第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 3.1 基本內容概述 靜態(tài)電磁場包括靜電場、恒定電場和恒定磁場。本章分別討論了它們的基本方程和邊界條件，位函數，能量和力，電容、電阻和電感，最后介紹靜態(tài)場邊值問題的幾種解法（鏡像法、分離變量法和有限差分法）。 3.1.1靜電場 1.基本方程和邊界條件 基本方程的微分形式 基本方程的積分形式 邊界條件 或 （3.5） 或 （3.6） 2.電位函數 （1）電位函數及其微分方程 根據電場的無旋性（），引入電位函數，使 （3.7） 電位函數與電場強度E的積分關系是 （3.8） 在均勻、線性和各向同性電介質中，已知電荷分布求解位函數 點電荷 （3.9） 體密度分布電荷 （3.10） 面密度分布電荷 （3.11） 線密度分布電荷 （3.12） 在均勻、線性和各向同性電介質中，電位函數滿足泊松方程 （3.13） 或拉普拉斯方程（時） （3.14） （2）電位的邊界條件 （3.15a） （3.15b） 3. 電場能量和電場力 （1）能量及能量密度 分布電荷的電場能量 （3.16） 多導體系統(tǒng)電場能量 （3.17） 能量密度為 （3.18） （2）電場力 用虛位移法求電場力 （3.19a） （3.19b） 4.電容及部分電容 在線性和各向同性電介質中，兩導體間的電容為 多導體系統(tǒng)，每個導體的電位不僅與本身所帶的帶有關，還與其它導體所帶電荷有關。為表征這種關聯(lián)性，引入部分電容的概念，分為自有部分電容和互有部分電容。 3.1.2 恒定電場 1.基本方程和邊界條件 基本方程的微分形式 基本方程的積分形式 邊界條件： 或 （3.22a） 或 （3.22b） 用電位表示為 （3.23a） （3.23b） 2.靜電比擬法 均勻導電媒質中的恒定電場（電源外部區(qū)域）與均勻電介質中的靜電場（的區(qū)域）可以相互比擬。根據這種可比擬性，可以利用已經得到的靜電場的解來比擬地得到對應的恒定電場的解。 3.電導 導電媒質中兩電極間的電導為 3.1.3 恒定磁場 1.基本方程和邊界條件 基本方程 微分形式 積分形式 邊界條件 或 （3.26a） 或 （3.26b） 2.矢量磁位 （1）矢量磁位及其微分方程 根據恒定磁場的無源性（），引入矢量磁位A，使得 （3.27） 在均勻、線性和各向同性磁介質中，已知電流求解矢量磁位 體分布電流 （3.28） 面分布電流 （3.29） 線電流 （3.30） 在均勻、線性和各向同性磁介質中，矢量磁位滿足泊松方程 （3.31） 或拉普拉斯方程（時） （3.32） （2）矢量磁位的邊界條件 （3.33a） （3.33b） 3.標量磁位 在沒有傳導電流的區(qū)域（）由于，可引入標量磁位，使得 （3.34） 在均勻、線性和各向同性磁介質中，標量磁位滿足拉普拉斯方程 （3.35） 在兩種磁介質的分界面上，標量磁位的邊界條件是 （3.36a） （3.36b） 4.磁場能量和磁場力 （1）能量和能量密度 多個電流回路的能量 （3.37） 分布電流的能量 （3.38） 能量密度 （3.39） （2）磁場力 用虛位移法求磁場力 （3.40a） （3.40b） 5.電感 回路的自感 （3.41） 回路的互感 ， （3.42） 紐曼公式 （3.43） 3.1.4 邊值問題及其解的惟一性 1.邊值問題的類型 第一類邊值問題：已知位函數在場域邊界上的值。 第二類邊值問題：已知位函數在場域邊界上的法向導數。 第三類邊值問題：已知在部分場域邊界上的位函數值和另一部分場域邊界上的位函數法向導數。 2 .惟一性定理 在場域V的邊界面S上給定位函數或的值，則位函數的泊松方程或拉普拉斯 方程在場域V內有惟一解。 3.1.5 鏡像法 1.點電荷（或線電荷）對無限大接地導體平面的鏡像法 ， （3.44） 2.點電荷對導體球面的鏡像法 （1）導體球接地 （3.45） （2）導體球不接地 （3.46） 3.