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1、,例題,第一節(jié) 差分公式的推導(dǎo),第二節(jié) 應(yīng)力函數(shù)的差分解,第三節(jié) 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例,第四節(jié) 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能,第五節(jié) 位移變分方程,第六節(jié) 位移變分法,習(xí)題的提示和答案,教學(xué)參考資料,第五章 用差分法和變分法解平面問題,第七節(jié) 位移變分法例題,彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件，建立微分方程和邊界條件。,近似解法,因此，彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊界問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。,5-1 差分公式的推導(dǎo),對(duì)于工程實(shí)際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有變分法

2、、差分法和有限單元法。,近似解法,差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。 它不是去求解函數(shù) ，而是求函數(shù)在一些結(jié)點(diǎn)上的值 。,f,x,o,差分法,差分法的內(nèi)容是：,差分法,將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。,將導(dǎo)數(shù)用有限差商來代替，,將微分用有限差分來代替，,導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：,導(dǎo)數(shù)差分公式,在平面彈性體上劃分等間距h 的兩組網(wǎng)格，分別x 、y 軸。網(wǎng)格交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，h 稱為步長(zhǎng)。,應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式 將 在 點(diǎn)展開，,(a),拋物線差分公式 略去式(a)中 以上項(xiàng)，分別用于結(jié)點(diǎn)1、3，,拋物線差分公式,結(jié)點(diǎn)3：,結(jié)點(diǎn)1：,拋物線差分公式,式(b)

3、又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。,從上兩式解出o點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式，,應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計(jì)其誤差量級(jí)，式(b)的誤差為 。,拋物線差分公式,線性差分公式 在式(a)中僅取一、二項(xiàng)時(shí)，誤差量級(jí)為 。,線性差分公式,式(c)稱為向前差分公式。,對(duì)結(jié)點(diǎn)1，,得：,對(duì)結(jié)點(diǎn)3， 得： 式(d )稱為向后差分公式。,線性的向前或向后差分公式，主要用于對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的公式中。,穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度場(chǎng)函數(shù)T (x, y) 應(yīng)滿足下列方程和邊界條件： （在 A 中）, (a) （在 上）, (b) （在 上）. (c),例1,穩(wěn)定溫度場(chǎng)的基本方程(a)是拉普拉斯方程

4、；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在 上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導(dǎo)熱系數(shù)。,現(xiàn)在我們將式(a)、(b)、(c)轉(zhuǎn)化為差分形式。應(yīng)用圖51網(wǎng)格，和拋物線差分公式，,（1）將化為差分公式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則 已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已 知，則,(d),由于 所以得 這時(shí)，邊界點(diǎn)2的是未知的，對(duì)2點(diǎn)須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。,(e),例2穩(wěn)定溫度場(chǎng)問題的差分解。設(shè)圖中的矩形域?yàn)?m4m ，取網(wǎng)格間距為h = 2m，布置網(wǎng)格如圖，各邊界點(diǎn)的已知溫度值如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點(diǎn)a、b的穩(wěn)定溫度值。,a,b,

5、40,35,30,25,32,22,24,22,20,17,解：對(duì)a、b 列出方程如下：解出,（度）.,1.比較導(dǎo)數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。2.應(yīng)用拋物線差分公式(5-2)，試導(dǎo)出三階導(dǎo)數(shù) 的差分公式。,思考題,對(duì)于單連體，按應(yīng)力函數(shù) 求解時(shí)， 應(yīng)滿足:,5-2 應(yīng)力函數(shù)的差分解,按 求解,（3）求出 后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）:,按 求解,差分法求解,1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對(duì)于o點(diǎn)，,差分法求解：,相容方程,(e),化為：,對(duì)每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)， 為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程 。,2.相容方程(a)的差分表示，,對(duì)邊界內(nèi)一行結(jié)點(diǎn)列式(e)方程時(shí)，需要求出邊界點(diǎn)和邊界外一行

6、結(jié)點(diǎn)（虛結(jié)點(diǎn)）的 值。為了求虛結(jié)點(diǎn)的 值，需要求出邊界點(diǎn) 的 、 值。,相容方程,3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點(diǎn)的 、 、 值。,邊界條件, 應(yīng)力邊界條件用 表示 取出坐標(biāo) 的正方向作為邊界線s 的正向（圖中為順時(shí)針向），當(dāng)移動(dòng) 時(shí)， 為正，而 為負(fù)，外法線的方向余弦為,邊界條件,( f ),邊界條件,即,將上式和式(d)代入式(b)，得,邊界條件,式( f )、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形式。,再將式(f )對(duì)s 積分，從固定的基點(diǎn)A到邊界任一點(diǎn)B，得,通過分部積分從A到B積分，得,邊界條件,(h),由全微分 求邊界點(diǎn)的,A為定點(diǎn)， 、 和 、 、 均為常數(shù)，而式(h)中，

