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1、由蓮山課件提供 資源全部免費(fèi) 北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(上冊)各章知識點(diǎn) 第一章 特殊平行四邊形 第二章 一元二次方程 第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識 第四章 圖形的相似 第五章 投影與視圖 第六章 反比例函數(shù) 第一章 特殊平行四邊形 1.1 菱形的性質(zhì)與判定 菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對 角線平分一組對角。 菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。 菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 四條邊都相等的四邊形是菱形。 1.2 矩形的性質(zhì)與判定

2、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。 矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個(gè)角都是直角。（矩形是軸對稱 圖形，有兩條對稱軸） 矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。 對角線相等的平行四邊形是矩形。 四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。 推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 由蓮山課件提供 資源全部免費(fèi) 1.3 正方形的性質(zhì)與判定 正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。 正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形， 有兩條對稱軸） 正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形； 鄰

3、邊相等的矩形是正方形； 對角線相等的菱形是正方形； 對角線互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖 3 所示)： 梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對角線相等。 同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。 夾在兩條平行線間的平行線段相等。 在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半 第二章 一元二次方程 2.1 認(rèn)識一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程 2.3

4、用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟與系數(shù)的關(guān)系 2.6 應(yīng)用一元二次方程 只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為 （a、b、c 為 02cbxa 常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 一組鄰邊相等 一組鄰邊相等且一個(gè)內(nèi)角為直角 （或?qū)蔷€互相垂直平分） 一內(nèi)角為直角 一鄰邊相等 或?qū)蔷€垂直 一個(gè)內(nèi)角為直角 （或?qū)蔷€相等） 鵬翔教圖 3 由蓮山課件提供 資源全部免費(fèi) 把 （a、b、c 為常數(shù)，a0）稱為一元二次方程的一般形式，a 為二次項(xiàng)2x 系數(shù)；b 為一次項(xiàng)系數(shù)；c 為常數(shù)項(xiàng)。 解一元二次方

5、程的方法：配方法 0)(2mx 公式法 （注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式）acbx24 分解因式法 把方程的一邊變成 0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式； 將二次項(xiàng)系數(shù)化成 1； 把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊； 兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方； 把方程轉(zhuǎn)化成 的形式； 0)(2mx 兩邊開方求其根。 根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng) b 2-4ac0 時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng) b 2-4ac=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng) b 2-4ac0 時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。 如 果 一 元 二

6、次 方 程 的 兩 根 分 別 為 x 1、 x 2， 則 有 ：02cba 。xax2121 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根 x 1、x 2 的對稱式的值，特別注意以下公式： 2121)(x 2121xx2121214)(x 21)(| xx |)|(2121x 其他能用 或 表達(dá)的代數(shù))(3)(21232 xx 21x1 式。 （3）已知方程的兩根 x 1、x 2，可以構(gòu)造一元二次方程： 0)(21221 （4）已知兩數(shù) x 1、x 2 的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根0)(2 由蓮山課件提供

7、資源全部免費(fèi) 在利用方程來解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況 只要設(shè)問題為 x；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；尋找等量 關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方 程）。 處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為： 解 答檢 驗(yàn)求 解方 程抽 象分 析問 題 第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識 3.1 用樹狀圖或表格求概率 3.2 用頻率估計(jì)概率 在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)； 每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即： 實(shí) 驗(yàn) 次 數(shù)頻 數(shù)數(shù) 據(jù) 總 數(shù)頻 數(shù)頻 率 在頻率分布直方圖中，由于

8、各個(gè)小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于 1。因此，各個(gè)小長方形的面積的和等于 1。 頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后 者直觀。 用一件事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。 可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。 假設(shè)布袋內(nèi)有 m 個(gè)黑球，通過多次試驗(yàn)，我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白 球的概率； 要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上 100 條魚做記號，再放回池塘，之后再 從池塘中捉上 200 條魚，如果其中有 10 條魚是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有 x 條魚，則可依 照 估算出魚的條數(shù)。（注意估算

9、出來的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之“約是201 XX”） 生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事 件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會(huì)發(fā)生。 概率的求法： （1）一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有 n 種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等， 事件 A 包含其中的 m 個(gè)結(jié)果，那么事件 A 發(fā)生的概率為 P（A）= nm （2）、列表法 用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 （3）樹狀圖法 通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。 （當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出

10、 由蓮山課件提供 資源全部免費(fèi) 所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。） 第四章 圖形的相似 4.1 成正比線段 4.2 平行線段成比例 4.3 形似多邊形 4.4 探索三角形相似的條件 4.5 相似三角形判定定理的證明 4.6 利用相似三角形測高 4.7 相似三角形的性質(zhì) 4.8 圖形的位似 一. 線段的比 1. 如果選用同一個(gè)長度單位量得兩條線段 AB, CD 的長度分別是 m、n, 那么就說這兩條線段的比 AB:CD=m:n ,或?qū)懗?. nmBA 2. 四條線段 a、b、c、d 中,如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比,即 ,那 dcba 么這四條線段 a、b、c、d 叫做成

