《高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2平面向量的線性運算例題與探究.doc-匯文網(wǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2平面向量的線性運算例題與探究.doc-匯文網(wǎng)（4頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、2.2 平面向量的線性運算典題精講例1已知向量a、b，比較|a+b|與|a|+|b|的大小.思路解析：因為向量包含長度和方向，所以在比較向量長度的大小時，要考慮其方向.解：(1)當(dāng)a、b至少有一個為零向量時，有|a+b|=|a|+|b|；(2)當(dāng)a、b為非零向量且a、b不共線時，有|a+b|a|+|b|；當(dāng)a、b為非零向量且a、b同向共線時，有|a+b|=|a|+|b|；當(dāng)a、b為非零向量且a、b異向共線時，有|a+b|a|+|b|.綠色通道：解答本題可利用向量加法的三角形法則，作出圖形輔助解答；關(guān)鍵是準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，分別處理.變式訓(xùn)練已知向量a，b，討論|a-b|、|a|+|b|和|a

2、|-|b|的大小.思路解析：（1）當(dāng)a、b至少有一個為零向量時，有|a-b|=|a|+|b|=|a|-|b|；（2）當(dāng)a，b為非零向量，且a，b不共線時，有|a|+|b|a-b|a|-|b|；（三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊的向量表示）當(dāng)a，b為非零向量，且a，b同向共線時，|a|+|b|a+b|=|a|-|b|；當(dāng)a，b為非零向量，且a，b異向共線時，|a|+|b|=|a+b|a|-|b|.答案：|a|+|b|a-b|a|-|b|，結(jié)合|a|+|b|a+b|a|-|b|因此有|a|+|b|ab|a|-|b|.例2化簡下列各式：（1）；（2）(4a-3b)+b-(6a-7b

3、).思路分析：對于（1），可以利用三角形法則對向量進(jìn)行分解；對于（2）利用向量線性運算的運算法則化簡.解：（1）+=+(=+)=+=0+2=2.（2）(4a-3b)+ b- (6a-7b)= (4a-3b+b-a+b)=（4-）a+(-3+)b=(a-b)=a-b.綠色通道：向量加法的三角形法則可以推廣為多邊形法則，另一方面可以把任何一個向量用兩個向量的和或差來表示，使用向量的數(shù)乘的結(jié)合律與分配律可以化簡向量式子.變式訓(xùn)練(2006全國高考卷，理9)設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果向量b1、b2、b3，滿足|bi|=2|ai|，且ai順時針旋轉(zhuǎn)30后與bi同向，其中i=

4、1,2,3，則（ ）A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0思路解析：向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.向量a1、a2、a3順時針旋轉(zhuǎn)30后與b1、b2、b3同向，且|bi|=2|ai|，b1+b2+b3=0.答案：D例3已知兩個非零向量e1和e2不共線，且ke1+e2和e1+ke2共線，求實數(shù)k的值.思路分析：因為ke1+e2和e1+ke2是共線向量，所以一定存在實數(shù)，使得ke1+e2=(e1+ke2)成立.解：ke1+e2和e1+ke2共線，存在實數(shù)，使得ke1+e2=(e1+ke2).(k-)e1=(k-1)e2.

5、e1和e2不共線，k=1.綠色通道：本題從正反兩方面運用了向量數(shù)乘的幾何意義，利用共線得到關(guān)于k的方程，用待定系數(shù)法解決問題.變式訓(xùn)練若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.思路分析：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.解：記3m+2n=a m-3n=b 3，得3m-9n=3b. -，得11n=a-3b.n=a-b. 將代入,有m=b+3n=a+b.例4一艘船以5 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30角，求水流速度和船實際速度.思路分析：本題要求的是速度，而速度是向量，因此可以用向量表示速度，然后用向量加法

6、合成速度即可.解：如圖2-2-6，表示水流速度，表示船垂直于對岸方向行駛的速度，表示船的實際速度，AOC=30，|= 5 km/h，圖2-2-6四邊形ABCD為矩形，|=|cot30=，|=10.綠色通道：用向量法解決物理問題的步驟為：(1)用向量表示物理量；(2)進(jìn)行向量運算；(3)回扣物理問題，解決問題.變式訓(xùn)練一架執(zhí)行救災(zāi)任務(wù)的飛機(jī)從A地按北偏西30的方向飛行300 km后到達(dá)B地，然后向C地飛行.已知C地在A地北偏東60的方向處，且A、C兩地相距300 km，求飛機(jī)從B地向C地飛行的方向及B、C兩地的距離.思路分析：首先根據(jù)題意作出圖形，如圖2-2-7，然后由A地確定B、C兩地的方位與

7、距離.圖2-2-7解：根據(jù)題意和圖形，可知BAC=90，|=|=300 km，則可得|=300km；又由于ABC=45,A地在B地東偏南60的方向處，可知C地在B地東偏南15的方向處.所以飛機(jī)從B地向C地飛行的方向為C地在B地東偏南15的方向處.B、C兩地的距離為300 km.問題探究問題1已知n個向量，依次把這n個向量首尾相連.以第一個向量的起點為起點，第n個向量的終點為終點的向量叫做這n個向量的和向量.試探究A1、A2、A3是平面內(nèi)不共線的三點，則等于什么？對于平面上不共線的四點A1、A2、A3、A4上述結(jié)論是否成立？等于什么？導(dǎo)思：求多個向量的和，需要連續(xù)使用三角形法則，這也可以看作是應(yīng)

8、用了多邊形法則.對向量求和的多邊形法則應(yīng)明確：（1）多邊形法則適用于兩個或兩個以上的向量和的計算，三角形法則是多邊形法則的特殊情形；（2）n個向量的和的結(jié)果仍是一個向量；（3）法則的要領(lǐng)是“頭尾相接，頭是頭，尾是尾”，與向量加法的三角形法則相同.探究：由平行四邊形法則可知,=0.類似的，根據(jù)向量求和的多邊形法則有，即=0.對這個結(jié)論的更一般的形式，即n個向量順次首尾相接，組成一條封閉的折線，其和為零向量，也就不難理解了,即=0.問題2三人奪球的游戲的規(guī)則是：在小球上均勻裝上三條繩子，由三人在一水平面上分別拉繩，要求每兩人與球連線夾角相等，得到小球者為勝.現(xiàn)有甲、乙、丙三人玩此游戲，若甲、乙兩人

9、的力量相同，均為a N，試探究丙需要多少力量小球才靜止？若甲、乙兩人的力量不等，則小球有可能靜止嗎？導(dǎo)思：互為相反向量的兩個向量的和為0,在物理中可以理解成兩個力的合力為0.解決本題首先要審好題，能從題目中提煉出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)知識解決，這是解決文字題或應(yīng)用題最關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié).探究：本題主要考查向量加法法則及相反向量的定義.設(shè)甲、乙、丙三人作用于小球的力分別為a、b、c,根據(jù)題意，可知a、b、c三個向量兩兩夾角為120，可先計算a+b，由于|a|=|b|，易求|a+b|=|c|，且a+b平分a、b所成的角，即方向與c相反，要使小球不動，則c=-（a+b），所以丙需要與甲、乙相同的力量，小球就會靜止.若甲、乙兩人力量不等，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，a+b的方向不可能與c相反，也就是說a+b與c不可能是相反向量，所以小球不可能靜止.