7、加減x，y的一次式不影響應(yīng)力，可取故邊界結(jié)點(diǎn)的 和導(dǎo)數(shù)值，由式(g)、(h)簡(jiǎn)化為,邊界條件,式(i)的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x向面力的主矢量；第二式表示從A到B邊界上y向面力的主矢量改號(hào);第三式表示從A到B邊界上面力對(duì)B點(diǎn)的力距，圖中以順時(shí)針向?yàn)檎?。因此，可以按物理意義直接求,邊界條件,和, 由式(i)的第三式，可求出邊界點(diǎn)的 值; 由式(i)的前兩式，可求出邊界點(diǎn) 的 、 值，然后再求出邊 界外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值。,邊界條件,（1）在邊界上選定基點(diǎn)A， 令 ， 然后計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的 、 、 ；,求解步驟,（2）由邊界結(jié)點(diǎn)的 、 值，求出邊界 外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值；,4.應(yīng)力函數(shù)

8、差分解的步驟,（3）對(duì)邊界內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)列式(e)的方程， 聯(lián)立求各結(jié)點(diǎn)的 值；,求解步驟,（5）按式(d)求各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。,（4）求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值；,思考題1、將應(yīng)力函數(shù)看成是覆蓋于區(qū)域A和邊 界s上的一個(gè)曲面，則在邊界上，各點(diǎn) 的值與從 A（基點(diǎn)）到B面力的合力 距有關(guān)， 的一階導(dǎo)數(shù)值與A到B的面力 的合力（主矢量）有關(guān)；而在區(qū)域內(nèi)， 應(yīng)力分量與曲面的曲率、扭率有關(guān)。,53應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例,問題,此題無函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。,正方形深梁,上邊受均布荷載 ，下邊兩角點(diǎn)處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。,1.本題具有對(duì)稱性，取y軸如圖，并取以反映對(duì)稱性。,取網(wǎng)格如圖。,首先考慮

9、對(duì)稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計(jì)算工作量。 按照物理意義，求出邊界點(diǎn)上的 和其導(dǎo)數(shù)值（如書中所示）：,AB間y向面力主矢量號(hào)， AB間x向面力主矢量， AB間面力對(duì)B點(diǎn)力矩，,注意符號(hào),為正.,5. 求出應(yīng)力，如AM線上各點(diǎn)應(yīng)力，并繪 出分布圖。,4. 求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值。,3. 對(duì)每一內(nèi)點(diǎn)列差分方程 ，求 出 。,2. 由邊界點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)值，求出邊界外一行 虛結(jié)點(diǎn)的 值。,比較：材料力學(xué)解AM上 為直線分布，彈性力學(xué)解AM上 為曲線分布， 由此又說明，材料力學(xué)解法只適用于桿件。,比較,（1）差分法是解微分方程邊值問題和彈性 力學(xué)問題的有效方法。（2）差分法簡(jiǎn)便易行，且總能求出解

10、答。（3）差分法可配合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)解 法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀 態(tài)。,差分法優(yōu)點(diǎn)：,差分法評(píng)價(jià),（1）對(duì)于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計(jì)算 較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問題或二維問 題。（3）凡是近似解，在求導(dǎo)運(yùn)算時(shí)會(huì)降低精 度。如 的誤差為 ，則應(yīng)力 的誤差為 。,缺點(diǎn)：,差分法評(píng)價(jià),思考題：1.試用線性向前或向后差分公式，導(dǎo)出 的 差分方程。,a,（Z向厚度 ）,A,y,B,2F,F,F,x,a,a,a,2.用差分法計(jì)算 圖中A點(diǎn)的應(yīng) 力分量。,54 彈性體的形變勢(shì)能 外力勢(shì)能,彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。,泛函是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種

11、函數(shù)。,變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。,應(yīng)力變分法取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以 余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。 本章只介紹位移變分法。,位移變分法取位移函數(shù)為自變量，并以勢(shì) 能極小值條件導(dǎo)出變分方程。,彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨(dú)立解法。其中分為：,外力勢(shì)能外力做了功，必然消耗了相同 值的勢(shì)能。當(dāng)取 時(shí)的外力功和能為零，則：,(b),外力功和外力勢(shì)能,1.彈性體上的外力功和外力勢(shì)能外力功：,形變勢(shì)能,（2）應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長(zhǎng)到 ， 故單位體積上，應(yīng)力所做的功是 非線性 關(guān)系 線 性 關(guān)系,（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近 部分物體對(duì)它的作用力，可看成是 作用于微小

