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1、第 1 頁，共 11 頁 2019-2020 學(xué)年河南省南陽市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理學(xué)年河南省南陽市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）科）題號 一 二 三 總分 得分 一、選擇題（本大題共 12 小題，共 60.0 分）1.已知集合，B=x|x0，則 AB=（）A.x|0 x3 B.x|0 x3 C.x|1x3 D.x|1x3 2.設(shè)復(fù)數(shù) z=（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z的虛部為（）A.B.C.D.3.在一個(gè)不透明的容器中有 6 個(gè)小球，其中有 4 個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機(jī)取出 2個(gè)球，那么至少有 1個(gè)紅球的概率為（）A.B.C.D.4.已知函數(shù) f（x）=2sin

2、（x+）（0）的最小正周期為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱 B.函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-，0）對稱 C.函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x=對稱 D.函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x=-對稱 5.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布 N（1，12），N（2，22），其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.甲類水果的平均質(zhì)量 1=0.4kg B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右 C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小 D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù) 2=1.99 6.函數(shù) f（x）=|x-1|+e

3、|lnx|的大致圖象為（）第 2 頁，共 11 頁 A.B.C.D.7.已知，x=loga（2a），y=loga+1a，（2a），則（）A.xyz B.yxz C.xzy D.zyx 8.在如圖算法框圖中，若 a=6，程序運(yùn)行的結(jié)果 S 為二項(xiàng)式（2+x）5的展開式中 x3的系數(shù)的 3 倍，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于 k 的判斷條件是（）A.k3 B.k3 C.k4 D.k4 9.已知 Sn是等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和，若 S7S10S8，設(shè) bn=anan+1an+2，則數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Tn取最大值時(shí) n 的值為（）A.6 B.7 C.8 D.9 10.十八世紀(jì)，函數(shù) y=x（x表示不超

4、過 x的最大整數(shù)）被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，結(jié)合定義的表述，人們習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，根據(jù)上述定義，則方程 2019x2-x-2020=0 的所有實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3 11.某三棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.23 B.C.64 D.第 3 頁，共 11 頁 12.已知函數(shù) f（x）=1+x-，若函數(shù) f（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間a，b（ab，a，bZ）內(nèi)，則 b-a 的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0 分）13.已知向量，若，則實(shí)數(shù) 的值為_ 14.

5、學(xué)校準(zhǔn)備將 5名同學(xué)全部分配到運(yùn)動會的田徑、拔河和球類 3 個(gè)不同項(xiàng)目比賽做志愿者，每個(gè)項(xiàng)目至少 1名，則不同的分配方案有_種（用數(shù)字作答）15.已知雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，A，B 為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，以線段 F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為 M，且AMB=30，則該雙曲線的離心率為_ 16.已知函數(shù) f（x）=（x2-ax）ex-ax+a2（e為自然對數(shù)的底數(shù)，aR，a 為常數(shù)）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為_ 三、解答題（本大題共 7 小題，共 82.0 分）17.如圖，在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，a=c（sinB+

6、cosB）（1）求ACB的大??；（2）若ABC=ACB，D為ABC外一點(diǎn)，DB=2，DC=1，求四邊形 ABDC 面積的最大值 18.如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為菱形，PA底面 ABCD，PA=2，E是 PC上的一點(diǎn)，PE=2EC（）證明：PC平面 BED；（）設(shè)二面角 A-PB-C為 90，求 PD 與平面 PBC所成角的大小 第 4 頁，共 11 頁 19.設(shè)直線 l與拋物線 x2=2y交于 A，B 兩點(diǎn)，與橢圓交于 C，D 兩點(diǎn)，設(shè)直線 OA，OB，OC，OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為 k1，k2，k3，k4，若 OAOB（1）證明：直線 l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)

7、；（2）是否存在常數(shù)，滿足 k1+k2=（k3+k4）？并說明理由 20.已知函數(shù) f（x）=（1）若函數(shù) y=f（x）-k有 2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k的取值范圍；（2）若關(guān)于 x 的方程 f（x）=m-有兩個(gè)不等實(shí)根 x1，x2，證明：x1+x22；+2 21.一種擲硬幣走跳棋的游戲：在棋盤上標(biāo)有第 1站、第 2站、第 3站、第 100 站，共 100 站，設(shè)棋子跳到第 n 站的概率為 Pn，一枚棋子開始在第 1站，棋手每擲一次第 5 頁，共 11 頁 硬幣，棋子向前跳動一次若硬幣的正面向上，棋子向前跳一站；若硬幣的反面向上，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第 99站（失?。┗蛘叩?100站（獲勝）

8、時(shí)，游戲結(jié)束（1）求 P1，P2，P3；（2）求證：數(shù)列Pn+1-Pn（n=1，2，3，98）為等比數(shù)列；（3）求玩該游戲獲勝的概率 22.在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為，且曲線 C1與 C2恰有一個(gè)公共點(diǎn)（）求曲線 C1的極坐標(biāo)方程；（）已知曲 C1上兩點(diǎn)，A，B 滿足，求AOB 面積的最大值 23.若關(guān)于 x的不等式|x-1|-|x+4|t+1|有解，記實(shí)數(shù) t的最大值為 T（1）求 T 的值；（2）若正數(shù) a，b，c 滿足 a+2b+c=T，求的最小值 第 6 頁，共 11 頁 答