線電荷對接地導體圓柱面的鏡像法 （3.47） 4.介質分界平面的鏡像法 （1）點電荷對電介質分界平面的鏡像 （場點在介質1內） （3.48a） （場點在介質2內） （3.48b） （2）線電流對磁介質分界平面的鏡像 （3.49a） （3.49b） 3.1.6 分離變量法 1.直角坐標系中的分離變量法 位函數滿足拉普拉斯方程 方程的通解 （3.50a） 或 （3.50b） 2.圓柱坐標系中的分離變量法 位函數滿足拉普拉斯方程 方程的通解 （3.51） 3.球面坐標系中的分離變量法 位函數滿足拉普拉斯方程 方程的通解 （3.52） 3.1.7 有限差分法 有限差分法的基本思想是將場域劃分成網格，把求解場域內連續(xù)的場分布，用求解網格節(jié)點上離散的數值解來代替，即用網格節(jié)點的差分方程近似替代場域內的偏微分方程來求解。 采用正方形網格劃分時，二維拉普拉斯方程的差分格式為 （3.53） 3.2 教學基本要求及重點、難點討論 3.2.1 教學基本要求 掌握靜電場的基本方程和邊界條件，掌握靜電場中的電位函數及其微分方程，掌握電位的邊界條件；理解電場能量和能量密度的概念，會計算一些典型場的能量，會計算典型雙導體的電容。 掌握恒定電場的基本方程和邊界條件，了解靜電比擬法，會計算典型導體的電阻。 掌握恒定磁場的基本方程和邊界條件，理解矢量磁位及其微分方程，了解標量磁位的概念。理解磁場能量和能量密度，會計算一些典型場的磁場能量，會計算典型回路的電感。 理解靜電場的惟一性定理及其重要意義。 掌握鏡像法的基本原理，會用鏡像法求解一些典型問題。 了解分離變量法的基本思想和解題步驟，能夠用分離變量法求解直角坐標系中的一些簡單的二維問題。 3.2.2 重點、難點討論 1.靜電場的基本方程 靜電場的基本方程揭示了靜電場的基本性質，是分析計算靜電場問題的基礎。 （1）靜電場的基本方程有積分形式和微分形式兩種表示。積分形式的基本方程描述某個區(qū)域內靜電場的整體性質，例如表示穿過任一閉合面S的電位移矢量D的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的總量，與束縛電荷無關。微分形式的基本方程描述場中每一點的性質例如表明場中某點D的散度等于該點的自由體電荷密度。 （2）高斯定律及其微分形式表明靜電場是有源場（有通量源），電荷是產生靜電場的源；電力線從正電荷出發(fā)，終止于負電荷。環(huán)路定理及其微分形式表明靜電場是無旋場（無旋渦源），是保守場。 （3）在不同媒質的邊界面上，場矢量E和D一般是不連續(xù)的，和失去意義。所以，微分形式的基本方程在邊界面上不再適用，而積分形式的基本方程仍然適用。 2.電位 電位是靜電場中的一個重要概念。在課程教學中，應注意以下幾點： （1）電位的定義雖然是從靜電場的無旋性引入的，但它有明確的物理意義，它表示在電場中，將單位正電荷從P點移動到參考點Q時電場力所作的功。表示為 （2）點電荷的電位計算公式為我們提供了對任何所要計算的場點r處電位的一種方法。對于點電荷系，利用公式（3.9）求得所有點電荷在場點r處產生的電位，再由求得電場矢量E。顯然比直接計算各點電荷的電場矢量之和要容易些，這也是引入電位的優(yōu)越性之一。 如果源電荷是連續(xù)分布的，則可以利用公式（3.10）、（3.11）和（3.12）來計算電位。 （3）計算電位的公式（3.9）～（3.12）中保留了一定程度的不確定性。也就是說，電位總是包含有一個任意的附加常數，且可以對該常數任意賦值，而不會改變原問題的基本性質。因為與有相同的結果。 （4）電位是一個相對量，在電場一定的情況下，空間各點的電位值，與參考點的選擇密切相關。如何選擇電位參考點？一般應考慮到以下幾點：首先，電位參考點的選擇有一定的任意性。因此可以選擇適當的參考點，使電位表示式具有最簡單的形式。