《2023屆高三數(shù)學一輪復習強化訓練――函數(shù)的奇偶性高中數(shù)學.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2023屆高三數(shù)學一輪復習強化訓練――函數(shù)的奇偶性高中數(shù)學.docx（6頁珍藏版）》請在匯文網上搜索。

1、2023屆高三數(shù)學一輪復習強化訓練精品函數(shù)的奇偶性 根底自測 1.2023福建理，4函數(shù)fx=x3+sinx+1xR，假設fa=2，那么f-a的值為 . 答案02.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，那么f(6)的值為 . 答案03.設偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在-,0上單調遞增，那么f(a+1) f(b+2)(用“，“，“，“填空).答案4.fx=是奇函數(shù)，那么實數(shù)a的值為 .答案15.函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間-a，a (a0上都是奇函數(shù)，那么以下結論：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函數(shù)；f(x)+g(x)在-a,a上是奇函數(shù)；f(x)g(x)在-a,a上

2、是偶函數(shù)；f(0)+ g(0)=0,那么其中正確結論的個數(shù)是 . 答案 4例1判斷以下函數(shù)的奇偶性.1f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.解 1x2-10且1-x20,x=1,即f(x)的定義域是-1，1.f1=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).2方法一 易知f(x)的定義域為R，又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函數(shù).方法二 易知f(x)的定義域為R，又f-x+fx=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=

3、-f(x),f(x)為奇函數(shù).3由|x-2|0，得x2.fx的定義域x|x2關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).例2函數(shù)f(x),當x,yR時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；2如果xR+，fx0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間-2，6上的最值.1證明函數(shù)定義域為R，其定義域關于原點對稱.fx+y-fx+fy，令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.fx+f-x=0，得f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).2解 方法一 設x,yR+，fx+y=fx+fy，fx+y-fx=fy.x

4、R+，fx0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x+yx,f(x)在0，+上是減函數(shù).又fx為奇函數(shù)，f0=0，fx在-,+上是減函數(shù).f-2為最大值，f(6)為最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f1+f2=-3.所求f(x)在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值為-3.方法二 設x1x2,且x1,x2R.那么f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上單調遞減.f-2為最大值，f6為最小值.f1=-， f-2

5、=-f2=-2f1=1，f6=2f3=2f1+f2=-3.所求f(x在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值為-3.例316分函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x).1求證：f(x)是周期函數(shù)；2假設f(x)為奇函數(shù)，且當0x1時，f(x)=x,求使f(x)=-在0，2 009上的所有x的個數(shù).1證明 fx+2=-fx，fx+4=-fx+2=-fx=fx， 2分fx是以4為周期的周期函數(shù)， 4分2解 當0x1時，f(x)=x,設-1x0,那么0-x1,f-x=-x=-x.f(x)是奇函數(shù)，f-x=-fx,-fx=-x，即f(x)=x. 7分故f(x)= x(-1x1) 8分又設1

6、x3,那么-1x-21,f(x-2)= (x-2), 10分又fx-2=-f2-x=-f-x+2=-f-x=-fx，-fx=x-2，fx=-x-21x3. 11分fx= 12分由f(x)=- ,解得x=-1.fx是以4為周期的周期函數(shù).f(x)=- 的所有x=4n-1 (nZ). 14分令04n-12 009,那么n,又nZ，1n502 nZ,在0，2 009上共有502個x使f(x)=- . 16分1.判斷以下各函數(shù)的奇偶性：1fx=x-2；2fx=；3fx=解 1由0，得定義域為-2，2，關于原點不對稱，故fx為非奇非偶函數(shù).2由得定義域為-1，00，1.這時fx=.f-x=-fx為偶函數(shù)

7、.3x-1時，fx=x+2，-x1,f-x=-x+2=x+2=fx.x1時，fx=-x+2，-x-1，f(-x)=x+2=f(x).-1x1時，fx=0，-1-x1，f-x=0=fx.對定義域內的每個x都有f-x=fx.因此fx是偶函數(shù).2.函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且對任意a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當x0時，f(x)0恒成立，f(3)=-3. (1)證明：函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)；2證明：函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；3試求函數(shù)y=f(x)在m,nm,nZ上的值域.1證明 設x1，x2R，且x1x2,f(x2)=fx1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1

