第二章 有理數及其運算 一． 有理數的分類： 正整數 正整數 正有理數 整數 0 正分數 有理數 負整數 有理數 0 正分數 負分數 分數 負有理數 負分數 負整數 總結：1.整數和分數統(tǒng)稱為有理數 2.正整數，0，負整數統(tǒng)稱為整數 3.正分數，負整數統(tǒng)稱為分數。有限小數和無限循環(huán)小數也是分數。 4.正數和0統(tǒng)稱為非負數。 5.負數和0統(tǒng)稱為非正數。 6.正整數和0統(tǒng)稱為非負整數。 7.負整數和0統(tǒng)稱為非正整數。 練習：1.將下列各數填入相應的集合里： 正數集合（ ）， 整數集合（ ） 分數集合（ ）， 負數集合（ ） 非負數集合（ ）， 非負整數集合（ ） 2. 判斷： （1）正數，0，負數統(tǒng)稱為有理數。（ ） （2）小數一定是有理數。 （ ） （3）0既不是正數也不是負數。（ ） (4)自然數就是正整數. （ ） （4） 0是最小的自然數. （ ） (5)0既不是奇數也不是偶數 （ ） (6)一個有理數不是正數就是負數 （ ）(7)一個有理數不是整數就是分數 （ ） 二． 數軸，相反數，絕對值： 1. 數軸的三要素：原點，單位長度，正方向。 2. 相反數：只有符號不同的兩個數是相反數。 3. 絕對值：一個數到原點的距離，稱為這個數的絕對值。 總結：1.任何一個有理數都可以表示在數軸上，但是數軸上的點不一定是有理數。 2. 數軸的用途：（1）比較數的大?。簲递S上的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；正數大于0，負數小于0，正數大于負數。 3. 互為相反數的兩個數的特點： （1） 到原點的距離相等，即互為相反數的兩個數的絕對值相等。 （2） 互為相反數的兩數相加和為0. 即： 互為相反數的兩個數相除為 即： 4. （1）一個正數的絕對值是它本身。 （2）一個負數的絕對值是它的相反數。= 0 (3)0的絕對值是0. （4） 任何一個有理數的絕對值都是大于等于0。即： （5） 如果一個數的絕對值是它本身，則這個有理數是非負數。即：如果有，則 （6） 如果一個數的絕對值是它的相反數，則這個數是非正數。即：如果有，則 1. 填空：（1）已知，則（ ） （2）相反數是它本身的數是（ ），絕對值是它本身的數是（ ）。 (3)若有理數，則是（ ）數。 (4) 已知，則（ ）。 (5)若，則（ ）。 (6)當（ ）時，有最小值。 (7) 最小的自然數（ ），最小的正整數（ ），最大的負整數（ ）,絕對值最小的數（ ）。 2. 判斷： （1）0沒有絕對值。（ ） （2）沒有絕對值最小的數。（ ） （3） 負數的絕對值大于它本身。（ ）（4）任何數的絕對值都大于0。（ ） （5） 若，則。（ ）（6）若，則（ ） （7） 若，則。（ ）（8）若，則。（ ） 3. 解答題： （1） 已知且，求。 （2） 若的相反數是最小的質數，是最大的負整數，是絕對值最小的有理數，求的值。 三．有理數的混合運算及乘方： 1. 個相同因數的積的運算叫做乘方。記作： 其中叫做底數，叫做指數。 2. 乘方運算的符號法則： （1） 正數的任何次冪都是正數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。 （2） 0的任何非0次冪是0，1的任何次冪是1 （3） . （4） 3.有理數混合運算的順序： （1）有括號先算括號，先算乘方，再算乘除，最后算加減。同級運算依次計算。 4.倒數：互為倒數的兩個數相乘為1。注意：0沒有倒數。 填空：（1）（ ），（ ），（ ） （ ），（ ），（ ） （2） 如果，那么（ ） （3） 已知為任意有理數，規(guī)定，則（ ） （4） 絕對值不超過3的所有負整數的和（ ），絕對值不超過3的所有負整數的倒數和（ ）。倒數等于它本身的數（ ） （5） 若與互為相反數，則（ ）。 （6） 若，則的值為（ ）。 （8）一個數與它相反數的積是（ ）。 （9）若是正數，則是（ ）。 （10）若，那么（ ） （11）一個數的倒數的相反數4，則這個數為（ ）。 解答題： （1） 已知與互為相反數，與互為倒數，的絕對值等于2，求 （2） 已知求的值。 （3）“*”表示一種新運算，它的意義是，如求， 第三章 字母表示數 1. 代數式是用基本運算符號把數字、表示數的字母連接起的式子 注意：（1）單獨一個數或一個字母也是代數式。 （2）式子不含“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥” （3） 代數式的規(guī)范書寫：數字必須寫在字母的前面；除號必須寫成分數線；乘號可以省略；帶分數要化成假分數 2. 不含加減運算的代數式稱為單項式。 單獨一個數或一個字母也是單項式。單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數; 所有字母的“指數和”叫做這個單項式的次數. 3. 幾個單項式的和.叫做多項式。在多項式中每個單項式叫做多項式的項。構成多項式的單項式中,次數最大的單項式的次數叫該多項式的次數 4. .一個多項式含有幾項，就叫做幾項式;次數是幾就叫做 幾次式。不含字母的項 叫做常數項；常數項的系數是1，次數是0。 5. 所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。 練習： （1） 的系數是（ ），次數（ ）。 （2） 若代數式，則的值是（ ）。 （3） 若代數式當時其值為，則當時代數式的值（ ） （4） 多項式是（ ），的系數（ ），次數（ ） （5） 如果與是同類項，那么（ ），（ ） （6） 若為常數，代數式為三項式，則的值（ ） （7） 若單項式與可合并為，則的值是（ ） （8） 代數式的值與（ ） （9） 已知,則（ ） （10） 已知，則（ ） （11） 已知，則（ ） 解答題： （1） 已知與是同類項求代數式的值。 如果代數式合并同類項后不含項，求的值。 已知，求代數式的值。 合并同類項： 求下列各式的值： ，其中 其中 ，其中 第五章 解方程 1.含有未知數的等式叫做方程。 2.只含有一個未知數，并且未知數的次數為1整式方程叫做一元一次方程。（未知數的系數不為0） 3.解方程的步驟：（1）有括號去括號，有分母去分母，再合并同類項，最后將未知數的系數化為1. 移項要變號。 4.等式的性質：（1）等式兩邊同時加上（或減去）同一個代數式，所得結果仍是等式。 （2）等式兩邊同時乘以一個（或除以同一 個不為0的）數，所得結果仍是等式 5.日歷中的數都是整數，最小的數是1，最大的數是31；一個豎列上三個日期的和必須是一個大于或等于24且小于或等于72的數。豎列上的三個日期的和，必須是一個3的倍數。 練習：（1），（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）上式中的方程（ ），一元一次方程（ ） （2） 若與是同類項，則（ ） （3） 若是關于的一元一次方程，則（ ） （4） 已知是關于方程的解，則（ ） （5） 若，則（ ） （6） 方程的解是，那么（ ） （7） 已知關于的方程的解是，則的值是（ ） （8） 已知是方程的解，則關于的方程的解為（ ） （9） 已知的倒數與互為相反數，則（ ） 計算： 已知方程的解與方程的解相同。求的值；;的值 對于有理數規(guī)定運算“”的意義：，求方程的解 已知是關于的方程的解，求代數式的值 若，代數式的值比多，求 當時代數式的值是，求當時，代數式的值