表明：2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理精品課件精品課件！精品課件精品課件！2 2、自由度的凍結(jié)、自由度的凍結(jié) 用能均分的觀點(diǎn)看實(shí)驗(yàn)結(jié)果，好象可以這樣解釋：雙原子分在低低溫時(shí)只有平動(dòng)，常溫時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，高溫時(shí)才有振動(dòng)，似乎一些自由度的運(yùn)動(dòng)在溫度不夠高時(shí)被“凍結(jié)”了。在經(jīng)典物理學(xué)中這是不可理解的，要用量子理論才能解釋。問題的要害是在經(jīng)典物理學(xué)中能級(jí)連續(xù)分布，而實(shí)際上它們是離散的。用量子理論對(duì)此作才能做正確的說(shuō)明。CO2 2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理