8、).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1).故f(x)是R上的減函數(shù).2證明 fa+b=fa+fb恒成立，可令a=-b=x,那么有fx+f-x=f0，又令a=b=0,那么有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.從而xR，fx+f-x=0，f-x=-fx.故y=f(x)是奇函數(shù).3解 由于y=f(x)是R上的單調遞減函數(shù)，y=fx在m，n上也是減函數(shù)，故f(x)在m，n上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).由于f(n)=f(1+(n-1)=f(1)+f(n-1)=nf(1),同理f(m)=mf(1).又f(3)=3

9、f(1)=-3,f(1)=-1,f(m)=-m, f(n)=-n.函數(shù)y=f(x)在m,n上的值域為-n,-m.3.設fx是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x1、x20，都有fx1+x2=fx1fx2，且f(1)=a0.1求f()及f()2證明：fx是周期函數(shù)；3記an=f(2n+，求an.1解 對x1、x2，都有fx1+x2=fx1fx2，fx=f(0，x0，1.f1=f( f(. f(1)=a0, f(2證明 y=fx的圖象關于直線x=1對稱，fx=f1+1-x，即fx=f2-x，xR.又由fx是偶函數(shù)知，f-x=fx，xR，f-x=f2-x，xR.將上式中-x用x代換

10、，得fx=fx+2，xR.這說明fx是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期.3解 由1知fx0，x0，1.f(=f(=f(f(又f(fx的一個周期是2，an=f(2n+)=f(),an=a.一、填空題1.f(x),g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)=f(x)+g(x)，那么“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)是“h(x)為偶函數(shù)的 條件. 答案 充分不必要2.設函數(shù)f(x)=(x+1)(x+a)為偶函數(shù)，那么a= . 答案 -13.函數(shù)fx是R上的偶函數(shù)，gx是R上的奇函數(shù)，且gx=fx-1，假設f0=2，那么f2 008的值為 .答案 2 4.函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，那么以下函數(shù)中是

11、奇函數(shù)的是 填序號. y=f(|x|);y=f(-x);y=xf(x);y=f(x)+x.答案 5.(2023 徐州六縣一區(qū)聯(lián)考)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)=2x-3，那么f(-2)= . 答案 -16.y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)=x2-2x，那么在R上f(x)的表達式為 . 答案 f(x)=x(|x|-2)7.函數(shù)f(x)=g(x)+2,x-3，3，且g(x)滿足g(-x)=-g(x),假設f(x)的最大值、最小值分別為M、N，那么M+N= .答案 48.f(x)、g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,假設

12、F(a)=b,那么F(-a)= .答案 -b+4二、解答題9.f(x)是實數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求證：f(x)是周期函數(shù). (2)f(3)=2，求f(2 004). 1證明 f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1),那么f(x+2)=ff(x+3)=ff(x+6)=ff(x)是周期函數(shù)且6是它的一個周期.(2)解 f(2 004)=f(3346)=f(0)=-f(3)=-2.10.f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x(-,0)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解 fx是奇函數(shù)，可得f(0

13、)=-f(0),f(0)=0.當x0時，-x0,由f(-x)=xlg(2+x),-fx=xlg2+x，即fx=-xlg2+x x0.f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (xR).11.函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,aR.(1)試判斷f(x)的奇偶性；2假設-a，求f(x)的最小值.解 (1)當a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此時,f(x)為偶函數(shù).當a0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數(shù).2當xa時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,a,故函

14、數(shù)f(x)在-，a上單調遞減，從而函數(shù)f(x)在-，a上的最小值為f(a)=a2+1.當xa時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,a-，故函數(shù)f(x)在a，+上單調遞增，從而函數(shù)f(x)在a，+)上的最小值為f(a)=a2+1.綜上得，當-a時，函數(shù)f(x)的最小值為a2+1.12.設函數(shù)f(x)在-,+)上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f(3)=0.1試判斷函數(shù)y=fx)的奇偶性；2試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2 005，2 005上的根的個數(shù)，并證明你的結論.解 1由從而知函數(shù)y=f(x)的周期為T=10.又f(3)=f(1)=0,而f(7)0,故f(-3)0.故函數(shù)y=fx)是非奇非偶函數(shù).2由1知y=f(x)的周期為10.又f3=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在0，10和-10，0上均有兩個解，從而可知函數(shù)y=f(x)在0，2 005上有402個解，在-2 005，0上有400個解，所以函數(shù)y=f(x)在-2 005，2 005上有802個解.