《2018屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用教師用書理.doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用教師用書理.doc-匯文網(wǎng)（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及倒序相加求和、錯(cuò)位相減求和法；2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法；3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識(shí)解決與前n項(xiàng)和相關(guān)的問(wèn)題。2016，天津卷，18,13分(等差數(shù)列的證明、數(shù)列求和)2016，山東卷，18,12分(數(shù)列通項(xiàng)與求和)2015，北京卷，20,13分(數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合)2015，四川卷，16,12分(等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用)1.本節(jié)以分組法、錯(cuò)位相減、倒序相加、裂項(xiàng)相消法為主，識(shí)別出等差(比)數(shù)列，直接用公式法也是考

2、查的熱點(diǎn)；2.題型以解答題的形式為主，難度中等或稍難。一般第一問(wèn)考查求通項(xiàng)，第二問(wèn)考查求和，并與不等式、函數(shù)、最值等問(wèn)題綜合。微知識(shí)小題練自|主|排|查1公式法與分組求和法(1)公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Snna1d。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn(2)分組求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減。2倒序相加法與并項(xiàng)求和法(1)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法

3、推導(dǎo)的。(2)并項(xiàng)求和法在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和。形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解。例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050。3裂項(xiàng)相消法(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。(2)常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧。4錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的。微點(diǎn)提醒1使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了

4、哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)。2在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解。小|題|快|練一 、走進(jìn)教材1(必修5P47B組T4改編)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an，則S5等于()A1 B.C. D.【解析】an，所以S5a1a2a3a4a51。故選B?！敬鸢浮緽2(必修5P61A組T4(3)改編)12x3x2nxn1_(x0且x1)?！窘馕觥吭O(shè)Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，所以Sn?！敬鸢浮慷?、雙基查驗(yàn)1若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n

5、2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2【解析】Sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22。故選C。【答案】C2若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10()A15 B12C12 D15【解析】an(1)n(3n2)，a1a2a1014710131619222528(14)(710)(1316)(1922)(2528)3515。故選A?！敬鸢浮緼3數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，前n項(xiàng)和為9，則n()A9B99C10 D100【解析】

6、an。Sna1a2a3an(1)()()1。19，即10，n99。故選B?！敬鸢浮緽4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且ann2n，則Sn_?！窘馕觥縜nn2n，Sn121222323n2n。2Sn122223(n1)2nn2n1。，得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12。Sn(n1)2n12?！敬鸢浮?n1)2n125數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)?！窘馕觥縜n(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)(n2)21，所以2，所以的前10項(xiàng)和2。【答案】微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化法求和【典例1】已知數(shù)列an的通項(xiàng)

7、公式是an23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，求其前n項(xiàng)和Sn?！窘馕觥縎n2(133n1)111(1)n(ln2ln3)123(1)nnln3，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2ln33nln31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2(ln2ln3)ln33nln3ln21。綜上所述，Sn【答案】Sn反思?xì)w納1.若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求an的前n項(xiàng)和。2通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和?！咀兪接?xùn)練】(2016北京高考)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4。(1)求an的通項(xiàng)公式；(

8、2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和。【解析】(1)等比數(shù)列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27。設(shè)等差數(shù)列an的公差為d。因?yàn)閍1b11，a14b427，所以113d27，即d2。所以an2n1(n1,2,3，)。(2)由(1)知，an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1。從而數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn13(2n1)133n1n2?！敬鸢浮?1)an2n1(n1,2,3，)(2)n2考點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和【典例2】(2016山東高考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1。(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn。【

9、解析】(1)由題意知當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S111，所以an6n5。設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由得可解得b14，d3。所以bn3n1。(2)由(1)知cn3(n1)2n1。又Tnc1c2cn，所以Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2?！敬鸢浮?1)bn3n1(2)Tn3n2n2反思?xì)w納選擇數(shù)列求和方法的依據(jù)是數(shù)列的通項(xiàng)公式，如該題第(2)問(wèn)中通過(guò)化簡(jiǎn)數(shù)列cn的通項(xiàng)公式可知，其可以寫成一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的乘積形式，故應(yīng)采用錯(cuò)位相減法求和。【變式訓(xùn)

10、練】(2016桐鄉(xiāng)模擬)已知公比q不為1的等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1，前n項(xiàng)和為Sn，且a4S4，a5S5，a6S6成等差數(shù)列。(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)nN*，在an與an1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)的和為bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn?！窘馕觥?1)因?yàn)閍4S4，a5S5，a6S6成等差數(shù)列，所以2(a5S5)a4S4a6S6，即2a63a5a40，即2q23q10(q1)，解得q，故ann。(2)若記插入的n個(gè)數(shù)為xn(n1,2，n)，由(1)及等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式可知x1xnanan1，bnnn，Tn，Tn，得Tn，TnTn?！敬鸢浮?1)a

11、nn(2)Tn考點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和【典例3】(2017開(kāi)封模擬)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*。(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有?！窘馕觥?1)由題意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*。令n1，有S(1213)S13(121)0，可得SS160，解得S13或2，即a13或2，又an為正數(shù)，所以a12。(2)由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*可得，(Sn3)(Snn2n)0，則Snn2n或Sn3，又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)。所以當(dāng)n