12、單元上的“外力”。,2.應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）,線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,（3）對(duì)于平面應(yīng)力問題 或平面應(yīng)變問題 單元體積上應(yīng)力所做的功都是,(c),形變勢(shì)能,（4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動(dòng)能，則 應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的 內(nèi)力勢(shì)能，又稱為形變勢(shì)能，或應(yīng)變 能， 存貯于物體內(nèi)部。 單位體積的形變勢(shì) 能（形變勢(shì)能密度）。,形變勢(shì)能,（5）整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能是,(d),形變勢(shì)能,形變勢(shì)能,對(duì)于平面應(yīng)變問題， 將 ， 。,再將幾何方程代入， 可用位移表示為,（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問題的形 變勢(shì)能密度 ，可用形變表示為,3.形變勢(shì)能 的性質(zhì)（1） 是應(yīng)變或

13、位移的二次泛函，故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時(shí)， 總是正的，即（3） 的大小與受力次序無關(guān)。（4）對(duì)應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對(duì)應(yīng)的應(yīng)力：,(g),形變勢(shì)能的性質(zhì),4.彈性體的總勢(shì)能，是外力勢(shì)能和內(nèi)力 （形變）勢(shì)能之和，,(h),1.試證明在線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系下， 。2. 試由式(e)導(dǎo)出式(g)。3. 試列出極坐標(biāo)系中平面應(yīng)力問題的形變勢(shì)能公式，并與式(d)、(e)和( f )相比較。,思考題,55位移變分方程,在位移變分法中，所取泛函為總勢(shì)能 ，其宗量為位移狀態(tài)函數(shù) ， 。 現(xiàn)在來導(dǎo)出位移變分方程。, 用位移表示的平衡微分方程（在A中） 用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在 上） 位移邊界條件

14、（在上） 。,實(shí)際位移,(a),其中、屬于靜力平衡條件，屬于約束條件。對(duì)于實(shí)際位移，可將看成是必要條件，而、是充分條件。,1.實(shí)際平衡狀態(tài)的位移 、 ，必須滿足,2.虛位移狀態(tài) 虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分） ， 表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，如圖所示。 虛位移應(yīng)滿足 上的約束邊界條件，即,虛位移,(b),（在 上）。,虛位移不是實(shí)際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài) 就構(gòu)成實(shí)際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。,(c),虛位移,微分 是在同一狀態(tài)下，研究由于位置 (坐標(biāo)) 改變而引起函數(shù)的改變。 其中的自變量為坐標(biāo)變量 x, y； 而因變量為函數(shù)，如位移

15、，有,(d), 變分與微分的比較,變分與微分,變分 是在同一點(diǎn)位置上，由于狀態(tài)改變 而引起泛函的改變。 其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移； 而因變量為泛函，如 ， ， ，有,變分與微分,(e),由于微分和變分都是微量，所以 a.它們的運(yùn)算方式相同，如式(d)，(e)； b.變分和微分可以交換次序，如,變分與微分,( f ),當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分） 時(shí)，,虛位移上功和能,由于虛位移引起虛應(yīng)變，,外力勢(shì)能的變分：,外力的虛功（外力功的變分）：,3.在虛位移上彈性體的功和能,形變勢(shì)能的變分，即實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功, 由于實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在,作為常力計(jì)算，故無 系數(shù)。,虛位移上功和能,(

16、j ),（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動(dòng)能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢(shì)能的增加 應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少（即等于外力所做的虛功 ）。,位移變分方程,4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出,（2）位移變分方程 將式(g)的 代入上式,得,它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變 分 時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變 分 ，等于外力功的變分 。,位移變分方程,位移變分方程,它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時(shí)，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在 虛應(yīng)變上所做的虛功。,（3）虛功方程 將式(j)的 代入上 式，得,其中 形變勢(shì)能的變分，如式( j )所示， 外力功的變分，如式(g)所示。,位移變分方程,（4）最小勢(shì)能原理式(k)可寫成,其中U彈性體的形變勢(shì)能，如5-4式(d),W彈性體的外力功， 如5-4式(a)。,可以證明，式(n)可以寫成為,證明如下：,位移變分方程,由于彈性體的總勢(shì)能為故式(o)可以表示為 再將總勢(shì)能 對(duì)其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運(yùn)算，可得 綜合式(p)，(q)，即得,(p),(q),(r),位移變分方程,位移變分方程,這就是最小勢(shì)能原理。它表示在給定