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1、2.4函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性 考點探究考點探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考2.4函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性與與周周期期性性雙基研習(xí)雙基研習(xí)面對高考面對高考雙基研習(xí)雙基研習(xí)面對高考面對高考基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性定義定義f(x)與與f(x)的關(guān)系的關(guān)系奇函奇函數(shù)數(shù)一般地，圖像關(guān)于一般地，圖像關(guān)于_對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)._偶函偶函數(shù)數(shù)一般地，圖像關(guān)于一般地，圖像關(guān)于_對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)._原點原點y軸軸f(x)f(x)f(x)f(x)思思考考感感悟悟奇奇偶偶函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域有有何

2、何特特點點？它它是是函數(shù)具有奇偶性的什么條件？函數(shù)具有奇偶性的什么條件？提示：提示：由于定由于定義義中中對對任意一個任意一個x都有都有f(x)f(x)或或f(x)f(x)，說說明定明定義義域中任意一個域中任意一個x都有一個關(guān)于原點都有一個關(guān)于原點對對稱的稱的x在定在定義義域中，域中，即即說說明奇偶函數(shù)的定明奇偶函數(shù)的定義義域必關(guān)于原點域必關(guān)于原點對對稱稱它是函數(shù)具有奇偶性的必要條件它是函數(shù)具有奇偶性的必要條件2函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的奇偶性與單調(diào)單調(diào)性的關(guān)系性的關(guān)系奇奇函函數(shù)數(shù)在在關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱的的區(qū)區(qū)間間上上的的單單調(diào)調(diào)性性_，偶偶函函數(shù)數(shù)在在關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱的的區(qū)區(qū)間間上上的

3、的單調(diào)單調(diào)性性_3周期性周期性(1)周周期期函函數(shù)數(shù)：對對于于函函數(shù)數(shù)yf(x)，如如果果存存在在非非零零常常數(shù)數(shù)T，對對定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一個個x值值，都都有有f(xT)_，我我們們就就把把f(x)稱稱為為周周期期函函數(shù)，數(shù)，T稱稱為這為這個函數(shù)的周期個函數(shù)的周期相反相反f(x)相同相同(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周的所有周期中期中_正數(shù)，那么正數(shù)，那么這這個最小正個最小正數(shù)就叫作數(shù)就叫作f(x)的最小正周期的最小正周期存在一個最小存在一個最小課前熱身課前熱身課前熱身課前熱身答案：答案：D答案：答案：B3設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)f(x)是是定定義義

4、在在R上上的的奇奇函函數(shù)數(shù)，且且f(3)2，則則f(3)f(0)()A3B3C2D7解解析析：選選C.由由題題意意得得f(3)f(0)f(3)f(0)202.故故選選C.4(2011年年淮淮北北月月考考)若若f(x)2x2xlga是是奇奇函數(shù)，函數(shù)，則實則實數(shù)數(shù)a_.5(教材改編題教材改編題)二次函數(shù)二次函數(shù)f(x)ax2bxc為偶函數(shù)的充要條件是為偶函數(shù)的充要條件是_答案：答案：b0考點探究考點探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考考點突破考點突破考點突破考點突破函數(shù)奇偶性的判定函數(shù)奇偶性的判定1判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性，應(yīng)應(yīng)該該首首先先分分析析函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域，在在分分析析時時，不不要要把把

5、函函數(shù)數(shù)化化簡簡，而而要要根根據(jù)據(jù)原原來來的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)去去求求解解定定義義域域，如如果果定定義義域域不不關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱，稱，則則一定是非奇非偶函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)2若若定定義義域域關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱，則則可可用用下下述述方方法法進進行判斷：行判斷：(1)定定義義判斷：判斷：f(x)f(x)f(x)為為偶函數(shù)，偶函數(shù)，f(x)f(x)f(x)為為奇函數(shù)奇函數(shù)(2)等等價價形形式式判判斷斷：f(x)f(x)0f(x)為為偶偶函數(shù)，函數(shù)，f(x)f(x)0f(x)為為奇函數(shù)奇函數(shù)例例例例1 1【思路點撥思路點撥】判斷函數(shù)的奇偶性，首先要判斷函數(shù)的奇偶性，首先要檢驗其定義域是否關(guān)于原點

