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1、實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價瓶進(jìn)價1元，外地牌子每瓶進(jìn)價元，外地牌子每瓶進(jìn)價1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大利潤？取得最大利潤？每天的利潤為每天的利潤為求最大利潤即為求二元函數(shù)的最大值求最大利潤即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出一、問題的提出1 1、二元函數(shù)極值

2、的定義、二元函數(shù)極值的定義二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值(1)(2)(3)例例1 1例例例例2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件證證 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：注意：解解解 由唯一駐點(diǎn)(0,0)可是在點(diǎn)(0,0處由于易知在(0,0)的任何鄰域內(nèi)f 的值都有正有負(fù)，所以(0,0)不是f 的極值點(diǎn)。與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極

3、值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值函數(shù)函數(shù)f f 在有界閉域上連續(xù)在有界閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù)f f 在閉域上可達(dá)到最值在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn) 特別特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且且只有一個只有一個極值點(diǎn)極值點(diǎn)P P 時，時，為極小值為極小值為最小值為最小值(大大)(大大)依據(jù)：依據(jù)：求有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)最值的一般方法求有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)最值的一般方法：將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的的邊界上的最大值和最小值相互比較

4、，其中最大者邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值即為最大值，最小者即為最小值.解解如圖如圖,解解 由由無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件外，并無其他條件.實(shí)例：實(shí)例：小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元

5、以達(dá)到最佳效果問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條件極值條件極值 :條件極值的求法條件極值的求法:方法方法1 1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制還有其他條件限制例如例如 ,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化方法方法2 2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.分析：分析：如方法如方法1 1所述所述,則問題等價于一元函數(shù)則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)可確定隱函數(shù)的極的極

6、故極值點(diǎn)必滿足故極值點(diǎn)必滿足記記例如例如,值問題值問題,故有故有引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)F F 稱為拉格朗日稱為拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)函數(shù)函數(shù).利用拉格利用拉格極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足則則極值點(diǎn)滿足極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.解解則則解解可得可得即即解：分析：這種在有界閉區(qū)域上求最值（極值）解：分析：這種在有界閉區(qū)域上求最值（極值）的問題是混合問題，它可以分解為兩個問題：的問題是混合問題，它可以分解為兩個問題：由駐點(diǎn)為(0,0),(2,0)令駐點(diǎn)為(4,0),(-4,0)算出(1),(2)最

7、值嫌疑點(diǎn)的值，比較大小得多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題思考題解答思考題解答已知平面上兩定點(diǎn)已知平面上兩定點(diǎn) A(1,3),B(4,2),試在試在橢圓橢圓圓周上求一點(diǎn)圓周上求一點(diǎn) C,使使ABC 面積面積 S最大最大.解答提示解答提示:設(shè)設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則則 練習(xí)練習(xí)設(shè)拉格朗日函數(shù)設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組解方程組得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)對應(yīng)面積對應(yīng)面積而而比較可知比較可知,點(diǎn)點(diǎn)C與與E 重合時重合時,三角形三角形面積最大面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停動畫開始或暫停補(bǔ)充補(bǔ)充：其中練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案