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1、 第九章 習(xí)題課習(xí)題課一、一、基本概念基本概念 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法 三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法一、一、基本概念基本概念連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在 方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù) 定義域及對應(yīng)規(guī)律 判斷極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個基本概念的關(guān)系思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.討論二重極限解法解法1解法解法2 令解法解法3 令時,下列算法是否正確是否正確?分析分析分析分析:解法1解法2 令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點的情況,此法排除了沿曲線趨于原點的情況.此時極限為 1.第二步 未考慮分母變化的所

2、有情況,解法3 令此法忽略了 的任意性,極限不存在!由以上分析可見,三種解法都不對,因為都不能保證自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點.特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi) r,的變化應(yīng)該是任意的.同時還可看到,本題極限實際上不存在.提示提示:利用 故 f 在(0,0)連續(xù);知在點(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.2.2.證明證明證明證明:而所以 f 在點(0,0)不可微!例例例例1.1.已知已知求出 的表達式.解法解法1 令即解法解法2 以下與解法1 相同.則且二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個數(shù)=變量

3、總個數(shù) 方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號3.利用一階微分形式不變性例例例例2.2.設(shè)設(shè)其中 f 與F分別具解法解法1 方程兩邊對 x 求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),求(1999 考研)解法解法解法解法2 2 方程兩邊求微分,得化簡消去 即可得例例例例3 3.設(shè)設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求解解:練習(xí)題練習(xí)題1.設(shè)函數(shù) f 二階連續(xù)可微,求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)解答提示解答提示解答提示解答提示:第 1 題2.P131 題12 設(shè)求提示提示:利用行列式解出 du,dv：代入即得 代入即得 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),及分別由下兩

4、式確定求又函數(shù)答案答案:(2001考研）3.3.設(shè)設(shè)三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1 1.在幾何中的在幾何中的應(yīng)用應(yīng)用求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)2.極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法,拉格朗日乘數(shù)法)求解最值問題例例例例4.4.4.4.在第一卦限作橢球面在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小,并求切點.解解:設(shè)切點為則切平面的法向量為即切平面方程問題歸結(jié)為求在條件下的條件極值問題.設(shè)拉格朗日函數(shù)切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為令令由實際意義可知為所求切點.唯

5、一駐點例例例例5.5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解解:設(shè)為拋物面上任一點，則 P 的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面令解此方程組得唯一駐點由實際意義最小值存在,故上求一點,使該點處的法線垂直于練習(xí)題：練習(xí)題：練習(xí)題：練習(xí)題：1.在曲面并寫出該法線方程.提示提示:設(shè)所求點為則法線方程為利用得平面法線垂直于平面點在曲面上2.2.在第一卦限內(nèi)作橢球面在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面使與三坐標(biāo)面圍成的四面體體積最小,并求此體積.提示提示:設(shè)切點為用拉格朗日乘數(shù)法可求出則切平面為所指四面體體積V 最小等價于 f(x,y,z)=x y z 最大,故取拉格朗日函數(shù)(見例見例4)3.3.設(shè)設(shè)均可微,且在約束條件(x,y)0下的一個極值點,已知(x0,y0)是 f(x,y)下列選項正確的是()提示提示:設(shè)()代入()得D(2006考研)