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1、第第2 2章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析2.2 標量格林定理和唯一性定理2.1 邊值問題的分類2.3 穩(wěn)恒電場分析2.5 鏡像法2.6 分離變量法2.4穩(wěn)恒磁場分析2.1 邊值問題的分類u邊值問題的分類 n狄利克雷問題：給定整個場域邊界上的位函數值n聶曼問題：給定待求位函數在邊界上的法向導數值 n混合邊值問題：給定邊界上的位函數及其法向導數的線性組合 u惟一性定理：在給定邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。用反證法可以證明。惟一性定理為某些復雜電磁問題求解方法的建立提供了理論根據。鏡像法就是惟一性定理的直接應用。*2.2 標量格林定理和唯一性定理2.3.1 靜態(tài)場特性1.靜態(tài)場基本概

2、念靜態(tài)場是指電磁場中的源量和場量都不隨時間發(fā)生變化的場。靜態(tài)場包括靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。靜電場是指由靜止的且其電荷量不隨時間變化的電荷產生的電場。恒定電場是指導電媒質中，由恒定電流產生的電場。恒定磁場是指由恒定電流或永久磁體產生的磁場，亦稱為靜磁場。2.3 穩(wěn)恒電場分析2.3.2 穩(wěn)恒場的麥克斯韋方程組穩(wěn)恒場與時變場的最本質區(qū)別：穩(wěn)恒場的電場和磁場是彼此獨立存在的。積分形式？1.靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程2.3.3 位函數及泊松方程 靜電場基本方程靜電場是有散(有源)無旋場，是保守場。泊松方程拉普拉斯方程無源區(qū)域*恒定電場的拉普拉斯方程恒定電場基本方程導電媒質

3、中的恒定電場具有無散、無旋場的特征，是保守場拉普拉斯方程u拉普拉斯算子直角坐標系圓柱坐標系球坐標系*穩(wěn)恒場的重要原理和定理1.對偶原理(1)概念：如果描述兩種物理現象的方程具有相同的數學形式，并具有對應的邊界條件，那么它們解的數學形式也將是相同的，這就是對偶原理，亦稱為二重性原理。具有同樣數學形式的兩個方程稱為對偶方程，在對偶方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。靜電場(無源區(qū)域)恒定電場(電源外區(qū)域)(2)靜電場與恒定電場對偶方程對偶量(3)靜電場與恒定磁場 對偶方程對偶量(4)有源情況下的對偶關系對偶關系存在不像上述兩種情況那樣一目了然(5)應用電偶極子和磁偶極子輻射的對偶關系，某些波導中橫

4、電波(TE波)和橫磁波(TM波)間的對偶關系 靜電場(無源區(qū)域)恒定磁場(無源區(qū)域)例1:已知無限長同軸電纜內、外半徑分別為 和 （如圖所 示），電纜中填充均勻介質，內外導體間的電位差為 ，外導體接地。求其間各點的電位和電場強度。解：根據軸對稱的特點和無限長的假設，可確定電位函數滿足一維拉普拉斯方程，采用圓柱坐標系積分由邊界條件則：2.3.4求電場力的虛位移法 2.4 穩(wěn)恒磁場分析2.4.1矢量磁位函數 2.4.2庫侖規(guī)范 2.4.3 標量磁位函數 2.4.4 穩(wěn)恒磁場的能量 u鏡像法概念：在一定條件下，可以用一個或多個位于待求場域邊界以外虛設的等效電荷來代替導體表面上感應電荷的作用，且保持原

5、有邊界上邊界條件不變，則根據惟一性定理，空間電場可由原來的電荷和所有等效電荷產生的電場疊加得到。這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。u理論依據：唯一性定理是鏡像法的理論依據。2.5 鏡像法u應注意的問題：鏡像電荷位于待求場域邊界之外。將有邊界的不均勻空間處理為無限大均勻空間，該均勻空間中媒質特性與待求場域中一致。實際電荷(或電流)和鏡像電荷(或電流)共同作用保持原邊界處的邊界條件不變。待求場域：上半空間 邊界：無限大導體平面 邊界條件：導體平面導體平面在空間的電位為點電荷q 和鏡像電荷-q 所產生的電位疊加，即電位滿足邊界條件導體平面邊界上：2.5.1 點電荷對無限大接地平面的鏡

