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1、第5章 靜態(tài)場的解,靜態(tài)場是指場量不隨時(shí)間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時(shí)變電磁場的特例。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個(gè)電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導(dǎo)出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，靜態(tài)場問題可歸結(jié)為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。通常求解這兩個(gè)方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復(fù)變函數(shù)法，它們屬于解析法，而在近似計(jì)算中常用有限差分法。,1. 靜電場、恒定電場 、恒定磁場的基本方程,4. 鏡像法 、分離變量法 、格林函數(shù)法 、 有限差分法,重點(diǎn)：,3. 求解靜態(tài)場位函數(shù)

2、方程的方法所依據(jù)的理論： 對(duì)偶原理、疊加原理、唯一性定理,2. 靜態(tài)場的位函數(shù)方程,5.1 泊松方程和拉普拉斯方程,5.1.1 靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組,對(duì)于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時(shí)間而變化，即與時(shí)間t無關(guān)。因此 ，靜態(tài)場的麥克斯韋方程組為：,電流連續(xù)性方程為：,由上述方程組可知，靜態(tài)場與時(shí)變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨(dú)立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。,1、靜電場的基本方程,靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為,上式表明：靜電場中的

3、旋度為0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。,另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為,靜電場是一個(gè)有源無旋場，所以靜電場可用電位函數(shù)來描述，即,2、恒定電場的基本方程,載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場，即為恒定電場。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時(shí)，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場也是恒定的。,要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。,若一閉合路徑經(jīng)過電源，則：,即電場強(qiáng)度 的線積分等于電源的電動(dòng)勢,若閉合路徑不經(jīng)過電源，則：,這是恒定電

4、場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為,從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個(gè)位場，也可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來描述。,另外：導(dǎo)體中的物態(tài)方程為,3、恒定磁場的基本方程,這是恒定磁場的基本方程。,從以上方程可知，恒定磁場是一個(gè)旋渦場，電流是這個(gè)旋渦場的源，電流線是閉合的。,另外：磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為,恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個(gè)磁場不隨時(shí)間變化，是恒定磁場。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為I，電流密度為 ,則有,靜電場既然是一個(gè)位場，就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的梯度來表示它:,5.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程,1、靜電場的位函數(shù)分布,即,式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為電位函數(shù)。,所以有

5、,對(duì)于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，為常數(shù),即,靜電場的位函數(shù) 滿足的方程。,上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源”的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為 泊松方程。,如果場中某處有=0，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)?在直角坐標(biāo)系中,在圓柱坐標(biāo)系中,在球坐標(biāo)系中,2、恒定電場的位函數(shù)分布,根據(jù)電流連續(xù)性方程 及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率 為一常數(shù)（對(duì)應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有,則有,在無源區(qū)域，恒定電場是一個(gè)位場，即有,這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù) 使得,這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。,3、恒定磁場的位函數(shù)分布,人為規(guī)定,(1) 磁場的矢量位函數(shù),

6、這個(gè)規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范,于是有,此式即為矢量磁位的泊松方程。,恒定磁場是有旋場，即 ,但它卻是無散場， 即 引入一個(gè)矢量磁位 后，由于 ，可得,此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。,在沒有電流的區(qū)域 , 所以有,在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)?(2) 磁場的標(biāo)量位函數(shù),這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，即標(biāo)量磁位函數(shù),注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。,即令,以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就

7、變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對(duì)具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。,5.2 對(duì)偶原理,如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對(duì)偶原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱為對(duì)偶性方程，在對(duì)偶性方程中，處于同等地位的量稱為對(duì)偶量。 有了對(duì)偶原理后，我們就能把某種場的分析計(jì)算結(jié)果，直接推廣到其對(duì)偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。,1、=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電

8、場的對(duì)偶,2、=0區(qū)域的靜電場與 區(qū)域的恒定磁場的對(duì)偶,5.3 疊加原理和唯一性定理,在研究具體的工程電磁場問題時(shí)，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據(jù)實(shí)際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。,5.3.1 邊界條件的分類,給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類：,第一類邊界條件,直接給定整個(gè)場域邊界上的位函數(shù)值,為邊界點(diǎn)S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。,因?yàn)?故上式相當(dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強(qiáng)度的法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。,第二類邊界條件,只給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值,第三類邊界條件,給定邊界上的位函

9、數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合,這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。,5.3.2 疊加原理,若 和 分別滿足拉普拉斯方程，即 和 ,則 和 的線性組合：必然也滿足拉普拉斯方程：式中a、b均為常系數(shù)。,5.3.3 唯一性定理,唯一性定理可敘述為：對(duì)于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時(shí)拉普拉斯方程的解是唯一的。,5.4 鏡象法,鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷來代替或等效實(shí)際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個(gè)相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計(jì)算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實(shí)際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。 一般可以考慮采

10、用標(biāo)量位函數(shù)來計(jì)算這個(gè)由電荷所產(chǎn)生的合成電場，這樣可以避免復(fù)雜的矢量運(yùn)算。當(dāng)然，這就需要假設(shè)鏡象電荷與源電荷共同產(chǎn)生了一個(gè)總的電位函數(shù)，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程。那么，根據(jù)唯一性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位函數(shù)。因此，用鏡象法求解靜電場問題的關(guān)鍵是尋找合適的鏡象電荷，然后再引出位函數(shù)并求解，這是分析很多電磁問題的一種有效方法。,鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷來代替或等效實(shí)際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個(gè)相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計(jì)算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實(shí)際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱為