6、對稱，若關(guān)于原檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，若關(guān)于原點對稱，再嚴(yán)格按照奇偶性的定義或其等價點對稱，再嚴(yán)格按照奇偶性的定義或其等價形式進行推理判斷形式進行推理判斷且且f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(4)函數(shù)定義域為函數(shù)定義域為(，0)(0，)當(dāng)當(dāng)x0，則，則f(x)(x)2x(x2x)f(x)；當(dāng)當(dāng)x0時，時，x0，則，則f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)對任意對任意x(，0)(0，)都有都有f(x)f(x)故故f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù)【失誤點評失誤點評】本例本例(4)要對定義域內(nèi)的自變要對定義域內(nèi)的自變量分兩種情況考察如果只有量分兩種情況考

7、察如果只有x0或或x0就就說說f(x)f(x)，從而判斷它是奇函數(shù)是錯，從而判斷它是奇函數(shù)是錯誤的、不完整的誤的、不完整的函數(shù)奇偶性的函數(shù)奇偶性的應(yīng)應(yīng)用用研研究究函函數(shù)數(shù)奇奇偶偶性性主主要要用用其其來來解解決決函函數(shù)數(shù)圖圖像像的的對對稱稱問題問題，以及用定，以及用定義義列方程求參數(shù)列方程求參數(shù)值值等等 (1)設(shè)設(shè)f(x)為為定定義義在在R上上的的奇奇函函數(shù)數(shù)，當(dāng)當(dāng)x0時時，f(x)2x2xb(b為為常數(shù)常數(shù))求求f(x)的解析式的解析式(2)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是是偶偶函函數(shù)數(shù)，求求實實數(shù)數(shù)a的的值值例例例例2 2【思思路路點點撥撥】(1)由由奇奇函函數(shù)數(shù)在在原原點點處

8、處有有定定義義，則則f(0)0可可求求得得b的的值值后后再再由由對對稱稱性性可可求求得得f(x)的的解解析析式式(2)根根據(jù)據(jù)f(x)f(x)列列出出關(guān)關(guān)于于a的方程求解的方程求解【解解】(1)f(x)為為定定義義在在R上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)，f(0)0，200b0，解得，解得b1，當(dāng)當(dāng)x0時時，f(x)2x2x1，當(dāng)當(dāng)x0時時，x0，f(x)f(x)(2x2x1)2x2x1，【規(guī)規(guī)律律小小結(jié)結(jié)】(1)利利用用奇奇偶偶性性求求解解析析式式的的一一般方法是：般方法是：“求求誰誰設(shè)設(shè)誰誰”，即即在在哪哪個個區(qū)區(qū)間間求求解解析析式式，x就就設(shè)設(shè)在哪個區(qū)在哪個區(qū)間間內(nèi)內(nèi)要利用已知區(qū)要利用已知區(qū)間間的解

9、析式的解析式進進行代入行代入利利用用f(x)的的奇奇偶偶性性寫寫出出f(x)或或f(x)，從從而而解出解出f(x)(2)利利用用奇奇偶偶性性求求參參數(shù)數(shù)值值一一般般利利用用f(x)f(x)(或或f(x)列出方程求解列出方程求解變變式式訓(xùn)練訓(xùn)練設(shè)設(shè)定定義義在在2,2上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x)在在區(qū)區(qū)間間0,2上上單調(diào)遞單調(diào)遞減，若減，若f(m)f(m1)0，求，求實實數(shù)數(shù)m的取的取值值范范圍圍函數(shù)的周期性及其函數(shù)的周期性及其應(yīng)應(yīng)用用對對函函數(shù)數(shù)周周期期性性的的考考查查，主主要要涉涉及及判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的周周期期、利利用用周周期期性性求求函函數(shù)數(shù)值值，以以及及解解決決與與周周期期有有關(guān)關(guān)的的函

