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1、2.5.2 圓與圓的位置關(guān)系本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系。學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過圓與圓的位置關(guān)系，上節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，因此本節(jié)課是對已學(xué)內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對于后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過坐標(biāo)系，把點和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握圓與圓的位置關(guān)系及判定方法.B.能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系.C.能綜合應(yīng)用圓與圓

2、的位置關(guān)系解決問題.1.數(shù)學(xué)抽象：圓與圓的位置關(guān)系2.邏輯推理：判斷圓與圓的位置關(guān)系3.數(shù)學(xué)運算：判斷圓與圓的位置關(guān)系4.數(shù)學(xué)建模：圓和圓的方程解決實際問題 重點：圓與圓的位置關(guān)系及判定方法難點：綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問題 多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、 情境導(dǎo)學(xué)日食是一種天文現(xiàn)象，在民間稱此現(xiàn)象為天狗食日。日食只在月球與太陽呈現(xiàn)合的狀態(tài)時發(fā)生。日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食。 我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關(guān)系是怎樣的? 前面我們運用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與

3、圓的位置關(guān)系。二、探究新知 圓與圓的位置關(guān)系的判定方法1.幾何法:圓O1:(x-x1)2+(y-y1)2=r12(r10),圓O2:(x-x2)2+(y-y2)2=r22(r20),兩圓的圓心距d=|O1O2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2,則有位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1,r2的關(guān)系dr1+r2d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2d=|r1-r2|d0),圓O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F20),兩圓的方程聯(lián)立得方程組,則有方程組解的情況2組1組0組兩圓的公共點2個1個0個兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含1. 判斷下列兩圓的位置關(guān)系

4、:(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16.x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0.解:根據(jù)題意得,兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距d=2-(-2)2+(5-2)2=5.因為d=r1+r2,所以兩圓外切.將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6.兩圓的圓心距d=0-(-3)2+(-3-0)2=32,因為|r1-r2|d0),圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a0).試求a為何值時,兩圓C1,C2的位置關(guān)系為:(1)相切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)含

5、?思路分析:求出圓心距,與兩半徑的和或差比較求出a的值.解:圓C1,C2的方程,經(jīng)配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,圓心C1(a,1),C2(2a,1),半徑r1=4,r2=1.|C1C2|=(a-2a)2+(1-1)2=a.(1)當(dāng)|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時,兩圓外切;當(dāng)|C1C2|=r1-r2=3,即a=3時,兩圓內(nèi)切.(2)當(dāng)3|C1C2|5,即3a5,即a5時,兩圓外離.(4)當(dāng)|C1C2|3,即0a0.兩圓的圓心、半徑長分別為(0,0),a與(-3,4),6.由于兩圓內(nèi)切,則(0+3)2+(0-4)2=|a-6|,

6、解得a=121或a=1.答案:121或1 例2已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長;(2)求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.思路分析:(1)兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程,再根據(jù)半徑、弦心距、弦長的關(guān)系求出弦長.(2)可求出兩圓的交點坐標(biāo),結(jié)合圓心在直線x-y-4=0上求出圓心坐標(biāo)與半徑,也可利用圓系方程求解.解:(1)設(shè)兩圓交點為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點坐標(biāo)是方程組x2+y2+6x-4=0, x2+y2+6y-28=0,的解.-,得x-y+4=0.A,B兩點坐標(biāo)都滿足此

7、方程,x-y+4=0即為兩圓公共弦所在直線的方程.又圓C1的圓心(-3,0),r=13,C1到直線AB的距離為d=|-3+4|2=22,|AB|=2r2-d2=213-12=52,即兩圓的公共弦長為52.(2)(方法1)解方程組x2+y2+6x-4=0,x2+y2+6y-28=0,得兩圓的交點A(-1,3),B(-6,-2).設(shè)所求圓的圓心為(a,b),因圓心在直線x-y-4=0上,故b=a-4.則(a+1)2+(a-4-3)2=(a+6)2+(a-4+2)2,解得a=12,故圓心為12,-72,半徑為892.故圓的方程為(x-12)2+(y+72)2=892,即x2+y2-x+7y-32=0

8、.(方法2)設(shè)所求圓的方程為x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0(-1),其圓心為(-31+,-31+),代入x-y-4=0,解得=-7.故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.相交弦及圓系方程問題的解決1.求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項系數(shù)相同時,才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).2.求兩圓公共弦長的方法:一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標(biāo),再用距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解.3.已知圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=

9、0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則過兩圓交點的圓的方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1).跟蹤訓(xùn)練1 兩圓相交于兩點A(1,3)和B(m,-1),兩圓圓心都在直線x-y+c=0上,則m+c的值為.解析:由題意知直線AB與直線x-y+c=0垂直,kAB1=-1.即3-(-1)1-m=-1,得m=5,AB的中點坐標(biāo)為(3,1).AB的中點在直線x-y+c=0上,3-1+c=0,c=-2,m+c=5-2=3.答案:3 例3求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+3y=0相切于點M(3,-3)的圓的方程.思路分析:設(shè)圓的方程

10、,利用兩圓外切和直線與圓相切建立方程組求得.解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由題知所求圓與圓x2+y2-2x=0外切,則(a-1)2+b2=r+1.又所求圓過點M的切線為直線x+3y=0,故b+3a-3=3. |a+3b|2=r.解由組成的方程組得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36.變式探究1 將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2+y2-2x=0外切,圓心在x軸上,且過點(3,- 3)的圓的方程”,如何求?解:因為圓心在x軸上,所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),設(shè)半徑為r,則所求圓的方程為(x-a)

11、2+y2=r2,又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(3,-3),所以(a-1)2+02=r+1,(3-a)2+(-3)2=r2, 解得a=4,r=2,所以圓的方程為(x-4)2+y2=4.又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(3,-3),所以(a-1)2+02=r+1,(3-a)2+(-3)2=r2, 解得a=4,r=2,所以圓的方程為(x-4)2+y2=4.變式探究2將本例改為“若圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,試求實數(shù)m的值.解:圓x2+y2-2x=0的圓心為A(1,0),半徑為r1=1,圓x2+y2-8x-8y+m=0的圓心為B(4,4),

12、半徑為r2=32-m.因為兩圓相外切,所以(4-1)2+(4-0)2=1+32-m,解得m=16.通過具體的情景，幫助學(xué)生回顧初中幾何中已學(xué)的圓與圓的位置關(guān)系，同時類比直線與圓的位置關(guān)系的研究方法。 通過典例解析，幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉兩種基本方法，判斷圓與圓的位置關(guān)系。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 在典例分析和練習(xí)中掌握判斷圓與圓位置關(guān)系的方法，即：代數(shù)法與幾何法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。 通過圓與圓位置關(guān)系的綜合問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.兩圓x2+

13、y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切 D.外離解析:圓x2+y2-1=0表示以O(shè)1(0,0)點為圓心,以R1=1為半徑的圓.圓x2+y2-4x+2y-4=0表示以O(shè)2(2,-1)點為圓心,以R2=3為半徑的圓.|O1O2|=5,R2-R1|O1O2|R2+R1,圓x2+y2-1=0和圓x2+y2-4x+2y-4=0相交.答案:B2.圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直線方程是 .解析:兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為4x+3y-2=0.答案:4x+3y-2=03.半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內(nèi)切,則此圓的方程為()A.(x-4)2+(y-6)2=16 B.(x4)2+(y-6)2=16C.(x-4)2+(y-6)2=36