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1、第七章 空間問題的基本理論,例題,第五節(jié) 軸對稱問題的基本方程,第四節(jié) 幾何方程及物理方程,第三節(jié) 主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,第二節(jié) 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài),第一節(jié) 平衡微分方程,習題的提示和答案,教學參考資料,第七章 空間問題的基本理論,在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)。,空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。,取出微小的平行六面體，,考慮其平衡條件:,(a),(b),平衡條件,7-1 平微分方程,由x 軸向投影的平衡微分方程 ,平衡微分方程,得,因 x , y

2、, z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x , y , z 坐標具有對等性，其方程也必然具有對等性。所以式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標輪換得到。,由三個力矩方程得到三個切應(yīng)力互等定理，,，,。,(x, y , z) (d),空間問題的平衡微分方程精確到三階微量,平衡微分方程,思考題,在圖中，若點o的x向正應(yīng)力分量為 ，試表示點A , B的正應(yīng)力分量。,在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標的應(yīng)力分量 ，來求出斜面(法線 ）上的應(yīng)力。,斜面應(yīng)力,7-2 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力,斜面全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：,沿坐標向分量:,沿法向和切向分量:,斜面應(yīng)力,取出如圖的包含斜面的微分四面體

3、，斜面面積為ds, 則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。,由四面體的平衡條件 ，得出坐標向的應(yīng)力分量,1. 求,2. 求,將,向法向 投影，即得,從式(b)、(c )可見,當六個坐標面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。,設(shè)在 邊界上，給定了面力分量 則可將微分四面體移動到邊界點上，并使斜面與邊界重合。這時，斜面應(yīng)力分量 應(yīng)代之為面力分量 ，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:,3. 在 上的應(yīng)力邊界條件,應(yīng)力邊界條件,式(b), (c) 用于V內(nèi)任一點，表示斜面應(yīng)力與坐標面應(yīng)力之間的關(guān)系；,注意:,式(d)只用于 邊界點上，表示邊界面上的面力與坐標面的應(yīng)力之間

4、的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。,1.假設(shè) 面(l , m , n)為主面，則此斜面上,斜面上沿坐標向的應(yīng)力分量為 代入 , 得到,斜面應(yīng)力,7-3 主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,考慮方向余弦關(guān)系式,有,式(a) , (b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。,(b),2. 求主應(yīng)力,將式(a)改寫為,求主應(yīng)力,上式是求解l , m , n的齊次代數(shù)方程。由于l , m , n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得,展開，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力,( c ),求主應(yīng)力,3.應(yīng)力主向,設(shè)主應(yīng)力 的主向為 。代入式(a)中的前兩式，整理后得,應(yīng)力主向,由上兩式解出 。然后由式(b)得出,應(yīng)力主

5、向,再求出 及 。,4. 一點至少存在著三個互相垂直的主應(yīng)力,（證明見書上）。,5.應(yīng)力不變量,若從式(c) 求出三個主應(yīng)力 ，則式(c)也可以用根式方程表示為，,因式(c) 和( f )是等價的方程，故 的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出,應(yīng)力不變量,(g),應(yīng)力不變量,分別稱 為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學之中。,式(g)中的各式，左邊是不隨坐標選擇而變的； 而右邊各項雖與坐標的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標選擇無關(guān)。,6.關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：,六個坐標面上的應(yīng)力分量完全確定一點 的應(yīng)力狀態(tài)。只要六個坐標面上的應(yīng)力 分量確定了，則通過此點的任何面上的 應(yīng)力也完全確定并可求出。

6、,(2)一點存在著三個互相垂直的應(yīng)力主面及 主應(yīng)力。,一點應(yīng)力狀態(tài),(3) 三個主應(yīng)力包含了此點的最大和最小 正應(yīng)力。,（4）一點存在三個應(yīng)力不變量,（5）最大和最小切應(yīng)力為 ， 作用于通過中間 主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng) 力的夾角”的平面上。,設(shè),思考題,1.試考慮：對于平面問題若 則此點所有的正應(yīng)力均為 ,切應(yīng)力均 為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。,2. 試考慮：對于空間問題若 則此點所有的正應(yīng)力均為 ,切應(yīng)力均 為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。,空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：,(a),幾何方程,7-4 幾何方程及物理方程,從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：, 若位移確

7、定，則形變完全確定。,幾何方程,從數(shù)學上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。,沿x , y , z 向的剛體平移；, 若形變確定，則位移不完全確定。,由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若 ，還存在對應(yīng)的位移分量為,(b),幾何方程,繞x , y , z軸的剛體轉(zhuǎn)動角度。,若在 邊界上給定了約束位移分量 ，則空間問題的位移邊界條件為,( c ),位移邊界條件,(d),其中由于小變形假定，略去形變的二、三次冪。,體積應(yīng)變,體積應(yīng)變定義為,空間問題的物理方程 可表示為兩種形式：, 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按位移求解方法：,( x ,y ,z ) (e),物理方程, 應(yīng)力用應(yīng)變表示

8、，用于按應(yīng)力求解方法：,(x ,y , z) ( f ),由物理方程可以導(dǎo)出,（g）,是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。, 稱為體積模量。,結(jié)論： 空間問題的應(yīng)力，形變，位移等十五個未知函數(shù)，它們都是(x ,y ,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應(yīng)力或位移的邊界條件。,結(jié)論,思考題,若形變分量為零， 試導(dǎo)出對應(yīng)的位移分量（7-17）。,空間軸對稱問題,采用柱坐標表示,軸對稱問題,如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對稱的。,7-5 軸對稱問題的基本方程,對于空間軸對稱問題：所有物理量

