函數(shù)奇偶性知識(shí)梳理1. 奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義（1）奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)內(nèi)的任意一個(gè)，都有，則這個(gè)函數(shù)叫奇函數(shù).（2）偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)內(nèi)的任意一個(gè)，都有，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù).（3）奇偶性：如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù)具有奇偶性.（4）非奇非偶函數(shù)：無(wú)奇偶性的函數(shù)是非奇非偶函數(shù).注意：（1）奇函數(shù)若在時(shí)有定義，則（2）若且的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2奇(偶)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)(2)單調(diào)性：奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反3. 判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）圖像法（2）定義法 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； 確定f(x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)例題精講【例1】若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值.解：函數(shù) f(x)ax2bx 是偶函數(shù)，f(x)f(x)ax2bx= ax2-bx.2bx=0. b0.【例3】已知函數(shù)在軸左邊的圖象如下圖所示，畫(huà)出它右邊的圖象.題型一 判斷函數(shù)的奇偶性【例4】判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）解：（1）的定義域?yàn)?R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即 是偶函數(shù)（2）的定義域?yàn)橛捎诙x域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（3）的定義域?yàn)?R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)， f(x)|x1|x1|是奇函數(shù)（4）的定義域?yàn)?，由于定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（5）的定義域?yàn)?，1，由且，所以所以圖象既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（6）顯然定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)當(dāng) x0 時(shí)，x0，f(x)x2x(xx2)；當(dāng) x0，f(x)xx2(x2x)即即為奇函數(shù)題型二 利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值【例2】若 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，f(3)2，求 f(3)和f(0)的值.解：f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，f(3)f(3)2，f(0)0. 【例5】已知 f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，求g(1).解：由 f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)得，所以 f(1)g(1)2 f(1)g(1)4 由消掉 f(1)，得 g(1)3. 題型三 利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式【例6】已知函數(shù)是定義在 R 上的偶函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x3x2，當(dāng) x0 時(shí)，求f(x)的解析式.解：當(dāng)時(shí)，有 所以又因?yàn)樵?R 上為偶函數(shù)所以所以當(dāng)時(shí)，.【例7】若定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，求.解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù) 所以， 因?yàn)?所以所以 由式消去，得.課堂練習(xí)u 仔細(xì)讀題，一定要選擇最佳答案喲！1. 函數(shù)是（ ） A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)2.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則（ ） A.2 B.1 C.0 D.-23. f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)2，則當(dāng) x0時(shí)，有（ ）Af(x)2 Bf(x)2 Cf(x)2 D.f(x)R4. 已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=f（x2）在0，2上是單調(diào)減函數(shù)，則（ ）A.f（0）f（1）f（2）B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2）f（0）D.f（2）f（1）f（0）5.已知函數(shù)f（x）=ax2bxc（a0）是偶函數(shù)，那么g（x）=ax3bx2cx是（ ）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既奇且偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)6. 定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+）上是增函數(shù)，又f（3）=0，則不等式xf（x）0的解集為（ ）A.（3，0）（0，3）B.（，3）（3，+）C.（3，0）（3，+）D.（，3）（0，3）7. 若f(x)在5,5上是奇函數(shù)，且f(3)f(1)，則下列各式中一定成立的是()Af(1)f(1) Cf(2)f(3) Df(3)f(5)8. 設(shè)f(x)在2，1上為減函數(shù)，最小值為3，且f(x)為偶函數(shù)，則f(x)在1,2上()A為減函數(shù)，最大值為3B為減函數(shù)，最小值為3C為增函數(shù)，最大值為3D為增函數(shù)，最小值為39.下列四個(gè)函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，)上為增函數(shù)的是()Ayx3 Byx21Cy|x|1 Dy2|x|10.若函數(shù)f(x)(x1)(xa)為偶函數(shù)，則a()A1 B1C0 D不存在11.偶函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)0的所有根之和為_(kāi)12.如圖，給出了偶函數(shù)y = f (x)的局部圖象，試比較f (1)與 f (3) 的大小.xyO 32 113. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，求的值.14. 已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的表達(dá)式15.定義在(1,1)上的奇函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且f(1a)f(1a2)0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍16.函數(shù)f(x)是定義在(1,1)上的奇函數(shù)，且f，求函數(shù)f(x)的解析式17.判斷函數(shù)的奇偶性.4 / 4