11、比例線段,簡稱比例線段. 3. 注意點(diǎn): a:b=k,說明 a 是 b 的 k 倍; 由于線段 a、b 的長度都是正數(shù),所以 k 是正數(shù); 比與所選線段的長度單位無關(guān),求出時(shí)兩條線段的長度單位要一致; 除了 a=b 之外,a:bb:a, 與 互為倒數(shù); ba 比例的基本性質(zhì):若 , 則 ad=bc; 若 ad=bc, 則dcdcba 二. 黃金分割 1. 如圖 1,點(diǎn) C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC,如果 ,那么稱 ACB 線段 AB 被點(diǎn) C 黃金分割,點(diǎn) C 叫做線段 AB 的黃金分割點(diǎn),AC 與 AB 的比叫做 黃金比. 1:68.025:AB 2.黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最

12、令人賞心悅目的點(diǎn). _圖 1 _B_C_A 由蓮山課件提供 資源全部免費(fèi) 四. 相似多邊形 1. 一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形. 2. 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形 對應(yīng)邊的比叫做相似比. 五. 相似三角形 1. 在相似多邊形中,最為簡簡單的就是相似三角形. 2. 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng) 邊的比叫做相似比. 3. 全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于 1. 注意:證兩個(gè)相 似三角形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的 位置上. 4. 相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都

13、等于相似 比. 5. 相似三角形周長的比等于相似比. 6. 相似三角形面積的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的條件 1. 相似三角形的判定方法: 一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延 長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似. 兩角對應(yīng)相等; 兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相 等; 三邊對應(yīng)成比例. 一個(gè)銳角對應(yīng)相等; 兩條邊對應(yīng)成比例: a. 兩直角邊對應(yīng)成比例; b. 斜邊和一直角邊對應(yīng)成比 例. 2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成 比例. 如圖 2, l 1 / l2 / l3,則 . EF BCDA 3.

14、平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的 _圖 2 _F _E _D _C _B _A _l_3 _l_2 _l_1 由蓮山課件提供 資源全部免費(fèi) 三角形與原三角形相似. 八. 相似的多邊形的性質(zhì) 相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方. 九. 圖形的放大與縮小 1. 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一 點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形; 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心; 這時(shí)的相似比又 稱為位似比. 2. 位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比. 3. 位似變換: 變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)

15、,并 且對應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換. 這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心. 一個(gè)圖形經(jīng)過位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形. 利用位似的方法,可以把一個(gè)圖形放大或縮小. 第五章 投影與視圖 5.1 投影 5.2 視圖 三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。 三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視 圖要畫在正視圖的右邊。 主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象 俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象 左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象 視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面(平面或曲面)，而相連的兩個(gè)閉合線框一 定

16、不在一個(gè)平面上。 在一個(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個(gè)小 的平面體（或曲面體）。 在畫視圖時(shí)，看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。 物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。 太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。 探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中 心投影。 區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；觀察影子。 由蓮山課件提供 資源全部免費(fèi) 眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。 從正面、上面、側(cè)面看到的圖

17、形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。 點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)； 線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況： 線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)； 線段平行于投影面時(shí)，投影長度等于線段的實(shí)際長度； 線段傾斜于投影面時(shí)，投影長度小于線段的實(shí)際長度。 平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況： 平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀； 平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段； 平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。 第六章 反比例函數(shù) 6.1 反比例函數(shù) 6.2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì) 6.3 反比例函數(shù)的應(yīng)用 反比例函數(shù)的概念：一般地， （k 為常數(shù)，k0）叫

18、做反比例函數(shù)，即 y 是 x 的反 xky 比例函數(shù)。 （x 為自變量，y 為因變量，其中 x 不能為零） 反比例函數(shù)的等價(jià)形式：y 是 x 的反比例函數(shù) )0(kxy 變量 y 與 x 成反比例，比例系數(shù)為 k.)0(1k)0(kx 判斷兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：按照反比例函數(shù)的定義判斷；看兩 個(gè)變量的乘積是否為定值。（通常第二種方法更適用） 反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線 反比例函數(shù)的畫法的注意事項(xiàng)：反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點(diǎn)法”是不能畫的； 選取的點(diǎn)越多畫的圖越準(zhǔn)確； 畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。 反比例函數(shù)性質(zhì)： 當(dāng) k0 時(shí)，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而減小； 當(dāng) k0 時(shí)，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而增大； 雙曲線的兩支會(huì)無限接近坐標(biāo)軸（x 軸和 y 軸），但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。 反比例函數(shù)圖象的幾何特征:(如圖 4 所示) 點(diǎn) P(x,y)在雙曲線上都有 |21| kxySkxySAOBOAPB 矩 形 PB AO P B A O 圖 4