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1、第第3131講講平面向量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念(1)向量的定向量的定義義：既有又有的量叫做向量：既有又有的量叫做向量(2)表示方法：用有向表示方法：用有向線(xiàn)線(xiàn)段來(lái)表示向量有向段來(lái)表示向量有向線(xiàn)線(xiàn)段的段的表表示示向向量量的的大大小小，用用表表示示向向量量的的方方向向，用用字字母母a，b，或用或用表示表示(3)模：向量的叫向量的模，模：向量的叫向量的模，記記作作|a|或或.(4)零零向向量量：長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為的的向向量量叫叫做做零零向向量量，記記作作0，零零向向量的方向不確定量的方向不確定第第3131講講知識(shí)梳理知識(shí)梳理大小大小方向方向箭箭頭頭所指的方向所指的方向長(zhǎng)長(zhǎng)度度長(zhǎng)長(zhǎng)

2、度度零零(5)單單位位向向量量：長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為的的向向量量叫叫做做單單位位向向量量(6)共共線(xiàn)線(xiàn)向向量量：的的向向量量叫叫共共線(xiàn)線(xiàn)向向量量，共共線(xiàn)線(xiàn)向量也叫平行向量，規(guī)定零向量與任何向量共線(xiàn)向量也叫平行向量，規(guī)定零向量與任何向量共線(xiàn)(7)相相等等的的向向量量：向向量量叫叫相相等等的的向向量量2向量的加法向量的加法(1)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法(2)法則：三角形法則，平行四邊形法則法則：三角形法則，平行四邊形法則(3)運(yùn)算律：運(yùn)算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).第第3131講講知識(shí)梳理1個(gè)長(zhǎng)度單位個(gè)長(zhǎng)度單位方向相同或相反方

3、向相同或相反長(zhǎng)度相等且方向相同的長(zhǎng)度相等且方向相同的3向量的減法向量的減法(1)定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法(2)法則：三角形法則，平行四邊形法則法則：三角形法則，平行四邊形法則4實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積(1)定定義義：實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)與與向向量量a的的積積是是一一個(gè)個(gè)向向量量，記記作作a，規(guī)規(guī)定定：|a|a|，當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí)，a的的方方向向與與a的的方方向向；當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí)，a的方向與的方向與a的方向；當(dāng)?shù)姆较颍划?dāng)0時(shí)，時(shí)，a與與a平行平行(2)運(yùn)算律：運(yùn)算律：(a)()a，()aaa，(ab)ab.5向向量量共共線(xiàn)線(xiàn)定定理理：向向量量b與與非非零零向

4、向量量a共共線(xiàn)線(xiàn)的的充充要要條條件件是是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，使得ba，即，即baba(a0)第第3131講講知識(shí)梳理相同相同相反相反 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念第第3131講講要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究例例1 1判斷下列各命題是否正確：判斷下列各命題是否正確：(1)零向量沒(méi)有方向；零向量沒(méi)有方向；(2)若若|a|b|,則則a=b；(3)單位向量都相等；單位向量都相等；(4)向量就是有向線(xiàn)段；向量就是有向線(xiàn)段；(5)兩相等向量若共起點(diǎn)，則終點(diǎn)也相同；兩相等向量若共起點(diǎn)，則終點(diǎn)也相同；(6)若若 ab，bc 則則ac；(7)若若ab，bc，則，則ac；第第3131講講

5、要點(diǎn)探究(8)若四若四邊邊形形ABCD是平行四是平行四邊邊形，形，則則(9)ab的充要條件是的充要條件是|a|b|且且ab.【思思路路】正正確確理理解解向向量量的的有有關(guān)關(guān)概概念念，以以概概念念為為判判斷斷依依據(jù)據(jù)，或通或通過(guò)舉過(guò)舉反例反例說(shuō)說(shuō)明明【解解答答】(1)不不正正確確，零零向向量量方方向向任任意意；(2)不不正正確確，只只能能說(shuō)說(shuō)明明模模相相等等，還還有有方方向向；(3)不不正正確確，單單位位向向量量的的模模為為1，方方向向很很多多；(4)不不正正確確，有有向向線(xiàn)線(xiàn)段段是是向向量量的的一一種種表表示示形形式式；(5)正正確確；(6)正正確確，向向量量相相等等有有傳傳遞遞性性；(7)不

