高中知識(shí)點(diǎn)之集合 一、集合的有關(guān)概念 ⒈定義：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，也簡(jiǎn)稱集。 2.表示方法：集合通常用大括號(hào){ }或大寫的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小寫的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。 4.元素與集合的關(guān)系：(元素與集合的關(guān)系有“屬于”及“不屬于兩種) ⑴若a是集合A中的元素，則稱a屬于集合A，記作aA； ⑵若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作aA。 5.常用的數(shù)集及記法： 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N； 正整數(shù)集，記作N*或N+；N內(nèi)排除0的集. 整數(shù)集，記作Z；　　有理數(shù)集，記作Q；　　　　實(shí)數(shù)集，記作R； 6.關(guān)于集合的元素的特征 ⑴確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）?！爸袊?guó)古代四大發(fā)明” （造紙，印刷，火藥，指南針）可以構(gòu)成集合，其元素具有確定性；而“比較大 的數(shù)”，“平面點(diǎn)P周圍的點(diǎn)”一般不構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定的. ⑵互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示為1,-2,而不是1,1,-2 ⑶無序性：即集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列、調(diào)換。 7.元素與集合的關(guān)系：(元素與集合的關(guān)系有“屬于”及“不屬于”兩種) ⑴若a是集合A中的元素，則稱a屬于集合A，記作aA； ⑵若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作aA。 二、集合的表示方法 ⒈列舉法：把集合中的元素一一列舉出來, 并用花括號(hào)“”括起來表示集合的方法叫列舉法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 說明：⑴書寫時(shí)，元素與元素之間用逗號(hào)分開； ⑵一般不必考慮元素之間的順序； ⑶在表示數(shù)列之類的特殊集合時(shí),通常仍按慣用的次序； ⑷集合中的元素可以為數(shù)，點(diǎn)，代數(shù)式等； ⑸列舉法可表示有限集，也可以表示無限集。當(dāng)元素個(gè)數(shù)比較少時(shí)用列舉法比較簡(jiǎn)單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示。 ⑹對(duì)于含有較多元素的集合，用列舉法表示時(shí)，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號(hào)，象自然數(shù)集Ｎ用列舉法表示為 ⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法。。 方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。 一般格式： 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…； 用符號(hào)描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意： １、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是數(shù)還是點(diǎn)、還是集合、還是其他形式？ ２、元素具有怎么的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時(shí)，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。 三、集合的分類 集合的分類 四、集合的基本關(guān)系 ⒈子集：對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這 兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集（subset）。 記作： 讀作：A包含于B，或B包含A B A 表示： 當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作A?B(或B?A) 用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系： ⒉集合相等定義：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B 中的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，即若，則。 如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此時(shí)有A=B。 ⒊真子集定義：若集合，但存在元素，則稱集合A是集合B的真子集。 記作：A B（或B A） 讀作：A真包含于B（或B真包含A） 4.空集定義：不含有任何元素的集合稱為空集。記作： 5.幾個(gè)重要的結(jié)論： ⑴空集是任何集合的子集；對(duì)于任意一個(gè)集合A都有A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一個(gè)集合是它本身的子集； ⑷對(duì)于集合A，B，C，如果，且，那么。 五、集合間的基本運(yùn)算； 1.并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與集合B 的并集，即A與B的所有部分， 記作A∪B， 讀作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。 Venn圖表示： 2. 3. 交集定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set）， 記作：A∩B 讀作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} （陰影部分即為A與B的交集） Venn圖表示： 常見的五種交集的情況： A B A(B) B A A B B A 4.全集的定義：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么 就稱這個(gè)集合為全集,記作U，是相對(duì)于所研究問題而言的一個(gè)相對(duì)概念。 5.補(bǔ)集的定義：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集 合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集, 記作：，讀作：A在U中的補(bǔ)集，即 Venn圖表示：（陰影部分即為A在全集U中的補(bǔ)集） 補(bǔ)充：集合中元素的個(gè)數(shù) 　　在研究集合時(shí)，經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問題。我們把含有有限個(gè)元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的個(gè)數(shù)。例如：集合A={a,b,c}中有三個(gè)元素，我們記作card(A)=3. 結(jié)論:已知兩個(gè)有限集合A，B，有：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 一個(gè)集合當(dāng)中有N個(gè)元素，那么該集合的子集有2N個(gè) 真子集有2N-1個(gè) 非空真子集有2N-2個(gè) 第3頁(yè)