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1、3.5剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué),1、運(yùn)動(dòng)分析：,（1）剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可以看成是任一瞬時(shí)軸的“定”軸轉(zhuǎn)動(dòng)。,常平架,在工程與生活中經(jīng)?？梢杂龅酱祟?lèi)運(yùn)動(dòng)雷達(dá)跟蹤天線(xiàn)陀螺儀中的轉(zhuǎn)子行星齒輪系中動(dòng)錐齒輪玩具陀螺等,（2）自由度 S=3,（4）本體極面，空間極面,空間極面：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在空間(固定坐標(biāo) 系中)描繪的曲面。本體極面：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在剛體內(nèi)(動(dòng)坐標(biāo) 系中)描繪的曲面。,（3）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,潘索定理：本體極面在空間極面上作純滾動(dòng),2、速度，加速度,(1) 速度：,(2) 加速度：,(3)剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，將運(yùn)動(dòng)分解為剛體隨基點(diǎn)A的平動(dòng) 剛體繞基點(diǎn)A的“定點(diǎn)”轉(zhuǎn)動(dòng)，則剛體上任一點(diǎn)P的速度為,加速度為,3、剛體繞兩

2、相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成,剛體繞某點(diǎn)O作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，相當(dāng)于剛體繞某軸作“定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)，而該軸又繞另一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這兩個(gè)軸相交于O點(diǎn)。,結(jié)論：當(dāng)剛體繞兩個(gè)相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的瞬時(shí)角速度等于它分別繞這兩個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的矢量和。,【例9】半徑為R的圓盤(pán)以不變的角速度 繞水平軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，而軸AB又以不變的角速度 繞豎直軸CD轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓盤(pán)水平直徑一端M點(diǎn)的速度和加速度。,解：建立平面轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系oxyz,【例10】高為h，頂角為2的圓錐在一平面上滾動(dòng)而不滑動(dòng)，如已知此錐以勻角速度繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求圓錐底面上A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度a1和向軸加速度a2的量值。,解 :,分析,1、在圓錐上建立o-xyz坐標(biāo)系，母線(xiàn) 與ox重合，

3、與圓錐一起運(yùn)動(dòng)。,2、求,3、求 （轉(zhuǎn)動(dòng)加速度 ）,3、求 （向軸加速度 ）,【例11】,【例12】,3.6 歐拉角,3.7 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩,設(shè) 為剛體上任一質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)o的動(dòng)量矩為,整個(gè)剛體對(duì)同一點(diǎn)o的動(dòng)量矩為,(1),下面求動(dòng)量矩 的分量表達(dá)式,其中，,二、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量。,回轉(zhuǎn)半徑,平行軸定理,敘述：剛體對(duì)某一軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于對(duì)通過(guò)質(zhì) 心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩 軸間垂直距離平方的乘積。,常用到的結(jié)果：,半徑為R的均質(zhì)圓盤(pán)繞過(guò)圓心且垂直圓面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是：,長(zhǎng)為 的均質(zhì)細(xì)桿繞過(guò)中心且與桿垂直

4、的軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：,和,注意：若選動(dòng)坐標(biāo)系系，慣量系數(shù)均為常數(shù),(2)慣量橢球用幾何方法求剛體對(duì)某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：,代入*得,橢球面方程,中心慣量橢球：剛體的質(zhì)心(或重心)在O點(diǎn),計(jì)算出剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,(3) 慣量主軸及其求法(適當(dāng)選擇坐標(biāo)系消去慣量積),慣量主軸：使慣量積為零的坐標(biāo)系(慣量橢球的 三條相互垂直的主軸),則橢球面方程變?yōu)椋?這里,主慣量剛體對(duì)慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,注意：1、剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有三個(gè)慣量主軸存在， 且互相垂直； 2、過(guò)質(zhì)心的三個(gè)慣量主軸叫中心慣量主軸。,慣量主軸坐標(biāo)系中的若干物理量的簡(jiǎn)化表達(dá)式,慣量張量：,動(dòng)量矩：,動(dòng)能：,慣量主軸的求法(均

5、質(zhì)剛體) 幾何對(duì)稱(chēng)軸是慣量主軸 幾何對(duì)稱(chēng)面的垂線(xiàn)是慣量主軸,舉例：半徑為r，高為h的均勻圓柱體,證明：(1) 幾何對(duì)稱(chēng)軸是慣量主軸,取z軸為對(duì)稱(chēng)軸，,z軸為慣量主軸,(2) 幾何對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)是慣量主軸,取對(duì)稱(chēng)面oyz，,x軸為慣量主軸,若分別取對(duì)稱(chēng)面oxy和對(duì)稱(chēng)面oxz，同理可證得相應(yīng)的垂線(xiàn)z軸和y軸均為慣量主軸。,說(shuō)明：(1) 若 ，則為旋轉(zhuǎn)橢球， 則在xy平面內(nèi)的各軸都是主軸； (2) 若 ，橢球變?yōu)榍蝮w， 所有通過(guò)O點(diǎn)的軸都是主軸。,【例13】均勻長(zhǎng)方形薄片的邊長(zhǎng)為 與 ，質(zhì)量為 ，求此長(zhǎng)方形薄片繞其對(duì)角線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,設(shè)薄片的厚度為t,密度為,(1),將(2)式代入(1)式得,得

6、,得,方法三 取慣量主軸為坐標(biāo)軸,得,結(jié)論：取慣量主軸為坐標(biāo)軸來(lái)計(jì)算薄片繞對(duì)角線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最簡(jiǎn)便。,由剛體對(duì)定點(diǎn)o的動(dòng)量矩定理,(1),建立剛聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標(biāo)系oxyz,(2),(3),其中，,(4),3.8剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué),聯(lián)合歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,(5),(6),定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的機(jī)械能守恒,選慣量主軸坐標(biāo)系,作業(yè)-5,定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)P177 3.20；3.22；3.23（選作）,1、剛體的各種運(yùn)動(dòng),第三章 小 結(jié),運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：1）剛體的質(zhì)心始終位于同一個(gè)平面上。2）剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線(xiàn)上各點(diǎn)具有完全相 同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。3）剛體內(nèi)平行于固定平面的各平面有相同的運(yùn)動(dòng)特征。,12、平面平行運(yùn)動(dòng),a.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,如圖所示，取質(zhì)心所在的平面為研究對(duì)象，任取一點(diǎn)A為基點(diǎn)（一般取質(zhì)心）。則P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為, 基點(diǎn)A可以任意取, 基點(diǎn)A的平動(dòng)量（ ）因基點(diǎn)而異；繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)的角量（ ）都相同。,b.剛體上任一點(diǎn)P的速度和加速度,剛體上任一點(diǎn)P的速度,剛體上任一點(diǎn)P的加速度,c.運(yùn)動(dòng)學(xué)特例圓柱體的純滾動(dòng),純滾動(dòng)：摩擦力足夠大，接觸點(diǎn)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。,1）純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)：,運(yùn)動(dòng)學(xué)：速度 加速度動(dòng)力學(xué)：,速度投影定理,