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1、12-2 多元函數(shù)的極值及其求法,多元函數(shù)的極值和最值,引例1：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價1元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的每瓶賣 元，則每天可賣出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？,顯然每天的收益為,求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.,0、問題的提出,引例2： 小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機U盤和鼠標，設(shè)他購買 個U盤， 個鼠標達到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每個U盤8元，每個鼠標10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果,問題的實質(zhì)：求 在條件 下的極值點

2、,無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.,條件極值：對自變量附加條件的極值問題稱為條件極值.,如引例1。,如引例2。,從上面的兩個引例中可以看到，與一元函數(shù)極值不同，多元函數(shù)的極值分為兩類：,思考：為什么一元函數(shù)的極值沒有分類！,兩個引例中都是求多元函數(shù)的最值！為了求最值，先討論與最值有密切聯(lián)系的極值問題！,一、 多元函數(shù)極值的定義,注意：這里要求嚴格小于。,多元函數(shù)極值的定義,極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,(1),(3),例1,例,例,例4.,的極值.,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.,取得極

3、值 ,取得極值,取得極值,且在該點取得極值 ,則有,存在,故,二、多元函數(shù)取得極值的條件,該定理說明偏導(dǎo)數(shù)存在并且不等于0的點一定不是極值！,注：1）幾何意義:極值點處的切平面平行于xoy平面；,駐點,偏導(dǎo)存在的極值點,如何判定駐點是否為極值點？（稍后回答）,注意：,2）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，稱為函數(shù)的駐點.,與一元函數(shù)類似，可能的極值點除了駐點之外，,偏導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是極值點。,如例2，顯然函數(shù),不存在。,結(jié)論：極值點必在駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點中！,把駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點稱為可疑極值點.,時, 具有極值,定理2 (充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),令,則: 1) 當

4、,A0 時取極大值;,A0 時取極小值.,2) 當,3) 當,不證明，自己看第二節(jié)(P108) .,時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),且,例4.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點.,得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,在點(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),在點(3,0) 處,不是極值;,在點(3,2) 處,為極大值.,在點(1,2) 處,不是極值;,由上例可知:,例5.討論函數(shù),及,是否取得極值.,解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,

5、0) 不是極值.,因此,為極小值.,正,負,0,在點(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能為,3、最值應(yīng)用問題,函數(shù) f 在閉域上連續(xù),函數(shù) f 在閉域上可達到最值,最值可疑點,駐點,邊界上的最值點,我們可以把最值問題分為兩類：,偏導(dǎo)不存在的點,（1）連續(xù)函數(shù)在開區(qū)域上的最值；,（2）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域上的最值：,方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)不存在的點處的,方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界,函數(shù)值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.,上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為,最大值，最小者即為最小值.,特別,當區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點P 時

6、,為極小值,為最小值,(大),(大),更特別的，當可微函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部有最值存在,且只,有唯一的駐點時，則該點必是該最值點！,例6. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成,解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積,一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大.,為,問怎樣折法才能使斷面面,令,解得:,由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達到,而在域D 內(nèi)只有,一個駐點,故此點即為所求.,例7.,解: 設(shè)水箱長，寬，高分別為 x , y ，z ,則水箱所用材料的面積為,令,得駐點,某廠要用鐵板做一個體積為2,根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水,箱,問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,因此可,斷定此唯一駐點就是最小值點.,即當長、寬均為,高為,時, 水箱所用材料最省.,故就是求面積A在約束下 的極值,這類最值問題下節(jié)討論！,無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.,