《高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3 冪函數(shù)教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3 冪函數(shù)教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）.doc（6頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、2.3 冪函數(shù)皰丁巧解牛知識巧學(xué)升華一、冪函數(shù) 一般地，形如y=xa（aR）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).其特征是以冪的底為自變量，指數(shù)為常數(shù) 要點(diǎn)提示 判斷函數(shù)是否為冪函數(shù)時要根據(jù)定義，即xa的系數(shù)為1，指數(shù)位置的a為一個常數(shù)，且常數(shù)項要為，或者經(jīng)過變形后滿足條件的均可二、一些常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.定義域、值域.冪函數(shù)的定義域和值域隨a的變化而定.定義域分為xR；x0；x0；x0等四種情況.設(shè)冪函數(shù)y=xa，當(dāng)a=0時，y=x0（xR且x0），即y=1.當(dāng)a0時，若y=xa是偶函數(shù)，像y=x2，y=x4，y=等，xR，y0；若y=xa是奇函數(shù)，像y=x，y=x3，y=等，x

2、R，yR；若y=xa是非奇非偶函數(shù)，像y=，y=等，x0，y0.當(dāng)a0；若y=xa是奇函數(shù)，像y=x-1，y=x-3，y=等，xR且x0，yR且y0；若y=xa是非奇非偶函數(shù)，像y=，y=等，x0，y0. 方法點(diǎn)撥 注意此處空半格為準(zhǔn)確判斷冪函數(shù)的定義域和值域，常采取以下變形方式：（1）當(dāng)冪指數(shù)是正分?jǐn)?shù)時，可把冪函數(shù)轉(zhuǎn)化成根式的形式；（2）當(dāng)冪指數(shù)是負(fù)數(shù)時，可先化成正數(shù)，若是分?jǐn)?shù)，可化成根式形式去判斷.2.冪函數(shù)的圖象 直線類：如y=x0，y=x，它們的圖象是直線，其中y=x0上不含（0，1）點(diǎn)，如圖；拋物線類：如y=x2，y=，y=等，如圖；拐線類：如y=x3，y=，y=等，如圖；雙曲線類：

3、如y=x-1，y=x-3等，如圖；半支拋物線類：如y=，y=等，圖象過點(diǎn)（0，0），（1，1），位于第一象限，如圖；像y=，y=x-等，圖象過點(diǎn)（1，1），位于第一象限，如圖. 方法點(diǎn)撥 （1）冪指數(shù)大于零的冪函數(shù)圖象，恒過點(diǎn)（0，0）、（1，1），沒有漸近線；冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)圖象，恒過點(diǎn)（1，1），存在漸近線，它的圖象要么是雙曲線，要么是雙曲線的一支；（2）在第一象限，作直線x=a（a1），它同各個圖象相交，交點(diǎn)從上到下的排列順序，正是按冪指數(shù)的降序排列的，以此可以判斷不同冪函數(shù)圖象的冪指數(shù)的大小. 冪函數(shù)的圖象形狀情況多又復(fù)雜，對此充分利用函數(shù)的單調(diào)性、互為反函數(shù)的圖象的對稱性及奇偶性

4、圖象的對稱性來分析冪函數(shù)的圖象，從而讓學(xué)生掌握和利用這些轉(zhuǎn)化的思想和處理問題的技巧來提高學(xué)生畫冪函數(shù)圖象草圖的能力3.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在（0，+）上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）.(2)如果a0，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間0，+）上是增函數(shù).特別地，當(dāng)a1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0a1時，冪函數(shù)的圖象上凸，如圖.(3)如果a1），它同各個圖象相交，交點(diǎn)從上到下的排列順序，正是按冪指數(shù)的降序排列的，以此可以判斷不同冪函數(shù)圖象的冪指數(shù)的大小. 掌握冪函數(shù)的圖象特征，有利于進(jìn)一步理解和應(yīng)用冪函數(shù)的性質(zhì)；但想掌握好冪函數(shù)的概念及其圖象和性質(zhì)，須理解并利用好函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及互

