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1、第31講平面向量的概念及其線性運(yùn)算,第31講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,第31講知識(shí)梳理,大小,方向,箭頭所指的方向,長度,長度,零,(5)單位向量：長度為的向量叫做單位向量(6)共線向量：的向量叫共線向量，共線向量也叫平行向量，規(guī)定零向量與任何向量共線(7)相等的向量：向量叫相等的向量2向量的加法(1)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法(2)法則：三角形法則，平行四邊形法則 (3)運(yùn)算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).,第31講知識(shí)梳理,1個(gè)長度單位,方向相同或相反,長度相等且方向相同的,3向量的減法(1)定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法(2)法則：三角形法

2、則，平行四邊形法則4實(shí)數(shù)與向量的積(1)定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，規(guī)定：|a|a|，當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向；當(dāng)0時(shí)，a與a平行(2)運(yùn)算律：(a)()a，()aaa，(ab)ab.5向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba，即baba(a0),第31講知識(shí)梳理,相同,相反,探究點(diǎn)1向量的有關(guān)概念,第31講要點(diǎn)探究,例1判斷下列各命題是否正確：(1)零向量沒有方向；(2)若|a|b| ,則a=b；(3)單位向量都相等；(4)向量就是有向線段；(5)兩相等向量若共起點(diǎn)，則終點(diǎn)也相同；(6)若 ab，bc 則ac；(7

3、)若ab，bc，則ac；,第31講要點(diǎn)探究,(8)若四邊形ABCD是平行四邊形，則(9)ab的充要條件是|a|b|且ab.,【思路】 正確理解向量的有關(guān)概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明,【解答】 (1)不正確，零向量方向任意；(2)不正確，只能說明模相等，還有方向；(3)不正確，單位向量的模為1，方向很多；(4)不正確，有向線段是向量的一種表示形式；(5)正確；(6)正確，向量相等有傳遞性；(7)不正確，因若b0，則對(duì)不共線的向量a，c也有a0，0c；,(8)不正確，如圖(9)不正確，當(dāng)ab，且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab；,第31講要點(diǎn)探究,【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)于有關(guān)向量基本概

4、念的考查，可以從概念的含義入手，也可以通過舉出反例來排除或否定相關(guān)命題,探究點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算,第31講要點(diǎn)探究,例2 2009湖南卷 如圖311所示，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則(),【思路】 利用相等向量和三角形法則進(jìn)行計(jì)算,第31講要點(diǎn)探究,【點(diǎn)評(píng)】 利用中位線的性質(zhì)得到相等向量和相反向量是解題關(guān)鍵向量的線性運(yùn)算除三角形法則外還有平行四邊形法則，如下題：,【解析】 A得或故選A.,第31講要點(diǎn)探究,變式題 2009山東卷 設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則(),【思路】 由圖形可知：P為AC中點(diǎn),【解析】 B因?yàn)樗渣c(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B.,探究點(diǎn)3共線

5、向量定理的應(yīng)用,第31講要點(diǎn)探究,例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線,【思路】 (1)可證共線(2)待定系數(shù)法求k.,第31講要點(diǎn)探究,【解答】 (1)證明：共線，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線,第31講要點(diǎn)探究,(2)與共線，存在實(shí)數(shù)，使即是不共線的兩個(gè)非零向量，kk10，k210.k1.,【點(diǎn)評(píng)】 利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn)若是兩個(gè)不共線的非零向量，則的充要條件是0.這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛,第31講要點(diǎn)探究,變式題若是兩個(gè)不共線的非零向量，與起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，三向量的終點(diǎn)在同

6、一條直線上？,【思路】 設(shè)出三向量的終點(diǎn)，利用條件列方程組,第31講要點(diǎn)探究,【解答】 設(shè)要使A、B、C三點(diǎn)共線，只需(R)，即有當(dāng)t時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線上,探究點(diǎn)4向量線性運(yùn)算的綜合問題,第31講要點(diǎn)探究,【思路】 數(shù)形結(jié)合,例4 2009全國卷 設(shè)非零向量滿足則()A150 B120C60 D30,【解析】 B由向量加法的平行四邊形法則，知可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且起點(diǎn)處的對(duì)角線長等于菱形的邊長，故選擇B.,第31講要點(diǎn)探究,【點(diǎn)評(píng)】 向量的線性運(yùn)算主要是利用三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)形結(jié)合是必不可少的在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)表示向量的字母順序特點(diǎn)也要熟悉，如下題：,變式題已知A、B、C、P為

7、平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n，使mn，且mn1.,【思路】 題設(shè)條件中向量表達(dá)式未涉及可以利用來轉(zhuǎn)化,第31講要點(diǎn)探究,【解答】 充分性，由mn1，得A、B、C三點(diǎn)共線必要性：由A、B、C三點(diǎn)共線知，存在常數(shù)，使得即取m1，n，mn1，,第31講規(guī)律總結(jié),1本講內(nèi)容概念較多，應(yīng)加深理解，熟練掌握(1)向量的有關(guān)概念：向量、向量的模、零向量、單位向量、平行向量(共線向量)、相等向量、相反向量(2)向量加法與減法：三角形法則，平行四邊形法則，運(yùn)算律及運(yùn)算性質(zhì)(3)向量數(shù)乘的定義及其運(yùn)算律(4)共線向量基本定理的內(nèi)容及應(yīng)用,第31講規(guī)律總結(jié),2數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有關(guān)問題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧3向量共線的充要條件常用來解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問題4關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算的公式和法則在向量范圍內(nèi)并不完全適用，要防止負(fù)遷移,