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1、第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性,1奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x.(1)f(x)為偶函數(shù)_；(2)f(x)為奇函數(shù)_2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于_對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于_對(duì)稱,f(x)f(x),f(x)f(x),原點(diǎn),y軸,(2)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有_的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有_的單調(diào)性(3)奇函數(shù)圖象與原點(diǎn)的關(guān)系：如果奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)有意義，則f(0)_ .,相同,相反,0,3周期性(1)周期函數(shù)：T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則需滿足的條件：T0；_對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立(2)最小正周期：

2、如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)_，那么這個(gè)_就叫做它的最小正周期(3)周期不唯一：若T是函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期，則nT(nZ，且n0)也是f(x)的周期,f(xT)f(x),最小的正數(shù),最小的正數(shù),1奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域具有什么特點(diǎn)？它是函數(shù)具有奇偶性的什么條件？【提示】定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，必要不充分條件2(1)若yf(xa)是偶函數(shù)，函數(shù)yf(x)的圖象有什么對(duì)稱性？(2)如果yf(xb)是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖象有什么對(duì)稱性？【提示】(1)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱；(2)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱,【答案】B,2已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x

3、4)f(x)，則f(8)的值為()A1 B0 C1 D2【解析】f(x4)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(8)f(0)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(8)f(0)0，故選B.【答案】B,【解析】yf(x1)的圖象是由yf(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，而yf(x)的圖象的對(duì)稱軸為x0，故選B.【答案】B,4(2012陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|【解析】A選項(xiàng)中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)B、C、D選項(xiàng)中的函數(shù)均為奇函數(shù)，但B、C選項(xiàng)中的函數(shù)不為增函數(shù)，故選D.【答案】D,【解析】由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項(xiàng)為奇函數(shù)，C項(xiàng)

4、為非奇非偶函數(shù)，D項(xiàng)為偶函數(shù)【答案】D,【思路點(diǎn)撥】先求定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域下，帶絕對(duì)值符號(hào)的要盡量去掉，分段函數(shù)要分情況判斷,(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù),【解析】(1)f(x)3x3xf(x)，g(x)3x3xg(x)f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，故選B.【答案】B,f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x)22(x22)f(x)

5、；當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x)22(x22)f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，也滿足f(x)f(x)故該函數(shù)為奇函數(shù).,【審題視點(diǎn)】(1)先根據(jù)周期性縮小自變量，再根據(jù)奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間0，1上(2)根據(jù)f(x)f(x)求解,1解答本題(2)時(shí)因誤用f(0)0而求得a1，當(dāng)定義域包含0時(shí)，可用f(0)0，但應(yīng)注意檢驗(yàn)2(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也真(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同(3)f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|)；若奇函數(shù)f(x)在x0時(shí)有定義，則f(0)0.,【解析】(1)設(shè)x0，則x0，f(x)

6、(x)2xx2x，又f(x)f(x)，x0時(shí)，f(x)x2xax2bx，a1，b1，ab0.,(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x(x1)21函數(shù)f(x)在0，)上為增函數(shù)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)由f(3a2)f(2a)得3a22a.解得3a1.【答案】(1)0(2)(3，1),(2013福州模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2，4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 013)【思路點(diǎn)撥】(1)證明f(x4)f(x)(

7、2)先求2，0上的解析式，再求2，4上的解析式；(3)根據(jù)周期性求解,【嘗試解答】(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)當(dāng)x2，0時(shí)，x0，2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當(dāng)x2，4時(shí)，x42，0，f(x4)(x4)22(x4),又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.從而求得x2，4時(shí)，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)

8、f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)011.,函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件1.若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0.2設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇,判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法1.若對(duì)于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱2若對(duì)于R上的任意x都有f(2ax

9、)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，則：yf(x)是以2(ba)為周期的周期函數(shù)3若f(xa)f(xb)(ab)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為T2|ab|.,從2012年的高考試題看，有7個(gè)省份考查函數(shù)的奇偶性、周期性，主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性與周期性求函數(shù)值，與單調(diào)性交匯求解簡(jiǎn)單的方程與不等式，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題目，其中利用函數(shù)的周期性時(shí)，應(yīng)注意隱含條件的挖掘,易錯(cuò)辨析之三忽視隱含條件的挖掘致誤,【答案】2,錯(cuò)因分析：(1)轉(zhuǎn)化能力差，不能把所給區(qū)間和周期聯(lián)系起來(2)挖掘不出f(1)f(1)，從而無法求出a、b的值防范措施：(1)對(duì)

10、于周期函數(shù)，應(yīng)注意所給區(qū)間包含幾個(gè)周期，有助于我們挖掘隱含條件(2)對(duì)于兩個(gè)字母的求值，應(yīng)列兩個(gè)方程求解，這也是促使我們挖掘隱含條件的動(dòng)力,【答案】10,1(2012山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335B338C1 678D2 012【解析】f(x6)f(x)，T6.當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，,f(1)f(2)f(6)1，f(1)f

11、(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1335.而f(2 011)f(2 012)f(1)f(2)3，f(1)f(2)f(2 012)3353338.【答案】B,2(2012合肥二模)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?，0)(0，1，其圖象上任一點(diǎn)P(x，y)滿足x2y21.函數(shù)yf(x)一定是偶函數(shù)；函數(shù)yf(x)可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；函數(shù)yf(x)可以是奇函數(shù)；函數(shù)yf(x)如果是偶函數(shù)，則值域是0，1)或(1，0；函數(shù)yf(x)值域是(1，1)，則一定是奇函數(shù)其中正確的命題的序號(hào)是_(填上所有正確的序號(hào)),【解析】逐一判斷在單位圓上取點(diǎn)，所得圖象可能關(guān)于y軸對(duì)稱，也可能關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也可能不具有對(duì)稱性，故錯(cuò)誤，正確，正確；如果是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但值域卻有無數(shù)種，故錯(cuò)誤；若值域是(1，1)，則圖象一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，正確【答案】,課后作業(yè)（六）,