例如，點電荷的電位，若選無限遠處為參考點，則得；若選距離點電荷處為參考點，表達式則為。通常就是選擇無限遠處為電位參考點。其次，電位參考點的選擇不是完全不受限制的。為了能應用電位來描述電場各點的特性，在選擇參考點后，場中各點的電位應有確定的值。具體來說有以下四種限制：一是不能選擇點電荷所在點為電位參考點，否則會使場中各點電位為無窮大，這是沒有意義的。二是只有當電荷分布在有限區(qū)域時，才可以選擇無限遠處為電位參考點。三是對一些具有軸對稱性的問題通常也不能選擇無限遠處為電位參考點，而是選擇半徑的圓柱面作為電位參考點。例如，對于同軸線問題可選擇外導體作為電位參考點。四是同一問題只能選定一個電位參考點。 在實際的電位測量中，通常選擇“地”作為電位參考點。 （5）在靜電場中，電位相等的點組成的面稱為等位面。一旦求得電位函數，就可得出等位面，這樣就可應用等位面族形象地描述靜電場。例如，點電荷產生的電場的等位面，是一個以點電荷所在點為中心的同心球面族。（以無限遠處為電位參考點）。 （6）利用公式（3.10）、（3.11）或（3.12）計算電位，有時是困難的。我們可以通過求解泊松方程或拉普拉斯方程來得到電位解。 3.靜電場能量 靜電場的基本特性表現為它對靜止電荷有作用力，說明靜電場有能量。對于常用的靜電場能量的幾種表示式應注意以下幾點： （1）表示點電荷系的互有能，式中的是除外的其余點電荷在處產生的電位，這個互有能也是該點電荷系的總靜電能。 （2）表示連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量計算公式，雖然只有電荷密度不為零的區(qū)域才對積分有貢獻，但不能認為靜電場能量只儲存在有電荷區(qū)域。此公式只能應用于靜電場。 （3）表示靜電場能量儲存在整個電場區(qū)域中，所有的區(qū)域都對積分有貢獻，稱為電場能量密度。公式既適用于靜電場，也適用于時變電磁場。 4.靜電場問題的求解 靜電場問題可分為兩大類：分布型問題和邊值型問題。已知電荷分布，求場分布，或已知電場分布，求電荷分布，這屬于分布型問題。求解的方法有： （1）直接利用電場強度的計算公式（2.11）～（2.14），由已知的電荷分布求出電場強度。當然，只有對一些電荷分布較簡單的情況，這種方法才易于進行。 （2）直接利用電位函數的計算公式（3.9）～（3.12），由已知的電荷分布求得電位，再由求得電場求得E。 （3）應用高斯定理求解對稱分布的電場。 當電場分布具有某種空間對稱性（譬如平面對稱、軸對稱、球對稱等）時，就可找到一個高斯面，使該面上的電場等于常數，這樣就很便捷地求得場分布。 對于一些非對稱分布的場，有時可將其劃分為若干個對稱場分別利用高斯定理求解，然后再疊加。 a b 圖3.1 a b 圖3.2 當存在兩種不同介質的分界面時，有兩種情況也適合用高斯定律求解。第一種是在介 質分界面上，電場強度E只有法向分量，這時電位移矢量D呈對稱分布，就可直接利用求得D，再由求得E。例如，圖3.1所示的半徑分別為a和b的同心球殼之間有兩層介質，此時D具有球對稱性，可直接利用據已知電荷分布求得D。第二種是在介質分界面上，E只有切向分量。根據電場邊界條件應有，但，即E呈對稱分布。此時，利用，，，將變?yōu)榧纯汕蟮肊。例如，圖3.2所示的同心球殼之間，兩種介質分別填充了一半的空間，此時有，即E呈球對稱分布，應用上述轉換即可求得E。 （4）已知電場或電位分布，求電荷分布，可利用或求得體電荷密度；利用求得極化電荷體密度。利用邊界條件求得導體表面的自由電荷面密度或介質表面的極化電荷面密度。 根據給定的邊界條件求解空間任一點的電位，這就是邊值問題。求解邊值型問題的方法有： 直接積分法——對于一維的拉普拉斯方程或泊松方程進行直接積分，根據已知邊界條件確定積分常數。 分離變量法——求解二維、三維的的經典方法。 鏡像法——一種間接求解法。 有限差分法、有限元法、矩量法、邊界元法等——這一類屬于數值法。 5.靜電比擬 電荷的流動形成電流。