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1、拉格朗日方程復(fù)習(xí)與例題, 拓寬研究領(lǐng)域,矢量動(dòng)力學(xué)又稱為牛頓歐拉動(dòng)力學(xué),牛頓運(yùn)動(dòng)定律由單個(gè)自由質(zhì)點(diǎn) 受約束質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系(以達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ)),歐拉將牛頓運(yùn)動(dòng)定律 剛體和理想流體, 尋求新的表達(dá)形式,將虛位移原理和達(dá)朗貝爾原理綜合應(yīng)用于動(dòng)力學(xué) 建立分析力學(xué)的新體系,拉格朗日力學(xué),考察由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的、具有理想約束的系統(tǒng)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有,令系統(tǒng)有任意一組虛位移,系統(tǒng)的總虛功為,5.3.1 動(dòng)力學(xué)普遍方程,系統(tǒng)的總虛功為,利用理想約束條件,得到, 動(dòng)力學(xué)普遍方程,任意瞬時(shí)作用于具有理想、雙面約束的系統(tǒng)上的主動(dòng)力與慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移上的元功之和等于零。,動(dòng)力學(xué)普遍方程的直角坐標(biāo)形式,動(dòng)力學(xué)普

2、遍方程 適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)。,動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有定常約束的系統(tǒng)，也適用于具有非定常約束的系統(tǒng)。,動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有完整約束的系統(tǒng)，也適用于具有非完整約束的系統(tǒng)。,動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有有勢(shì)力的系統(tǒng)，也適用于具有無勢(shì)力的系統(tǒng)。,動(dòng)力學(xué)普遍方程 主要應(yīng)用于求解動(dòng)力學(xué)第二類問題，即：已知主動(dòng)力求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。, 應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍方程 求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，重要的是正確分析運(yùn)動(dòng)，并在系統(tǒng)上施加慣性力。, 由于 動(dòng)力學(xué)普遍方程 中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統(tǒng)拆開。, 應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍方程 ，需要正確分析主動(dòng)力和慣性力作用點(diǎn)的虛位移，并正確計(jì)

3、算相應(yīng)的虛功。,動(dòng)力學(xué)普遍方程的應(yīng)用,解：1、分析運(yùn)動(dòng)，施加慣性力,2、本系統(tǒng)有一個(gè)自由度，令其有一虛位移 x。,3、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,其中：,例 題 2,離心調(diào)速器,已知：,m1球A、B 的質(zhì)量；m2重錘C 的質(zhì)量；l桿件的長(zhǎng)度； O1 y1軸的旋轉(zhuǎn)角速度。,求：, 的關(guān)系。,解： 不考慮摩擦力，這一系統(tǒng)的約束為理想約束；系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。取廣義坐標(biāo) q = ,1、分析運(yùn)動(dòng)、確定慣性力,球A、B繞 y軸等速轉(zhuǎn)動(dòng)；重錘靜止不動(dòng)。,球A、B的慣性力為,2、令系統(tǒng)有一虛位移。A、B、C 三處的虛位移分別為rA、rB、 rC 。,3、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,根據(jù)幾何關(guān)系，有,3、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,

4、求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圓輪質(zhì)心C2相對(duì)于三棱 柱加速度ar。,解：1、分析運(yùn)動(dòng),三棱柱作平動(dòng)，加速度為 a1。,圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心的牽連加速度為ae= a1 ；質(zhì)心的相對(duì)加速度為ar；圓輪的角加速度為2。,解：2、施加慣性力,解：3、確定虛位移,考察三棱柱和圓盤組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。,第一組,第二組,二自由度系統(tǒng)具有兩組虛位移：,解：4、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,令：,解：4、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,令：,解：5、求解聯(lián)立方程,5.3.2 拉格朗日(Lagrange)方程,主 動(dòng) 力,虛 位 移,廣義坐標(biāo),第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位矢,由動(dòng)力學(xué)普遍方程，得,Qk廣義力,對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo)

5、 qj 求偏導(dǎo)數(shù),如果將位矢對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo) qj 求偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，則得到,第二個(gè)拉格朗日關(guān)系式,此即拉格朗日方程，或稱為第二類拉格朗日方程。,如果作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，根據(jù)有勢(shì)力的廣義主動(dòng)力,引入拉格朗日函數(shù),LTV,得到主動(dòng)力為有勢(shì)力的拉格朗日方程,對(duì)于只具有完整約束、自由度為 N 的系統(tǒng)，可以得到由 N 個(gè)拉格朗日方程組成的方程組。,應(yīng)用拉格朗日方程，一般應(yīng)遵循以下步驟：, 首先，要判斷約束性質(zhì)是否完整、主動(dòng)力是否有勢(shì)，決定采用哪一種形式的拉格朗日方程。, 其次，要確定系統(tǒng)的自由度，選擇合適的廣義坐標(biāo)。, 按照所選擇的廣義坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能或廣義力。, 將動(dòng)