5、為反函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)及圖象特點(diǎn)來分析冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)；同時注重結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)分析問題的思路及方法來滲透在冪函數(shù)的問題分析和研究其中冪函數(shù)的單調(diào)性是冪函數(shù)性質(zhì)中應(yīng)用最廣的，運(yùn)用此性質(zhì)可以比較兩個同指數(shù)不同底的冪的大小及求與冪函數(shù)有關(guān)的一般函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間等；進(jìn)一步加強(qiáng)和健全兩個冪的大小比較的思路和方法問題思路探究問題1 滿足怎樣條件的函數(shù)才是冪函數(shù)？思路：根據(jù)冪函數(shù)的定義探究:只有形如y=xa，aR的函數(shù)才叫冪函數(shù)，像y=x2+a，y=3x2等都不叫冪函數(shù).冪函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，它的單調(diào)性可通過定義去證明.如課本中的例1，當(dāng)在給定區(qū)間0，+上任取x1，x2且假定x1x2時，為使函數(shù)值f

6、（x1）-f（x2）的差中出現(xiàn)x1-x2這樣的因式，我們采取了分子有理化的變形手法，這種方法技巧性比較強(qiáng)，不容易想到.在證明過程中切忌利用“因?yàn)閤1，x20,+，且x1x2，所以”這種循環(huán)論證的方法，因?yàn)槲覀儾荒苡帽绢}的結(jié)論去證明本題.此外，本題也可采用作商的方法去證明，即任取x1，x20,+)，且x10.，x2x10，01，01，f（x1）f（x2），即冪函數(shù)f（x）=x在0,+)上是增函數(shù).問題2 利用描點(diǎn)法，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x，y=，y=x2，y=x3，y=x-1的圖象并探究它們的性質(zhì).思路：奇偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，奇函數(shù)的值域也是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間

7、上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性正好相反 判斷單調(diào)性：作差法與作商法是用定義證明函數(shù)單調(diào)性的兩種基本方法，作差時，只需判斷差的符號的正負(fù)即可；作商時，既要分清函數(shù)的符號又要判斷商與“1”的大小，常見指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)都可用作商法去判斷它的單調(diào)性.探究:（1）列表：x-3-2-10123y=x-3-2-10123y=011.411.73x-3-2-10123y=x29410149y=x3-27-8-101827y=x-1-11描點(diǎn)，連線: 由圖象可知,五個函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性分別如（2）中表格所示.（2）綜合（1）中的各種情況可得，如下結(jié)論：y=xy=x2y=x3y=y=x-1

8、定義域RRR0，+（-，0）（0，+）值 域R0，+R0，+（-，0）（0，+）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增（0，+）（-，0）增增（0，+）（-,0）定 點(diǎn)（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（1，1）典題熱題新題例1 冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（4，），那么f-1（8）的值是( )A.2 B.64 C. D.思路解析：因?yàn)閒(x)為冪函數(shù)，可先設(shè)出該函數(shù)，將點(diǎn)代入所設(shè)函數(shù)中，再根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系解：設(shè)f（x）=xa，將（4，）點(diǎn)代入得=4a，a=-，f（x）=.令x2=8，得x=8-2=.答案：D 深化升華 注意此處空半格（1）由=4a求

9、a可化成同底2-1=22a，由2a=-1，得a=-.（2）聯(lián)系互為反函數(shù)的x、y之間的對應(yīng)關(guān)系求解，事半功倍.此類題是沒有必要求y=f-1（x）的.例2 已知冪函數(shù)f（x）=（mZ）的圖象關(guān)于y軸對稱且與x軸、y軸無交點(diǎn).（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并畫出它的圖象；（2）討論函數(shù)g（x）=的奇偶性（a、bR）.思路解析：求解本題的關(guān)鍵是先確定m的值，寫出f（x）的解析式，再把f（x）代入g（x），判斷g（x）的奇偶性.解：（1）由冪函數(shù)的圖象與x、y軸無公共點(diǎn)，m2-2m-30，即-1m3. 又mZ，得m=0，1，2.又冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，它是偶函數(shù). 把m=0，1，2分別代入得f（x

