《高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例例題與探究.doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例例題與探究.doc-匯文網(wǎng)（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、2.5 平面向量應(yīng)用舉例典題精講例1如圖2-5-1,ABCD是正方形,BEAC,AC=CE,EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證：AF=AE.圖2-5-1思路分析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出、的坐標(biāo),進(jìn)而證明AF=AE.證明：如圖2-5-2,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則A(-1,1),B(0,1).設(shè)E(x,y),則BE=(x,y-1）. =(1,-1).BE,圖2-5-2x(-1)-1(y-1)=0.x+y-1=0.又|=|,x2+y2-2=0.由（y=舍）即E(,).設(shè)F(m,1)，由=(m,1)和CE=(,)共線,得m-=0.解得m=-2-.F(-2-,1), =(-1

2、-,0), =().|=|.AF=AE.綠色通道：把幾何問(wèn)題放入適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中就賦予了有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo),從而進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算,使問(wèn)題得到解決.變式訓(xùn)練已知ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分別是AB、AC的中點(diǎn),D是BC的中點(diǎn),MN與AD交于F,求.思路分析：由已知條件可求出、的坐標(biāo),然后再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)一步求出,進(jìn)而再求出.解：A(7,8),B(3,5),C(4,3)，=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).又D是BC的中點(diǎn),=(+)=(-3.5,-4).又M、N分別是、的中點(diǎn),F為的中點(diǎn).=-=(1.75,2).例2一條河的兩岸平

3、行，河的寬度為d=500 m，如圖2-5-3所示，一艘船從A處出發(fā)航行到河的正對(duì)岸B處，船的航行速度為|v1|=10 km/h，水流速度為|v2|=4 km/h.圖2-5-3(1)試求v1與v2的夾角(精確到1),及船垂直到達(dá)對(duì)岸所用的時(shí)間(精確到0.1 min);(2)要使船到達(dá)對(duì)岸所用時(shí)間最少,v1與v2的夾角應(yīng)為多少?思路解析：船(相對(duì)于河岸)的航行路線不能與河岸垂直.原因是船的實(shí)際航行速度是船本身(相對(duì)于河水)的速度與河水的流速的合速度.解：(1)依題意,要使船到達(dá)對(duì)岸,就要使v1與v2的合速度的方向正好垂直于對(duì)岸,所以|v|=9.2 km/h,v1與v的夾角滿足sin=0.92,又為

4、鈍角,故v1與v2的夾角=114；船垂直到達(dá)對(duì)岸所用的時(shí)間t=60=3.3(min).（2）設(shè)v1與v2的夾角為（如圖2-5-4），圖2-5-4v1與v2在豎直方向上的分速度的和為|v1|sin，而船到達(dá)對(duì)岸時(shí)，在豎直方向上行駛的路程為d=0.5 km，從而所用的時(shí)間為t=，顯然，當(dāng)=90時(shí)，t最小，即船頭始終向著對(duì)岸時(shí)，所用的時(shí)間最少，t=0.05 h=3 min.綠色通道：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確“水速+船速=船的實(shí)際速度”，注意“速度”是一個(gè)向量，既有大小又有方向.結(jié)合向量應(yīng)用的具體問(wèn)題在理解向量知識(shí)和應(yīng)用兩方面下功夫.將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，然后再通過(guò)對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的研究解

5、釋相關(guān)物理現(xiàn)象.變式訓(xùn)練如圖2-5-5，一物體受到兩個(gè)大小均為60 N的力的作用，兩力夾角為60且有一力方向水平，求合力的大小及方向.圖2-5-5解：設(shè)、分別表示兩力，以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB，則就是合力.據(jù)題意，OAC為等腰三角形且COA=30，過(guò)A作ADOC垂足為D，則在RtOAD中，=cos30=60=30,故=2=60.故合力的大小為60 N，方向與水平方向成30角.例3(2006四川高考卷，理7)如圖2-5-6，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是（ ）A. B. C. D.圖2-5-6思路解析：設(shè)邊長(zhǎng)|=a，則P2P1P3=.|=a,=aa=，P2P

6、1P4=,|=2a,=a2a=a2,=0,0,數(shù)量積中最大的是.答案：A黑色陷阱：本題易因找錯(cuò)向量的夾角或數(shù)量積公式用錯(cuò)而出現(xiàn)錯(cuò)誤.平面向量的數(shù)量積作為平面向量的一個(gè)重要內(nèi)容，由于涉及運(yùn)算及能夠同不等式相聯(lián)系，因此是一個(gè)出題熱點(diǎn).預(yù)計(jì)此考點(diǎn)仍將是今后高考命題的熱點(diǎn).變式訓(xùn)練如圖2-5-7,設(shè)四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形,P是O上的任一點(diǎn),求證：|2+|2+|2+|2與P點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).圖2-5-7思路分析：根據(jù)向量的三角形法則表示出、,從而判斷出|2+|2+|2+|2為定值.證明：設(shè)圓的半徑為r.=-,=-,=-,=-.則|2=(-)2=-2+=2r2-2,|2=2r2-2,|2=2r2-2,

7、|2=2r2-2,|2+|2+|2+|2=8r2-2(+)=8r2-20=8r2(定值).|2+|2+|2+|2與P點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).問(wèn)題探究問(wèn)題1一位年輕的父親將不會(huì)走路的小孩的兩條胳膊懸空拎起,結(jié)果造成小孩胳膊受傷,試一試你能用向量知識(shí)加以解釋嗎？導(dǎo)思：這是日常生活中司空見(jiàn)慣的事情，解決這個(gè)題目的關(guān)鍵是首先建立數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決.針對(duì)小孩的兩條胳膊畫(huà)出受力圖形,然后通過(guò)胳膊受力分析,建立數(shù)學(xué)模型：|F1|=,0,，來(lái)確定何種情景時(shí),小孩的胳膊容易受傷.探究：設(shè)小孩的體重為G,兩胳膊受力分別為F1、F2,且F1=F2,兩胳膊的夾角為,胳膊受力分析如圖2-5-8(不記其他因素產(chǎn)生的力

8、),不難建立向量模型：|F1|=,0,當(dāng)=0時(shí)，|F1|=；當(dāng)=時(shí),|F1|=|G|；又(0,)時(shí),|F1|單調(diào)遞增,故當(dāng)(0,)時(shí),F1(,|G|),當(dāng)(,)時(shí),|F1|G|.此時(shí),懸空拎起小孩容易造成小孩受傷.圖2-5-8問(wèn)題2已知一只螞蟻在地面上的一個(gè)三角形區(qū)域ABC內(nèi)爬行，試探究當(dāng)螞蟻爬到這個(gè)三角形區(qū)域的什么位置時(shí)，它到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)間的距離的平方和最?。繉?dǎo)思：像這個(gè)具體問(wèn)題要采用其他的辦法可能是比較困難的.這樣的問(wèn)題在考慮利用向量的知識(shí)來(lái)求解時(shí)，需要注意考慮如何恰當(dāng)?shù)貙⑾嚓P(guān)向量轉(zhuǎn)化為密切相關(guān)的一些向量間的關(guān)系，從而將問(wèn)題解決.探究：本題是一個(gè)應(yīng)用問(wèn)題，首先應(yīng)考慮將題目翻譯為數(shù)學(xué)問(wèn)題：在ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使得最小.設(shè)=a,=b,=t，則=t-a,=t-b,t2+(t-a)2+(t-b)2=3t2-2t(a+b)+a2+b2=3a2+b2-ab，所以當(dāng)=t=，即P為ABC的重心時(shí)，AP2+BP2+CP2=最小.