6、像 上半空間的電場強度：電位：導體表面感應電荷 導體表面上感應電荷總量 導體表面上感應電荷對點電荷的作用力u將無限長的線電荷看作無數個點電荷的集合。根據點電荷對無限大接地導體平面的鏡像原理，可得到線電荷對應的鏡像電荷仍為平行于導體表面的線電荷，其電荷密度為u待求場域 中的電位u上半空間的電場2.5.2 線電荷對無限大接地導體平面的鏡像設想用鏡像電荷代替界面上極化電荷的作用，并使鏡像電荷和點電荷共同作用，滿足界面上的邊界條件。當待求區(qū)域為介質1所在區(qū)域時，在邊界之外設一鏡像電荷 q介質1中任一點的電位和電位移矢量分別為：2.5.3點電荷對無限大介質平面的鏡像 當待求區(qū)域為介質2所在區(qū)域時，設一鏡

7、像電荷q位于區(qū)域1中，且位置與 q 重合，同時將整個空間視為均勻介質2。于是區(qū)域2中任一點的電位和電位移矢量分別為：在分界面(R=R=R)上，應滿足電位和電位移矢量法向分量相等的邊界條件：電介質中的電場分布：電介質中的電場分布：n當計算上半空間的磁場時可認為整個空間充滿磁導率為1的磁介質，在下半空間有一鏡像電流I，與I關于分界面對稱(如圖所示)。上半空間任一點的磁場為 設想用鏡像電流代替磁化電流的作用，并在界面上保持原有邊界條件不變2.5.4 線電流對無限大磁介質平面的鏡像n當計算下半空間磁場時可認為整個空間充滿磁導率為2的磁介質，在上半空間有一鏡像電流I，與電流I 位置重合(如圖)。下半空間

8、任一點的磁場為n在分界面(r=r=r)上，磁場滿足邊界條件：討論：(1)當 時，說明 與 方向相同，與 方向相反。(2)當 時，說明 與 方向相反，與 方向相同。(3)當 有限 時，此時鐵磁質中 但 。(4)當 有限 時，此時 中磁場 為原來的兩倍。上半空間的磁場：當 有限 時，磁壁上半空間的磁場：當 有限 時，由兩個半無限大接地導體平面形成角形邊界，當其夾角 為整數時，該角域中的點電荷將有個鏡像電荷，該角域中的場可以用鏡像法求解u當n=2時：u該角域外有3個鏡像電荷q1、q2和q3，位置如圖所示。其中 2.5.5 點電荷對無限大相交導體平面的鏡像u當n=3時：u角域夾角為/n，n為整數時，有

9、(2n1)個鏡像電荷，它們與水平邊界的夾角分別為 un不為整數時，鏡像電荷將有無數個，鏡像法就不再適用了；當角域夾角為鈍角時，鏡像法亦不適用。角域外有5個鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負交替地分布在同一個圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點，半徑為點電荷到頂點的距離。u設一點電荷q位于半徑 a 為的接地導體球附近，與球心的距離為d，如圖所示。待求場域為r a區(qū)域，邊界條件為導體球面上電位為零。設想在待求場域之外有一鏡像電荷q，位置如圖所示。根據鏡像法原理，q 和 q在球面上的電位為零。2.5.6 點電荷對導體球面的鏡像點電荷與接地導體球周圍的電場aa在球面上任取一點c，則空間任意

10、點 的電位：導體球不接地：a au導體球不接地：根據電荷守恒定律，導體球上感應電荷代數和應為零，就必須在原有的鏡像電荷之外再附加另一鏡像電荷 q=q 球外任一點電位：球面上任一點電位：為了保證球面為等位面的條件，鏡像電荷q應位于球心處。例3：有一接地導體球殼，內外半徑分別為a1和a2，在球殼內外各 有一點電荷q1和q2，與球心距離分別為d1和d2，如圖所示。求：球殼外、球殼中和球殼內的電位分布。u球殼外：邊界為r=a2的導體球面，邊界條件為根據球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為球殼外區(qū)域任一點電位為 解：u球殼內：邊界為r=a1的導體球面，邊界條件為根據球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和

11、大小分別為球殼內區(qū)域任一點電位為 u球殼中：球殼中為導體區(qū)域，導體為等位體，球殼中的電位為零。用鏡像法解題時，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對邊界以外的情況不予考慮。u待求區(qū)域：u邊界條件：柱面上電位為零設想鏡像線電荷 位于對稱面上，且與圓柱軸線距離為b，則導體柱面上任一點的電位表示為其中：2.5.7 線電荷對導體圓柱面的鏡像兩平行線電荷的電位分布在柱面上取兩個特殊點M和N，則空間電位為：其中：設想將兩導體圓柱面上的電荷用兩根平行的線電荷等效，線電荷密度分別為 和 ，其位置如圖所示。其等位面是許多圓柱面，若讓其中兩個等位面分別與兩圓柱面重合，即滿足兩導體柱面為等位面的邊界條件。根據惟一性定理