10、函數(shù)數(shù)綜綜合合問問題題充充分分利利用用題題目目提提供供的的信信息息，遷遷移移到到有有定定義義的的范范圍圍上上進進行行求求值值是是解解答答此此類類問問題題的關(guān)的關(guān)鍵鍵設(shè)設(shè)f(x)是是定定義義在在R上上的的奇奇函函數(shù)數(shù)，且且對對任任意意實實數(shù)數(shù)x，恒恒有有f(x2)f(x)當(dāng)當(dāng)x0,2時時，f(x)2xx2.(1)求求證證：f(x)是周期函數(shù)；是周期函數(shù)；(2)當(dāng)當(dāng)x2,4時時，求，求f(x)的解析式；的解析式；(3)計計算算f(0)f(1)f(2)f(2011)例例例例3 3【解解】(1)證明：證明：f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為是周期為4的周期函數(shù)的周期函數(shù)(2

11、)當(dāng)當(dāng)x2,0時，時，x0,2，由已知得，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又又f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當(dāng)又當(dāng)x2,4時，時，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又又f(x)是周期是周期為為4的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.從而求得從而求得x2,4時時，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又又f(x)是周期是周期為為4的周期函數(shù)的周期函數(shù)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(201

12、1)0.f(0)f(1)f(2)f(2011)0.【規(guī)規(guī)律小律小結(jié)結(jié)】關(guān)于函數(shù)周期性常用的關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論結(jié)論：(1)定定義義在在R上上的的函函數(shù)數(shù)f(x)，若若有有兩兩條條對對稱稱軸軸xa，xb，則則f(x)是是周周期期函函數(shù)數(shù)且且2|ab|是是它它的一個周期的一個周期若若有有兩兩個個對對稱稱中中心心(a,0)，(b,0)，則則f(x)是是周周期函數(shù)且期函數(shù)且2|ab|是它的一個周期是它的一個周期若有一個若有一個對對稱中心稱中心(a,0)和一條和一條對對稱稱軸軸xb，則則f(x)是周期函數(shù)且是周期函數(shù)且4|ab|是它的一個周期是它的一個周期方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法

13、技巧1正正確確理理解解奇奇函函數(shù)數(shù)和和偶偶函函數(shù)數(shù)的的定定義義，必必須須把把握握好兩個好兩個問題問題：(1)定定義義域域在在數(shù)數(shù)軸軸上上關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱是是函函數(shù)數(shù)f(x)為為奇奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(如例如例1(5)(2)f(x)f(x)或或f(x)f(x)是是定定義義域域上上的的恒恒等式等式(如例如例2(2)2奇偶函數(shù)的定奇偶函數(shù)的定義義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)據(jù)為為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時時需要需要3奇奇函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱，偶偶函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像關(guān)關(guān)于于y軸

14、軸對對稱稱，反反之之也也真真利利用用這這一一性性質(zhì)質(zhì)可可簡簡化化一一些些函函數(shù)數(shù)圖圖像像的的畫畫法法，也也可可以以利利用用它它去去判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性(如如課課前前熱熱身身1)4如果奇偶性是如果奇偶性是講講函數(shù)函數(shù)圖圖像的像的對對稱，那么函稱，那么函數(shù)的周期性就是數(shù)的周期性就是討論討論函數(shù)函數(shù)圖圖像的平移，而函像的平移，而函數(shù)數(shù)圖圖像的像的對對稱與函數(shù)的周期性也是密不可分稱與函數(shù)的周期性也是密不可分的，比如：若函數(shù)的，比如：若函數(shù)f(x)的的圖圖像關(guān)于直像關(guān)于直線線xa，xb(ab)對對稱，稱，則則f(x)為為周期函數(shù)，其周期周期函數(shù)，其周期為為T2(ba)等等(如例如例3)失失誤

15、誤防范防范1判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性，首首先先應(yīng)應(yīng)該該判判斷斷函函數(shù)數(shù)定定義義域域是是否否關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱定定義義域域關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件2判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，必是奇函數(shù)，必須對須對定定義義域內(nèi)域內(nèi)的每一個的每一個x，均有，均有f(x)f(x)而不能而不能說說存存在在x0使使f(x0)f(x0)對對于偶函數(shù)的判斷以于偶函數(shù)的判斷以此此類類推推考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性、周周期期性性是是每每年年高高考考必必考考的的內(nèi)內(nèi)容容之之一一主主要要涉涉