12、2時(shí)，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n。又a1221，所以an2n。(3)證明：當(dāng)n1時(shí)，成立；當(dāng)n2時(shí)，所以。所以對(duì)一切正整數(shù)n，有2nn2對(duì)一切nN*恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！窘馕觥?1)因?yàn)閍n1an2(bn1bn)，bn3n5，所以an1an2(bn1bn)2(3n83n5)6，所以an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a11，公差為6，an6n5。(2)因?yàn)閎n2n，所以an1an2(2n12n)2n1。當(dāng)n2時(shí)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12；當(dāng)n1時(shí)，a16，符合上式，所以an2n12。由an2nn2，得。又當(dāng)n2時(shí)，0，所以當(dāng)n1,2時(shí)，取

13、得最大值，故的取值范圍為?！敬鸢浮?1)an6n5(2)微考場(chǎng)新提升1設(shè)等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn首項(xiàng)都是1，公差與公比都是2，則ab1ab2ab3ab4ab5等于()A54 B56C58 D57解析由題意得，an12(n1)2n1，bn12n12n1，ab1ab5a1a2a4a8a16137153157。故選D。答案D2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn26n，則|an|的前n項(xiàng)和Tn()A6nn2 Bn26n18C. D.解析由Snn26n可得，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n26n(n1)26(n1)2n7。當(dāng)n1時(shí)，S15a1，也滿足上式，an2n7，nN*，n3時(shí)，an0；n3時(shí)，an0。當(dāng)n3

14、時(shí)，TnSn6nn2，當(dāng)n3時(shí)，TnSn2S3n26n18。Tn故選C。答案C3已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且當(dāng)n3時(shí)，a4a2n4102n，則數(shù)列l(wèi)ga1,2lga2,22lga3,23lga4，2n1lgan，的前n項(xiàng)和Sn等于()An2n B(n1)2n11C(n1)2n1 D2n1解析等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且當(dāng)n3時(shí)，a4a2n4102n，a102n，即an10n，2n1lgan2n1lg10nn2n1，Sn122322n2n1，2Sn12222323n2n，得Sn12222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1。故選C。答案C4(2017鄭州模擬)整數(shù)數(shù)列an

15、滿足an2an1an(nN*)，若此數(shù)列的前800項(xiàng)的和是2 013，前813項(xiàng)的和是2 000，則其前2 015項(xiàng)的和為_(kāi)。解析由an2an1an，得an2anan1anan1，易得該數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且an2an10，S800a1a22 013，S813a1a2a32 000，依次可得a51 000，a613，由此可知an1an2an3an4an5an60，S2 015S513。答案135在等比數(shù)列an(nN*)中，a11，公比q0，設(shè)bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50。(1)求an的通項(xiàng)an；(2)若cn，求cn的前n項(xiàng)和Sn。解析(1)因?yàn)閎1b3b56，所以log

16、2a1log2a3log2a56，所以log2(a1a3a5)6，所以log2(aq6)6，所以log2(a1q2)2，即b32，a1q24a3。因?yàn)閍11，所以b1log2a10，又因?yàn)閎1b3b50，所以b50log2a5，a51，所以q2，又q0，解得所以an16n125n(nN*)。(2)由(1)知an25n，所以bn5n(nN*)，所以cn，所以Sn(nN*)。答案(1)an25n(nN*)(2)Sn(nN*)微專題巧突破數(shù)列的新定義問(wèn)題先定義一個(gè)(一類)新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義推斷這個(gè)新數(shù)列的一些性質(zhì)或判斷一個(gè)數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問(wèn)題是近年來(lái)高考中逐漸興起的一個(gè)命題方向，這類問(wèn)題

17、形式新穎，常給人耳目一新的感覺(jué)。對(duì)于這類問(wèn)題，我們應(yīng)先弄清問(wèn)題的本質(zhì)，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)常用的方法即可解決?！镜淅吭O(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”。若數(shù)列cn是首項(xiàng)為2，公差為d(d0)的等差數(shù)列，且數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，則d_?！窘馕觥坑深}意可知，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn，前2n項(xiàng)和S2n，所以22，所以當(dāng)d4時(shí)，為非零常數(shù)，則數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，故d4?！敬鸢浮?【變式訓(xùn)練】(1)(2016福建六校聯(lián)考)對(duì)于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n，則數(shù)

18、列an的前2 016項(xiàng)和S2 016()A22 0172B22 0171C22 017 D22 0171(2)(2016衡水中學(xué)檢測(cè))對(duì)于數(shù)列an，定義Hn為an的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列an的“優(yōu)值”Hn2n1，記數(shù)列ankn的前n項(xiàng)和為Sn，若SnS5對(duì)任意的nN*恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)。【解析】(1)由題意知an1an2n，則anan12n1，an1an22n2，a3a222，a2a12，累加求和得ana12n12n22222n2，n2，又a12，所以an2n，則數(shù)列an的前2 016項(xiàng)和S2 01622 0172，故選A。(2)由題意知Hn2n1，所以a12a22n1ann2n1，當(dāng)n2時(shí)，a12a22n2an1(n1)2n，得：2n1ann2n1(n1)2n，解得an2n2，n2，當(dāng)n1時(shí)，a14也滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2，則數(shù)列an為等差數(shù)列，公差為2。令bnankn(2k)n2，則數(shù)列bn也是等差數(shù)列，由SnS5對(duì)任意的nN*恒成立，知2k0，且b5125k0，b6146k0，解得k?！敬鸢浮?1)A(2)