10、）=x-3，f（x）=x-4，f（x）=x-3， 只有f（x）=x-4符合條件，故m只能取1,f（x）=x-4. 其圖象如下圖所示.（2）把f（x）=x-4代入g（x）的解析式，得g（x）=a-bx3（x0），g（-x）=-b(-x)3=+bx3，當(dāng)a0，b0時，g（x）為非奇非偶函數(shù)； 當(dāng)a=0，b0時，g（x）為奇函數(shù)； 當(dāng)a0，b=0時，g（x）為偶函數(shù)； 當(dāng)a=b=0時，g（x）既為奇函數(shù)又為偶函數(shù). 拓展延伸求函數(shù)解析式常見的方法（1）待定系數(shù)法，即已知條件告訴了曲線的種類和方程的整體形式，可先設(shè)出方程，再求出待定系數(shù)；（2）拼湊法或換元法，即已知fg（x），求f（x）.但應(yīng)注意，此

11、時x的定義域是g（x）的值域.例3 求出函數(shù)f（x）=的單調(diào)區(qū)間，并比較f（-）與f（-）的大小.思路解析：要寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間，可通過化簡把f（x）轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本初等函數(shù)的形式，利用基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，表示出f（x）的單調(diào)區(qū)間.解：f（x）=4=1+（x+2）-2， 它是由g（x）=x-2向左平移2個單位，再向上平移1個單位而得到的.g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-，0），單調(diào)減區(qū)間是（0，+），f（x）=的單調(diào)增區(qū)間是（-，-2）， 單調(diào)減區(qū)間是（-2，+），f（x）的圖象關(guān)于直線x=-2對稱.-（-，-2），-（-2，+），-關(guān)于x=-2對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-4，又-4-，f（-4

12、）f（-），即f（-）f（-）. 拓展延伸 拓展延伸：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.常見的方法（1）借助于函數(shù)圖象；（2）設(shè)法把f（x）轉(zhuǎn)化成基本初等函數(shù)的形式；（3）搞清函數(shù)的復(fù)合過程，按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定法則寫出單調(diào)區(qū)間.例4 已知f（x）=（m2+m），當(dāng)m取什么值時，（1）f（x）是正比例函數(shù)；（2）f（x）是反比例函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)它的圖象是上升曲線？思路解析：據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義及性質(zhì)去處理.解：（1）令m2-2m-1=1，得m2-2m-2=0.m=1，此時m2+m0.（2）令m2-2m-1=-1，得m2-2m=0.m1=0，m2=2. 當(dāng)m=0時，m2+m=0，不

13、合題意.m=2.（3）由題意，得m-1，或m1+. 誤區(qū)警示 注意此處空半格要考慮系數(shù)對問題的影響，對問題作合理的結(jié)論.本題極易誤認(rèn)為還包括：即1-m0，為什么是錯誤的呢？是因?yàn)闆]有注意到“在第一象限內(nèi)”這一要求.例5 求證：函數(shù)y=x3在R上為奇函數(shù)且為增函數(shù).思路解析：根據(jù)奇函數(shù)的定義以及判斷函數(shù)單調(diào)性的方法去證明解：顯然f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)； 令x1x2，則f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22), 其中，顯然x1-x20.從而f(x1)-f(x2)0.所以該函數(shù)為增函數(shù). 深化升華 注意此處空半格判斷函數(shù)奇偶性的時候，要先觀察它的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷 f(-x)與f(x)的關(guān)系本題中已給定義域?yàn)镽，故只需判斷