6、不正正確確，因因若若b0，則則對(duì)對(duì)不不共共線(xiàn)線(xiàn)的向量的向量a，c也有也有a0，0c；(8)不正確，如圖不正確，如圖(9)不不正正確確，當(dāng)當(dāng)ab，且且方方向向相相反反時(shí)時(shí)，即即使使|a|b|，也也不不能得到能得到ab；第第3131講講要點(diǎn)探究【點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】對(duì)對(duì)于于有有關(guān)關(guān)向向量量基基本本概概念念的的考考查查，可可以以從從概概念念的的含含義義入手，也可以通入手，也可以通過(guò)舉過(guò)舉出反例來(lái)排除或否定相關(guān)命出反例來(lái)排除或否定相關(guān)命題題 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量的線(xiàn)性運(yùn)算第第3131講講要點(diǎn)探究例例2 2 2009湖湖南南卷卷 如如圖圖311所所示示，D，E，F(xiàn)分分別別是是 ABC的的邊邊AB，

7、BC，CA的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則則()【思路思路】利用相等向量和三角形法則進(jìn)行計(jì)算利用相等向量和三角形法則進(jìn)行計(jì)算第第3131講講要點(diǎn)探究【點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】利利用用中中位位線(xiàn)線(xiàn)的的性性質(zhì)質(zhì)得得到到相相等等向向量量和和相相反反向向量量是是解解題題關(guān)關(guān)鍵鍵向向量量的的線(xiàn)線(xiàn)性性運(yùn)運(yùn)算算除除三三角角形形法法則則外外還還有有平平行行四四邊邊形形法法則則，如如下題：下題：【解析解析】A得或得或故故選選A.第第3131講講要點(diǎn)探究變式題變式題 2009山東卷山東卷 設(shè)設(shè)P是是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則則()【思路思路】由由圖圖形可知：形可知：P為為AC中點(diǎn)中點(diǎn)【解解析析】B因因?yàn)闉樗砸渣c(diǎn)點(diǎn)P為為

8、線(xiàn)線(xiàn)段段AC的的中點(diǎn)，所以中點(diǎn)，所以應(yīng)該選應(yīng)該選B.探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用第第3131講講要點(diǎn)探究例例3 3設(shè)兩個(gè)非零向量設(shè)兩個(gè)非零向量a與與b不共線(xiàn)，不共線(xiàn)，(1)若若求證：求證：A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)；三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試確定實(shí)數(shù)試確定實(shí)數(shù)k，使，使kab和和akb共線(xiàn)共線(xiàn)【思路思路】(1)可可證證共共線(xiàn)線(xiàn)(2)待定系數(shù)法求待定系數(shù)法求k.第第3131講講要點(diǎn)探究【解答解答】(1)證證明：明：共共線(xiàn)線(xiàn)，又又它它們們有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共三點(diǎn)共線(xiàn)線(xiàn)第第3131講講要點(diǎn)探究(2)與共與共線(xiàn)線(xiàn)，存在存在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，使，使即即是不共是不共線(xiàn)線(xiàn)的兩個(gè)非零向量，的

9、兩個(gè)非零向量，kk10，k210.k1.【點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】利利用用兩兩向向量量共共線(xiàn)線(xiàn)證證明明三三點(diǎn)點(diǎn)共共線(xiàn)線(xiàn)要要強(qiáng)強(qiáng)調(diào)調(diào)有有一一個(gè)個(gè)公公共點(diǎn)若是兩個(gè)不共共點(diǎn)若是兩個(gè)不共線(xiàn)線(xiàn)的非零向量，的非零向量，則則的的充充要要條條件件是是0.這這一一結(jié)結(jié)論論結(jié)結(jié)合合待待定定系系數(shù)數(shù)法法應(yīng)應(yīng)用用非非常常廣廣泛泛第第3131講講要點(diǎn)探究變式題變式題若是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，與起點(diǎn)若是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，與起點(diǎn)相相同同，則則當(dāng)當(dāng)t為為何何值值時(shí)時(shí)，三三向向量量的的終終點(diǎn)點(diǎn)在在同同一條直線(xiàn)上？一條直線(xiàn)上？【思路思路】設(shè)設(shè)出三向量的出三向量的終終點(diǎn)，利用條件列方程點(diǎn)，利用條件列方程組組第第3131講講要點(diǎn)探究【解答解答