11、鏡象法。,5.4.1 點(diǎn)電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計(jì)算,如圖取直角坐標(biāo)系，使z=0的平面與導(dǎo)體平面重合，并將+q電荷放在z軸上。這時(shí)整個(gè)電場是靜電場，是由電荷q和導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的。 點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體平面之間的電位必須滿足下列條件： 1、在z=0處， =0，因?yàn)闊o限大的導(dǎo)體平面電位為零；2、在z0的空間里，除了點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)外，處處應(yīng)該滿足：,用唯一性定理可以驗(yàn)證，這個(gè)假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成場 。,如果設(shè)想把無限大導(dǎo)電平板撤去，整個(gè)空間充滿同一種介質(zhì)，并在點(diǎn)電荷q的對(duì)稱位置上，放一個(gè)點(diǎn)電荷-q來代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷。那么在z0空間里任一點(diǎn)p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于

12、源電荷q與鏡象電荷-q所產(chǎn)生的電位之和。 這時(shí)，p點(diǎn)的電位為,1、若將源點(diǎn)電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個(gè)連續(xù)分布的點(diǎn)電荷組成的，用鏡象法同樣可計(jì)算出在z0的空間任一點(diǎn)的電位。,推廣,2、兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點(diǎn)電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解 。,點(diǎn)電荷對(duì)于夾角為垂直的接地兩塊相連導(dǎo)電平面的鏡像:,對(duì)于夾角為 的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問題，只要n為整數(shù)，在區(qū)域內(nèi)的鏡像:,3、無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方在空間中一點(diǎn)P的磁場由電流和鏡象電流共同產(chǎn)生 。,4、當(dāng)天線架設(shè)得比較低時(shí)，通常把地面假設(shè)為無限大的理想導(dǎo)電平面，地

13、面的影響將歸結(jié)為鏡象天線所起的作用 。,5.4.2 電介質(zhì)分界面的鏡象電荷,如圖，如果分界面是介電常數(shù)為1和2的兩種無限大介質(zhì)的邊界平面，在介質(zhì)1中距分界面為h處置有一點(diǎn)電荷q， 則求解介質(zhì)空間中任一點(diǎn)的電場電位分布可以用鏡像法求解。 設(shè)在介質(zhì)1和2內(nèi)的電位函數(shù)分別為1和2。 在介質(zhì)1中，除q點(diǎn)處以外,均有,1是點(diǎn)電荷q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電位函數(shù)。介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在介質(zhì)1中產(chǎn)生的電場可以用處于z0的區(qū)域內(nèi)的一個(gè)鏡像電荷 來等效。在介質(zhì)2中的電場是源電荷通過介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在下半空間作用的結(jié)果, 在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應(yīng)束縛面電荷在下半空間產(chǎn)生

14、的場，則2為：,在介質(zhì)分界面上，場存在的邊界條件是：,則,為了求介質(zhì)1中的場，將整個(gè)空間充滿1介質(zhì)，設(shè)在源電荷q對(duì)稱位置上的鏡像電荷為,即,在介質(zhì)2中，場是由 產(chǎn)生的。將整個(gè)空間看成是充滿介質(zhì)2，則介質(zhì)2中的場由在源點(diǎn)電荷上的象電荷 產(chǎn)生,在介質(zhì)1中，界面上p點(diǎn)的電場強(qiáng)度的切向分量,在介質(zhì)2中，電場是由 產(chǎn)生的。電場強(qiáng)度切向分量為,根據(jù)邊界條件可得,注意：1、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時(shí)將會(huì)改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。2、鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。3、所得電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。4、可以用類似的

15、方法來處理兩種磁介質(zhì)分界面兩邊的磁場計(jì)算問題。,5.4.3 球形邊界問題,1、如圖（page107,圖5.9），接地導(dǎo)體球，半徑為a，在球外與球心相距為d的p點(diǎn)處有一點(diǎn)電荷q，點(diǎn)電荷q將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電荷，球外任一點(diǎn)的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位之和。,設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個(gè)鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導(dǎo)體球內(nèi)。又由于球?qū)ΨQ性，這個(gè)鏡象電荷必然在點(diǎn)電荷q與球心所在的同一條直線上。又由于靠近點(diǎn)電荷q的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在OM線段上，設(shè)在b點(diǎn),OM=b，則位函數(shù)表達(dá)式為,可求出：,可知鏡象電荷與源電荷總

16、是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數(shù)表達(dá)式就確定了。采用鏡象法后，球面外區(qū)域的電位函數(shù)相對(duì)容易計(jì)算。,2、如圖（page108,圖5.10），若導(dǎo)體球不接地，導(dǎo)體球上的靜電荷為0，并且球面電位不為0，但仍保持為等位面，為了滿足導(dǎo)體球上靜電荷為0的條件，還需加入另一鏡象電荷 , 使,即：,球面電位為：,導(dǎo)體球外各點(diǎn)的電位由q, 和 共同產(chǎn)生：,5.4.4 圓柱形邊界問題,一無限長帶電線，電荷密度為 ,與半徑為a的無限長導(dǎo)電圓柱的軸線平行，線與圓柱軸線的距離為d，無限長導(dǎo)電圓柱等效為接地。,利用球形邊界的分析方法：導(dǎo)電圓柱體上的鏡象線電荷為:,鏡象線電荷與圓柱軸線的偏心距離為:,這樣，用鏡象線電荷取代圓柱形導(dǎo)電體，就把問題簡化為了求兩條平行等值異號(hào)線電荷的電位和電場。,5.5 分離變量法,分離變量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，該方法把一個(gè)多變量的函數(shù)表示成為幾個(gè)單變量函數(shù)的乘積后，再進(jìn)行計(jì)算。與完全的數(shù)學(xué)求解不同，針對(duì)具體物理問題使用該方法求解時(shí)，將要結(jié)合一些物理概念進(jìn)行分析求解。 通過分離變量，它將函數(shù)的偏微分方程分解為帶“分離”常數(shù)的幾個(gè)單變量的常微分方程。不同坐標(biāo)