《同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)(第七版)D12習(xí)題課ppt課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)(第七版)D12習(xí)題課ppt課件.ppt（29頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、,習(xí)題課,級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開(kāi),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法,四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù) 展開(kāi)法,一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法,第十二章,(在收斂域內(nèi)進(jìn)行),基本問(wèn)題：判別斂散；,求收斂域；,求和函數(shù)；,級(jí)數(shù)展開(kāi).,為傅立葉級(jí)數(shù).,為傅氏系數(shù)) 時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);,時(shí)為冪級(jí)數(shù);,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性,2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

2、 結(jié)束,3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,為收斂級(jí)數(shù),Leibniz判別法: 若,且,則交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂 ,概念:,且余項(xiàng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 若級(jí)數(shù),均收斂 , 且,證明級(jí)數(shù),收斂 .,證:,則由題設(shè),收斂,收斂,收斂,練習(xí)題: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解答提示:,P257 題2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:,提示: (1),據(jù)比較判別法, 原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,利用比值判別法, 可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.,用比值法, 可判斷級(jí)數(shù),因 n 充分大時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,用比值判別法可知:,時(shí)收斂

3、 ;,時(shí), 與 p 級(jí)數(shù)比較可知,時(shí)收斂;,時(shí)發(fā)散.,再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂 .,時(shí)發(fā)散.,發(fā)散,收斂,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P257 題3. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),和,也收斂 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.,都收斂, 證明級(jí)數(shù),當(dāng)n N 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P257 題4. 設(shè)級(jí)數(shù),收斂 , 且,是否也收斂？說(shuō)明理由.,但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂 .,問(wèn)級(jí)數(shù),提示: 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知,級(jí)數(shù),收斂 ,收斂,級(jí)數(shù),發(fā)散 .,例如, 取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P257 題5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂

4、性與條件收斂性:,提示: (1),P 1 時(shí), 絕對(duì)收斂 ;,0 p 1 時(shí), 條件收斂 ;,0 時(shí), 發(fā)散 .,(2) 因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù),原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,因,單調(diào)遞減, 且,但,所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂 .,由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,因,所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法, 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑 R ,再討論, 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù),通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性 .,P257 題7. 求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:,練習(xí)

5、:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解:,當(dāng),因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散 ,時(shí),時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 .,故收斂區(qū)間為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解: 因,故收斂區(qū)間為,級(jí)數(shù)收斂;,一般項(xiàng),不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2.,解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù),極限不存在, 原級(jí)數(shù) =, 其收斂半徑,注意:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束, 求部分和式極限,三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法,求和, 映射變換法,逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分,對(duì)和式積分或求導(dǎo),直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值,求部分和等, 初等變換法: 分解、套用公式,（在收斂區(qū)間內(nèi)）,

6、 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 求冪級(jí)數(shù),法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,法2,先求出收斂區(qū)間,則,設(shè)和函數(shù)為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,練習(xí):,解: (1),顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,故和函數(shù)為,而在,x0,P258 題8. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：,級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(4),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,顯然 x = 0 時(shí), 和為 0 ;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有,x = 1 時(shí),級(jí)數(shù)也收斂 .,即得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,練習(xí):,解: 原式=,的和 .,P258

7、 題9(2). 求級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開(kāi)法, 直接展開(kāi)法, 間接展開(kāi)法,練習(xí):,1. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)., 利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì), 利用泰勒公式,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法,2. 設(shè), 將 f (x)展開(kāi)成,x 的冪級(jí)數(shù) ,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 函數(shù)的付式級(jí)數(shù)展開(kāi)法,系數(shù)公式及計(jì)算技巧;,收斂定理;,延拓方法,練習(xí):,上的表達(dá)式為,將其展為傅氏級(jí)數(shù) .,P258 題11. 設(shè) f (x)是周期為2的函數(shù),它在,解答提示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考: 如何利用本題結(jié)果求級(jí)數(shù),根據(jù)付式級(jí)數(shù)收斂定理 , 當(dāng) x = 0 時(shí), 有,提示:,P257 6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12,作業(yè),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,