9、僅為(,z)的函數(shù)。,應(yīng)力中只有,(a),形變中只有,位移中只有,軸對稱問題,而由,得出為 。,平衡微分方程：,幾何方程：,其中,幾何方程為,物理方程：,應(yīng)變用應(yīng)力表示：,(d),應(yīng)力用應(yīng)變表示：,其中,邊界條件： 一般用柱坐標表示時，邊界面均為坐標面。所以邊界條件也十分簡單。,在柱坐標中，坐標分量 的量綱，方向性，坐標線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對等性。,思考題,試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導(dǎo)出平面軸對稱問題的基本方程。,第七章例題,例題1,例題2,例題3,例題,例題 1,設(shè)物體的邊界面方程為,F（x, y, z) = 0 ,試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的

10、分布拉力q(x, y, z), 應(yīng)力邊界條件是什么形式？,（x, y, z),其中,解：當物體的邊界面方程為F（x, y, z) = 0 時，它的表面法線的方向余弦 為,當面力為法向分布拉力q時，,(x, y, z),因此，應(yīng)力邊界條件為,代入應(yīng)力邊界條件，得,(x, y, z),例題 2 試求圖示彈性體中的應(yīng)力分量，(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布壓力q作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。(b)半無限大空間體，其表面受均布壓力q的作用。,q,q,o,o,x,x,z,z,圖7-4,解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對于(a

11、)，有約束條件，；對于(b)，有對稱條件。而兩者的，因此，由物理方程，,即可解出,例題 圖示的彈性體為一長柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點，試寫出z=0表面上的邊界條件。,x,y,o,b,b,a,a,z,圖7-5,P,解：本題是空間問題，z=0的表面是小邊 界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向一致。 由于面力的主矢量和主矩是給定的， 因此，應(yīng)力的主矢量和主矩的數(shù)值，應(yīng)等于面力的主矢量和主矩的數(shù)值；,而面力主矢量和主矩的方向，就是應(yīng)力主矢量和主矩的方向。應(yīng)力主矢量和主矩的正負號和正負方向

12、，則根據(jù)應(yīng)力的正負號和正負方向來確定。,對于一般的空間問題，列積分的應(yīng)力邊界條件時，應(yīng)包括六個條件。對于圖示問題這六個積分的邊界條件是：,7-1 答案,7-2 提示： 原(x,y,z)的點移動到(x+u,y+v,z+w)位置，將新位置位置代入有關(guān)平面、直線、平行六面體和橢球面方程。,7-3 見本書的敘述。,第七章 習題的提示和答案,7-4 空間軸對稱問題比平面軸對稱問題 增加了一些應(yīng)力、形變和位移，應(yīng) 考慮它們在導(dǎo)出方程時的貢獻。,7-5 對于一般的空間問題，柱坐標中的全 部應(yīng)力、形變和位移分量都存在，且 它們均為 的函數(shù)。在列方程時 應(yīng)考慮它們的貢獻。,(一)本章學習的重點及要求,1. 研究

13、彈性力學問題,可以從一般問題到特殊問題,如從空間問題到平面問題。也可以由特殊問題到一般問題。本書就是先研究平面問題，然后再研究空間問題的。這樣可以由淺入深，循序漸進，便于理解。,第七章 教學參考資料,彈性力學中的各種問題，都具有相似性，其未知函數(shù)，基本方程和邊界條件，以及求解的方法都是類似的。我們可以把空間問題看成是平面問題的推廣。,2. 直角坐標系(x,y,z)中一般的空間問題，包含有15個未知函數(shù)（6個應(yīng)力分量，6個應(yīng)變分量及3個位移分量），且它們均為三個坐標變量(x,y,z)的函數(shù)。區(qū)域內(nèi)的基本方程也是15個，即3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程。在邊界上的應(yīng)力邊界條件或位移邊

14、界條件均為3個。這些,方程和邊界條件當然可以根據(jù)有關(guān)條件導(dǎo)出，但也可以從平面問題推廣而來。,3.在柱坐標系 中的空間軸對稱問題，也可以看成是平面軸對稱問題的推廣。空間軸對稱問題包含有十個未知函數(shù)（4個應(yīng)力分量，4個應(yīng)變分量及2個位移分量）,它們都是 的函數(shù)。在空間軸對稱問題中，區(qū)域內(nèi)共有十個基本方程（2個平衡微分方程，4個幾何方程及4個物理方程），在邊界上個有兩個應(yīng)力或位移邊界條件。,(二）本章內(nèi)容提要,1. 直角坐標系(x,y,z)中的一般空間問題，其基本方程及邊界條件具有對等性，可將下標、導(dǎo)數(shù)和物理量等按（ x,y,z ）輪換的方式得出其余表達式。,平衡微分方程，,幾何方程，,物理方程：（1）應(yīng)變用應(yīng)力表示，,（2）應(yīng)力用應(yīng)變表示，,。,應(yīng)力邊界條件，,（在 上 ）,位移邊界條件，,。,（在 上 ）,2. 一點的應(yīng)力狀態(tài),斜面應(yīng)力，,3. 柱坐標系（ ）中的空間軸對稱問題（ 不具有對稱性）,平衡微分方程，,幾何方程,物理方程：（1）應(yīng)變用應(yīng)力表示，,（2）應(yīng)變用應(yīng)力表示，,