12、，待求區(qū)域中的場就由這兩個等效線電荷產生。2.5.8帶有等量異號電荷的平行長直導體圓柱間的鏡像兩電軸在空間產生的電位為等位面方程為n通常把這兩個等效的線電荷稱為電軸，該方法也稱為電軸法例4：圖為一偏心電纜，內導體半徑為a，外導體半徑為b，兩幾何軸線間距離為d，求兩等效電軸的位置。只要能求出假想電軸的位置，使兩個導體圓柱面分別和電場中兩個等位面重合，就滿足了導電圓柱面為等位面的邊界條件。根據電軸法n兩等效電軸的位置分別位于（c，0）和（c，0）處。u理論基礎u惟一性定理u分離變量法的主要步驟根據給定的邊界形狀，選擇適當的坐標系，正確寫出該坐標系下拉普拉斯的表達式，及給定的邊界條件。經變量分離將偏

13、微分方程化簡為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數。利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數，獲得滿足邊界條件的特解。2.6 分離變量法1.直角坐標系中二維拉普拉斯方程分離變量法u本征方程的求解(1)當 時u本征函數u本征方程u本征值(2)當 時，設或由本征方程為：則：(3)當 時，設由本征方程為：或則：u應用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通解n三種解的特點：第一種解中，X(x)和Y(y)為常數或線性函數，說明它們最多只有一個零點；第二種解中，X(x)為三角函數，有多個零點，Y(y)為雙曲函數，最多只有一個零點；第三種解中，X(x)為雙曲函數，最多有一個零點，而Y(

14、y)為三角函數，有多個零點。解:選直角坐標系，電位函數滿足二維拉普拉斯方程 邊界條件：例5：一接地金屬槽如圖所示，其側壁和底壁電位均為零，頂蓋與側壁絕緣，其電位為U0，求槽內電位分布。設 ，代入式(1)中得:根據邊界條件(2)與(3)可知，函數X(x)沿x方向有兩個零點，因此X(x)應為三角函數形式，又因為X(0)=0，所以X(x)應選取正弦函數，即由邊界條件(3)得：對應的Y(y)函數為雙曲函數，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式為此時，電位可表示為由邊界條件(5)知 其中：對上式兩邊同乘以 ，再對x從0到a進行積分，即滿足邊界條件的特解為：例6:一矩形區(qū)域邊界條件如圖所示，求區(qū)域內的電位分

15、布。解:從圖可見，在 x=0 和 x=a 的兩個邊界上出現非零情況，將原問題分解為如圖所示兩種邊界條件情況。令(1)求 ：類似于“例5”求解過程，形式為：由非零邊界條件確定則：可見，當m3時，當m3時：(2)求求 ：其解為：由非零邊界條件得則：2.直角坐標系中三維拉普拉斯方程分離變量法根據本征值的不同取值，可以得到類似于二維情況的解的形式。u為了在給定邊界條件下，選取適當的通解函數形式，教材表4-5中給出了一些 的典型組合。表中 和 是由邊界條件確定的實數。解:選直角坐標系，電位函數滿足三維拉普拉斯方程及邊界條件例7:求圖示長方形體積內的電位函數。由邊界條件可以判斷，特征函數可表示為：由邊界條

16、件可得：電位函數可表示為：由本征值關系可得：則：最后，由最后一個邊界條件得：上式兩端同乘以 ，并對x,y積分，利用三角函數正交性可得：于是所求的電位函數為：3.3.圓柱坐標系中的分離變量法圓柱坐標系中的分離變量法 該方程的解常用的有四種情況該方程的解常用的有四種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有三種情況該方程的解有三種情況u 的解：的解：(1)當時，(2)當時，由于，限定了n必須為正整數。，(2)當時，設 為任意非零實數。(3)當 時，設，為任意非零實數。時，(1)當u 的的解解:u 的解的解(1)當時，方程化簡為零階貝塞爾方程，其解的形式為(2)當時，方程化簡為歐拉方程，其解的形式為(3)當時，方程的解為(4)當時，方程的解為n階貝塞爾方程階貝塞爾方程例8：在一均勻電場中，放置一無限長的圓柱導體，圓柱的軸線與電場強度的方向垂直，如圖所示，求放入圓柱導體后的電場分布。解：按題意應選用圓柱坐標系。導體為等位體，導體內部不存在電場，因而根據題意可確定，的形式為當時，對應的函數的形式為于是，電位的形式為：放置圓柱導體之后，使均勻場發(fā)生畸變，但遠離導體的地方，電場仍然保持