16、及及函函數(shù)數(shù)奇奇偶偶性性的的判判斷斷，利利用用函函數(shù)數(shù)奇奇偶偶性性、周周期期性性求求函函數(shù)數(shù)值值，利利用用奇奇偶偶性性求求參參數(shù)數(shù)值值以以及及求求三三角角函函數(shù)數(shù)的的周周期期等等多多以以選選擇擇題題和和填填空空題題形形式式出出現(xiàn)現(xiàn)，與與函函數(shù)數(shù)概概念念、圖圖像像、性性質(zhì)質(zhì)綜綜合合在一起考在一起考查查，難難度一般不大度一般不大預(yù)測預(yù)測2012年高考仍將以三角函數(shù)的周期性年高考仍將以三角函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)的奇偶性與周期性和抽象函數(shù)的奇偶性與周期性為為主要考點，主要考點，重點考重點考查邏輯查邏輯推理與理解能力推理與理解能力真題透析真題透析真題透析真題透析例例例例(2010年年高高考考安安徽徽卷卷

17、)若若f(x)是是R上上周周期期為為5的的奇奇函函數(shù)數(shù)，且且滿滿足足f(1)1，f(2)2，則則f(3)f(4)()A1B1C2D2【解解析析】由由于于函函數(shù)數(shù)f(x)的的周周期期為為5，f(3)f(4)f(2)f(1)，又又f(x)為為R上上的的奇奇函函數(shù)數(shù)，f(2)f(1)f(2)f(1)211.【答案答案】A【名名師師點點評評】(1)本本題題易易出出現(xiàn)現(xiàn)如如下下錯錯誤誤：不不知知道道如如何何把把求求f(3)，f(4)的的值值轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化到到求求f(1)，f(2)的的值值；這這類類綜綜合合應(yīng)應(yīng)用用函函數(shù)數(shù)性性質(zhì)質(zhì)的的問問題題，常常常常由由于于問問題題涉涉及及的的知知識識點點與與面面比比較較廣廣

18、，容容易易出出現(xiàn)現(xiàn)無無從從下下手手的的現(xiàn)現(xiàn)象象，特特別別是是抽抽象象函函數(shù)數(shù)問問題題，這這就就需需要要考考生生對對所所學(xué)學(xué)知知識識要要爛爛熟熟于于心心，對對所學(xué)方法會靈活運用所學(xué)方法會靈活運用(2)函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性是是函函數(shù)數(shù)的的整整體體性性質(zhì)質(zhì)，是是研研究究函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域上上的的互互為為相相反反數(shù)數(shù)x和和x的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式在在判判斷斷函函數(shù)數(shù)奇奇偶偶性性的的過過程程中中，應(yīng)應(yīng)注意以下幾個方面：注意以下幾個方面：函數(shù)定函數(shù)定義義域影響奇偶性，若首先求得定域影響奇偶性，若首先求得定義義域不關(guān)于原點域不關(guān)于原點對對稱，稱，則該則該函數(shù)函數(shù)為為非奇非偶函非奇非偶函數(shù)；數(shù)

19、；理解函數(shù)奇偶性表達(dá)式的變形情況，如理解函數(shù)奇偶性表達(dá)式的變形情況，如“f(x)f(x)”與與“f(x)f(x)0”等價，等價，“函數(shù)函數(shù)yf(x)1為奇函數(shù)為奇函數(shù)”等價于等價于“f(x)1f(x)10”；熟記奇偶性的常用運算性質(zhì)，如奇熟記奇偶性的常用運算性質(zhì)，如奇奇奇奇，奇，偶偶偶偶偶，奇偶，奇奇奇偶，偶偶，偶偶偶偶，奇偶，奇偶偶奇等，可以快速處理以選擇題、填空題形式出奇等，可以快速處理以選擇題、填空題形式出現(xiàn)的函數(shù)奇偶性問題現(xiàn)的函數(shù)奇偶性問題名師預(yù)測名師預(yù)測名師預(yù)測名師預(yù)測解解析析：選選B.由由f(x)f(x)，得得f(2x)f(x)f(x)，可可知知f(x)是是周周期期為為2的的周周期期函函數(shù)數(shù)，排排除除A、C，又又因因為為f(x)為為奇奇函函數(shù)數(shù)，故故選選B.4已已知知定定義義在在R上上的的函函數(shù)數(shù)f(x)滿滿足足f(x)f(x2)13，若，若f(1)2，則則f(99)_.