9、案答案 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】D 12.【答案】A 13.【答案】14.【答案】150 15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）在ABC 中，a=c（sinB+cosB），sinA=sinC（sinB+cosB），（1分）sin（-B-C）=sinC（sinB+cosB），sin（B+C）=sinC（sinB+cosB），（2分）sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinCcosB，（3 分）cosCsinB=s

10、inBsinC，又B（0，），故 sinB0，（4分）cosC=sinC，即 tanC=1 （5分）又C（0，），C=（6分）（2）在BCD中，DB=2，DC=1，BC2=12+22-2 1 2 cosD=5-4cosD（7 分）又ABC=ACB，由（1）可知ACB=，ABC為等腰直角三角形，（8 分）SABC=BC BC=BC2=-cosD，（9分）又SBDC=BD DC sinD=sinD，（10 分）S四邊形ABDC=-cosD+sinD=+sin（D-）（11分）當(dāng) D=時(shí)，四邊形 ABDC的面積有最大值，最大值為+（12 分）【解析】（1）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知

11、可得 cosCsinB=sinBsinC，結(jié)合 sinC0，可求 tanACB=1，結(jié)合范圍ACB（0，），即可求得ACB 的值（2）由已知利用余弦定理可得 BC2=12+22-2 1 2 cosD=5-4cosD，由已知及（1）可知第 7 頁，共 11 頁 ACB=，利用三角形面積公式可求 SABC，SBDC，從而可求 S四邊形，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解四邊形 ABDC面積的最大值 本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題 18.【答案】解：（I）以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角

12、坐標(biāo)系 A-xyz，設(shè) D（，b，0），則 C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，-b，0）=（2，0，-2），=（，b，），=（，-b，）=-=0，=0 PCBE，PCDE，BEDE=E PC平面 BED（II）=（0，0，2），=（，-b，0）設(shè)平面 PAB 的法向量為=（x，y，z），則 取=（b，0）設(shè)平面 PBC 的法向量為=（p，q，r），則 取=（1，-，）平面 PAB平面 PBC，=b-=0故 b=（1，-1，），=（-，-，2）cos，=設(shè) PD與平面 PBC所成角為，0，則 sin=30 PD與平面 PBC所成角的大小為 30 【解析】（I）先由已知建立空

13、間直角坐標(biāo)系，設(shè) D（，b，0），從而寫出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明 PCBE，PCDE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；（II）先求平面 PAB 的法向量，再求平面 PBC 的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得 b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角 本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂第 8 頁，共 11 頁 直的判定定理，空間線面角的求法，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題 19.【答案】解：（1）證明：由題知，直線的斜率存在且不過原點(diǎn)，故設(shè) y=kx+b（b0），A（x，y），B（x，y

14、），聯(lián)立直線 l與拋物線的方程整理得：x2-2kx-2b=0，x+x=2k，xx=-2b，yy=b2，OAOB=0，b2-2b=0，解得 b=2，所以直線 l的方程為：y=kx+2 故直線恒過定點(diǎn)（0，2）（2）由（1）知 x+x=2kxx=-4k1+k2=2k+=k；設(shè) C（m，n），D（a，t），聯(lián)立直線與橢圓的方程整理得：（1+2k2）x2+8kx+4=0，m+a=，ma=，k3+k4=2k+=-2k，k1+k2=（k3+k4），即存在常數(shù)=滿足條件 【解析】（1）設(shè)直線 l的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之和兩根之積，由 OAOB，求出過定點(diǎn)，（2）由（1）得與拋物線聯(lián)立的方程，求出兩根之和

15、兩根之積，進(jìn)而求出 k1+k2，同理聯(lián)立與橢圓的方程，求出兩根之和及兩根之積，求出 k3+k4，從而得出存在常數(shù)滿足條件 考查直線與拋物線及橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題 20.【答案】解：（1）由題知，y=f（x）與 y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，由 f（x）0得 0 xe；由 f（x）0 得 xe，f（x）在（0，e）上單增，在（e，+）上單減，又，且當(dāng) xe時(shí)，f（x）0，故；（2）證明：方程可化為，令，所以 g（x）在（0，1）上單增，在（1，+）上單減，又，不妨設(shè) x1x2則，要證明 x1+x22，只需證 x22-x1，x2，2-x1（1，+）且 g（x）在（1，+）上單減，所以證 g（x1）=g（

16、x2）g（2-x1），令，則=，當(dāng)時(shí)，lnx0，ln1-（x-1）20，h（x）0，即 h（x）在單增，又 h（1）=0，第 9 頁，共 11 頁 g（x）g（2-x）對恒成立，即 g（x1）=g（x2）g（2-x1）成立，即 x1+x22成立；由得，即，命題得證 【解析】（1）依題意，y=f（x）與 y=k 有兩個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)的單調(diào)性及圖象走勢情況即可得解；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明 x22-x1，即證 g（x1）=g（x2）g（2-x1），構(gòu)造函數(shù)即可得證；利用的結(jié)論容易得證 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查極值點(diǎn)偏移問題，考查邏輯推理能力，屬于中檔題 21.【答案】解：（1）棋子開始在第 1站是必然事件，P1=1；棋子跳到第 2站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，其概率為，P2=；棋子跳到第 3站，有兩種情況，第一次擲硬幣反面向上，其概率為；前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為=，P3=；（2）證明：棋子跳到第 n+2 站（1n97），有兩種情況：棋子先跳到第站，又?jǐn)S硬幣反面向上，其概率為 Pn；棋子先跳到第 n+1站，又?jǐn)S硬幣正面向上，其概率為 Pn+1 故