在多數情況下，電荷流動是由于空間存在電場，該電場對電荷的作用力引起電荷的宏觀運動。當電荷流動不隨時間變化時，稱為恒定電流，對應的電場稱為恒定電場。欲在導體中形成恒定電流，必須在導體兩端施加恒定電源。 當我們將研究的范圍限于電源外部的導體中時，恒定電場也是保守場，可用電位梯度來表示。根據惟一性定理，均勻導電媒質中的恒定電場（電源外部）與均勻電介質中的靜電場（的區(qū)域）在滿足一定條件時是可以相互比擬的。有兩方面的應用：其一，恒定電場問題可轉化為相應的靜電場問題求解，或直接利用靜電場問題的結果，比擬地得出對應的恒定電場的解。其二，靜電場問題可通過相應的恒定電流場模型來進行實驗研究。這是因為恒定電流場模型更易于建立和便于測量。 6.恒定磁場的基本方程 恒定磁場的基本方程揭示了恒定磁場的基本性質，是分析計算恒定磁場問題的基礎。 （1）恒定磁場的基本方程有積分形式和微分形式兩種表示。磁通連續(xù)性原理及其微分形式表明恒定磁場是無源場（無通量源），磁感應線是無頭無尾的閉合線。安培環(huán)路定理及其微分形式表明恒定磁場是有旋場（有漩渦源），恒定電流是產生恒定磁場的漩渦源。 （2）恒定磁場基本方程適用于任何磁介質。對于線性和各向同性磁介質，有關系式。 7.矢量磁位 矢量磁位是為了簡化恒定磁場分析而引入的一個輔助矢量，沒有明確的物理意義。其定義的依據是恒定磁場的無源性（） 矢量恒等式表明任何矢量場的旋度的散度恒等于零。因此，我們選擇 式中的A就稱為矢量磁位，它自然滿足磁感應強度B的散度等于零的基本方程，故A的定義具有普遍意義，即任何恒定磁場都可以用A矢量表示。 （1）只規(guī)定了A的旋度，為惟一地確定A還必須規(guī)定A的散度。在恒定磁場分析中，規(guī)定，這樣就將A的微分方程最大限度地簡化為泊松方程。 （2）在直角坐標系中，矢量拉普拉斯運算可以展開為三個分量的標量拉普拉斯運算的矢量和，即 上式右邊的是標量拉普拉斯算符。但在其它坐標系中不存在這樣比較簡單的結果，在圓柱坐標系中僅只對z分量才有 （3）由電流源分布求矢量磁位的直接積分公式是（3.28）～（3.30），從這些公式可看出，電流元的矢量磁位都是與電流元平行的矢量。顯然，通過矢量磁位A來求磁感應強度B，比直接求B來得簡單，特別是在適當選擇的坐標系下，A只有一個分量，而B卻不只一個分量。 （4）矢量磁位的微分方程與靜電位的泊松方程在形式上是相似的,但求解方程要復雜得多。對一些特殊的電流分布，則可將A滿足的泊松方程化為標量方程。例如，電流沿z軸方向流動，即，若求解場域的界面是與z軸平行的柱面，則A也只有z方向的分量，且與z變量無關，即，則方程化為標量泊松方程。 （5）磁通也可以通過矢量磁位A來計算。 即穿過曲面S的磁通量等于A沿次曲面的周界的閉合線積分。通常，由A計算磁通量比由B計算要簡單。 8.恒定磁場問題的求解 求解恒定磁場問題的思路與求解靜電場問題有相同或相似之處。 （1）用直接積分法求解 對由已知的源電流分布，求磁場分布問題，可以利用公式（2.20）～（2.22）進行直接積分求得磁感應強度B，還可以利用公式（3.28）～（3.30）直接積分求得矢量磁位A，再由求得磁感應強度B。 （2）應用安培環(huán)路定律求解磁場 正像在靜電場問題中應用高斯定律求解那樣，如果問題具有足夠的對稱性，我們就可以利用安培環(huán)路定律來求得磁場分布。關鍵的問題是選擇合適的閉合積分路徑，所尋求的積分路徑應該是H在其上具有恒定大小的曲線，以及H平行于（或垂直于）積分路徑的橫切方向的切線。例如，無限長直線電流的磁場、無限大平面電流層的磁場、均勻密繞環(huán)行線圈的磁場等，都可應用安培環(huán)路定律求磁場。 （3）求解A的泊松方程或拉普拉斯方程；或求解標量磁位滿足的拉普拉斯方程。 （4）應用磁場的鏡像法。 9.鏡像法 鏡像法是一種電場問題（也可用于磁場問題）的間接求解法。 （1）鏡像法的基本思想是用位于場域邊界外虛設的較為簡單的鏡像電荷來等效替代該邊界上未知的較為復雜的電荷分布，在保持邊界條件不變的情況下，將分界面移去，這樣就把原來有分界面的非均勻媒質空間變換成無界的單一媒質空間來求解。 （2）鏡像法的理論依據是靜電場解的惟一性定理。在保持導體形狀、尺寸、帶電狀態(tài)，以及媒質特性不變的情況下，滿足泊松方程（或拉普拉斯方程）和邊界條件的解是惟一的。鏡像法巧妙地應用這一原理，針對多種典型的電磁場問題，把復雜問題簡單化，形成了一套有效的解法。 （3）應用鏡像法的兩個要點：一是正確找出鏡像電荷的個數、位置以及電荷量的大小和符號，以滿足邊界條件不變?yōu)槠錅蕜t。二是注意保持待求解的場域（稱為有效區(qū)）內的電荷分布不變，即鏡像電荷必須置于有效區(qū)之外。 （4）用鏡像法解題時的幾個注意點： ● 如果邊界面不是單一的平面、球面或圓柱面，而是它們的組合邊界面，此時設置一個鏡像電荷就不可能滿足邊界條件而必須再設置鏡像電荷的鏡像。譬如下面幾個典型例子：圖3.3所示的在無限大接地導體平面上凸起一個半球面時的鏡像法，應該有三個鏡像電荷 ， ， d q x z a 圖3.3(a) d q z x a 圖3.3(b) ， q 圖3.4(b) 圖3.4所示的兩無限大平行接地導體板之間有一點電荷q，用鏡像法求解兩板之間的場分布時，將構成一個連續(xù)鏡像電荷系列。由于鏡像電荷距有效區(qū)越來越遠，當所要求的解答精確度一定時，可以只取有限個數的鏡像電荷（譬如3～4個鏡像電荷）來得到近似解。 d q 圖3.4(a) ● 兩個半無限大導體平面相交構成的劈形區(qū)域，只有交角時，才能用鏡像法求解，此時的鏡像電荷數為（）個。譬如，時，，故有個鏡像電荷，如圖3.5所示。 ● 若，則不能用鏡像法求解。因為此時為滿足邊界面上電位為零的邊界條件，所設置的鏡像電荷必將進入有效區(qū)，這是違背鏡像法的基本原理的。 q 圖3.5(b) q 圖3.5(a) 10.分離變量法 分離變量法是求解邊值問題的一種經典法。在應用分離變量法求解邊值問題時，應注意以下幾點： （1）根據場域邊界的幾何特征，建立適合的坐標系。通常使坐標與場域邊界面相吻合，例如具有球面邊界的問題，應選擇球坐標系；具有圓柱面邊界的問題，應選擇圓柱坐標系。另外，對一些具有對稱性的問題，應結合對稱性來確定坐標軸的取向，盡可能減少電位函數的自變量個數，從而降低方程的維數，以簡化求解，例如，對于在均勻外電場放入一個導體球的問題，應以球心為坐標原點，極軸沿外場方向建立球坐標系。又如，對于導體球附近有一個點電荷的問題，則應以球心為坐標原點，極軸沿球心和點電荷q的連線建立球坐標系。 （2）正確寫出電位函數的通解。當所求場域內存在不同媒質時，應將場域沿媒質分界面劃分成幾個區(qū)域，分別建立各個區(qū)域位函數的拉普拉斯方程，并分別寫出其通解。 （3）正確寫出邊界條件。這里的邊界條件通常包括：場域邊界面上的已知條件、不同媒質分界面上的邊界條件以及無界場域問題中的無限遠處的邊界條件。 3.3 習題解答 題3.1圖 3.1 長度為的細導線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。（1）計算線電荷平分面上任意點的電位；（2）利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場，并用核對。 解 （1）建立如題3.1圖所示坐標系。根據電位的積分表達式，線電荷平分面上任意點的電位為 （2）根據對稱性，可得兩個對稱線電荷元在點的電場為 故長為的線電荷在點的電場為 由求，有 可見得到的結果相同。 3.2 一個點電荷位于點，另一點電荷位于點，求空間的零電位面。 解 兩個點電荷和在空間產生的電位 令，則有 即 故得 此即零電位面方程，這是一個以點為球心、為半徑的球面。 3.3 電場中有一半徑為的圓柱體，已知柱內外的電位函數分別為 （1）求圓柱內、外的電場強度； （