10、】設(shè)設(shè)要使要使A、B、C三點(diǎn)共三點(diǎn)共線(xiàn)線(xiàn)，只需，只需(R)，即即有有當(dāng)當(dāng)t時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線(xiàn)上 探究點(diǎn)探究點(diǎn)4 4向量線(xiàn)性運(yùn)算的綜合問(wèn)題向量線(xiàn)性運(yùn)算的綜合問(wèn)題第第3131講講要點(diǎn)探究【思路思路】數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合例例4 4 2009全國(guó)卷全國(guó)卷 設(shè)設(shè)非零向量非零向量滿(mǎn)滿(mǎn)足足則則()A150 B120C60 D30【解解析析】B由由向向量量加加法法的的平平行行四四邊邊形形法法則則，知知可可構(gòu)構(gòu)成成菱菱形形的的兩兩條條相相鄰鄰邊邊，且且起起點(diǎn)點(diǎn)處處的的對(duì)對(duì)角角線(xiàn)線(xiàn)長(zhǎng)長(zhǎng)等等于于菱菱形形的的邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)，故，故選擇選擇B.第第3131講講要點(diǎn)探究【點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】向向量量的的線(xiàn)線(xiàn)性

11、性運(yùn)運(yùn)算算主主要要是是利利用用三三角角形形法法則則和和平平行行四四邊邊形形法法則則，數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合是是必必不不可可少少的的在在進(jìn)進(jìn)行行運(yùn)運(yùn)算算時(shí)時(shí)表表示示向向量的字母量的字母順順序特點(diǎn)也要熟悉，如下序特點(diǎn)也要熟悉，如下題題：變變式式題題已已知知A、B、C、P為為平平面面內(nèi)內(nèi)四四點(diǎn)點(diǎn)，求求證證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n，使，使mn，且，且mn1.【思思路路】題題設(shè)設(shè)條條件件中中向向量量表表達(dá)達(dá)式式未未涉涉及及可可以以利利用來(lái)用來(lái)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化第第3131講講要點(diǎn)探究【解答解答】充分性，由充分性，由mn1，得，得A、B、C三點(diǎn)共三

12、點(diǎn)共線(xiàn)線(xiàn)必要性：由必要性：由A、B、C三點(diǎn)共三點(diǎn)共線(xiàn)線(xiàn)知，存在常數(shù)知，存在常數(shù)，使得，使得即即取取m1，n，mn1，第第3131講講規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1本本講講內(nèi)容概念內(nèi)容概念較較多，多，應(yīng)應(yīng)加深理解，熟加深理解，熟練練掌握掌握(1)向向量量的的有有關(guān)關(guān)概概念念：向向量量、向向量量的的模模、零零向向量量、單單位位向量、平行向量向量、平行向量(共共線(xiàn)線(xiàn)向量向量)、相等向量、相反向量、相等向量、相反向量(2)向向量量加加法法與與減減法法：三三角角形形法法則則，平平行行四四邊邊形形法法則則，運(yùn)算律及運(yùn)算性運(yùn)算律及運(yùn)算性質(zhì)質(zhì)(3)向量數(shù)乘的定向量數(shù)乘的定義義及其運(yùn)算律及其運(yùn)算律(4)共共線(xiàn)線(xiàn)向量基本定理

13、的內(nèi)容及向量基本定理的內(nèi)容及應(yīng)應(yīng)用用第第3131講講規(guī)律總結(jié)2數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合思思想想是是向向量量加加法法、減減法法運(yùn)運(yùn)算算的的核核心心，向向量量是是一一個(gè)個(gè)幾幾何何量量，是是有有“形形”的的量量，因因此此在在研研究究向向量量的的有有關(guān)關(guān)問(wèn)問(wèn)題題時(shí)時(shí)，一一定定要要結(jié)結(jié)合合圖圖形形進(jìn)進(jìn)行行分分析析判判斷斷求求解解，這這是是研研究究平平面面向向量量最重要的方法與技巧最重要的方法與技巧3向向量量共共線(xiàn)線(xiàn)的的充充要要條條件件常常用用來(lái)來(lái)解解決決三三點(diǎn)點(diǎn)共共線(xiàn)線(xiàn)和和兩兩直直線(xiàn)線(xiàn)平平行行問(wèn)題問(wèn)題4關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算的公式和法關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算的公式和法則則在向量范在向量范圍圍內(nèi)并不內(nèi)并不完全適用，要防止完全適用，要防止負(fù)負(fù)遷移遷移