6、能或拉格朗日函數(shù)、廣義力代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程的應(yīng)用,解：1、系統(tǒng)具有一個(gè)自由度， 取 為其廣義坐標(biāo)。,2、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,其中：,3、計(jì)算廣義力：,4、應(yīng)用拉格朗日方程,解：1、系統(tǒng)具有二個(gè)自由度， 取 x、 為其廣義坐標(biāo)。,2、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,其中：,3、計(jì)算廣義力：,(1)令：,(2)令：,4、應(yīng)用拉格朗日方程,解得：,例 題 6,質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l 的均質(zhì)桿AB可以繞A端的鉸鏈在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。A端的小圓輪與剛度系數(shù)為k 的彈簧相連，并可在滑槽內(nèi)上下滑動(dòng)。彈簧的原長(zhǎng)為l0。,求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,k,解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動(dòng)力為有勢(shì)力。,2、系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，廣

7、義坐標(biāo)選擇為q=(x, ), x 坐標(biāo)的原點(diǎn)取在彈簧原長(zhǎng)的下方。,解：3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：不計(jì)彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)的動(dòng)能即為AB桿的動(dòng)能,速度vC的確定,系統(tǒng)的勢(shì)能由彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能所組成，以O(shè)點(diǎn)為共同的勢(shì)能零點(diǎn)：,拉格朗日函數(shù),4、應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動(dòng)力為有勢(shì)力。,2、系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=(x, ), x 坐標(biāo)的原點(diǎn)取在彈簧原長(zhǎng)處。,3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,速度vC的確定,系統(tǒng)的勢(shì)能由彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能所組成：,拉格朗日函數(shù),4、應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動(dòng)力為有勢(shì)力。,2、系統(tǒng)

8、具有兩個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=( , )。,3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：,建立隨質(zhì)心O1平動(dòng)的坐標(biāo)系O1 x1 y1,3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,系統(tǒng)的勢(shì)能：,拉格朗日函數(shù),4、應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,18-3 拉格朗日(Lagrange)方程的初積分,（1）循環(huán)積分（廣義動(dòng)量守恒）,（2）能量積分（廣義能量守恒）,當(dāng) L 函數(shù)不顯含某一廣義坐標(biāo) qj 時(shí)， qj _稱為循環(huán)坐標(biāo)，此時(shí)，有循環(huán)積分：,系統(tǒng)主動(dòng)力有勢(shì)，L 函數(shù)不顯含時(shí)間t ，約束是定常的，即有機(jī)構(gòu)能守恒：,由能量積分得：,因 L 函數(shù)不顯含 ，故 為循環(huán)坐標(biāo)，系統(tǒng)存在循環(huán)積分：,結(jié)論與討論, 達(dá)朗貝爾原理、

9、虛位移原理與 拉格朗日方程, 達(dá)朗貝爾原理在形式上將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題化為靜力學(xué)平衡問題。, 虛位移原理給出了質(zhì)點(diǎn)系平衡的充分與必要條件。, 通過達(dá)朗貝爾原理可以將虛位移原理推廣應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，得到達(dá)朗貝爾拉格朗日方程，即第一類拉格朗日方程，又稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程，用于求解具有理想約束的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)第二類問題，即已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)。,結(jié)論與討論, 第一類拉格朗日方程，即達(dá)朗貝爾拉格朗日方程，又稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。,達(dá)朗貝爾拉格朗日方程適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)。,達(dá)朗貝爾拉格朗日方程既適用于具有定常約束的系統(tǒng)，也適用于具有非定常約束的系統(tǒng)。,達(dá)朗貝爾拉格朗日方程既適用于具有完整約束的系統(tǒng)，也適用于具有非完整約束的系統(tǒng)。,達(dá)朗貝爾拉格朗日方程既適用于具有有勢(shì)力的系統(tǒng)，也適用于具有無勢(shì)力的系統(tǒng)。,結(jié)論與討論, 第二類拉格朗日方程:僅用動(dòng)能、勢(shì)能以及廣義主動(dòng)力等少數(shù)幾個(gè)標(biāo)量便可描述復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。但只能用于具有完整約束的系統(tǒng)。,基本形式,主動(dòng)力有勢(shì)形式,結(jié)論與討論,結(jié)論與討論,（1）循環(huán)積分（廣義動(dòng)量守恒）,（2）能量積分（廣義能量守恒）,